PAGEPAGE6課下層級訓練(五十二)古典概型[A級基礎強化訓練]1．(2024·云南檢測)在2,0,1,5這組數據中，隨機取出三個不同的數，則數字2是取出的三個不同數的中位數的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)C[分析題意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4種取法，符合題意的取法有2種，故所求概率P＝eq\f(1,2).]2．若連續拋擲兩次質地勻稱的骰子得到的點數分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)D[該試驗會出現6×6＝36種狀況，點(m，n)在直線x＋y＝4上的狀況有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三種，則所求概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).]3．(2024·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機時，遺忘了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，其次位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠勝利開機的概率是()A．eq\f(8,15) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,30)C[第一位是M，I，N中的一個字母，其次位是1,2,3,4,5中的一個數字，所以總的基本領件的個數為15，密碼正確只有一種，概率為eq\f(1,15).]4．從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(8,25) D．eq\f(9,25)B[從甲、乙等5名學生中隨機選2人共有10種狀況，甲被選中有4種狀況，則甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]5．從分別標有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數奇偶性不同的概率是()A．eq\f(5,18) B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(7,9)C[∵9張卡片中有5張奇數卡片，4張偶數卡片，且為不放回地隨機抽取，∴P(第一次抽到奇數，其次次抽到偶數)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶數，其次次抽到奇數)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18)，∴P(抽到的2張卡片上的數奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).]6．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是__________．eq\f(1,3)[記“兩人都中獎”為事務A，設中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]7．已知數列{an}滿意a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N*)．若從數列{an}的前10項中隨機抽取一項，則該項不小于8的概率是__________．eq\f(2,5)[由題意可知an＝2·(－2)n－1，故前10項中，不小于8的只有8,32,128,512，共4項，故所求概率是eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]8．如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成果，其中一個數字被污損，則甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率為__________.甲乙98853129●50.3[依題意，記題中被污損的數字為x，若甲的平均成果不超過乙的平均成果，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此時x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.]9．設a∈{2,4}，b∈{1,3}，函數f(x)＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1．(1)求f(x)在區間(－∞，－1]上是減函數的概率；(2)從f(x)中隨機抽取兩個，求它們在(1，f(1))處的切線相互平行的概率．解(1)f′(x)＝ax＋b，由題意f′(－1)≤0，即b≤a，而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四種，滿意b≤a的有3種，故概率為eq\f(3,4)．(2)由(1)可知，函數f(x)共有4種可能，從中隨機抽取兩個，有6種抽法．∵函數f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝a＋b，∴這兩個函數中的a與b之和應當相等，而只有(2,3)，(4,1)這1組滿意，∴概率為eq\f(1,6)．10．(2024·天津卷)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240,160,160.現采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學擔當敬老院的衛生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結果；②設M為事務“抽取的2名同學來自同一年級”，求事務M發生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學中隨機抽取2名同學的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}共21種．②由①，不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務M發生的概率P(M)＝eq\f(5,21)．[B級實力提升訓練]11．(2024·山東威海調研)從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)A[由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種狀況．因為m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿意條件的有(3,3)，(5,5)共2個，故所求的概率為eq\f(1,6).]12．如圖所示方格，在每一個方格中填入一個數字，數字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復，則填入A方格的數字大于B方格的數字的概率為()ABA．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,8)D[只考慮A，B兩個方格的填法，不考慮大小，全部填法有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種．要使填入A方格的數字大于B方格的數字，則從1,2,3,4中選2個數字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A方格的數字大于B方格的數字的概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).]13．連續2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數字之和等于m”為事務A，則P(A)最大時，m＝__________．7[m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，對應的基本領件個數依次為1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴兩次向上的數字之和等于7對應的事務發生的概率最大．]14．我們把形如“3241”形式的數稱為“鋸齒數”(即大小間隔的數)，由1,2,3,4四個數組成一個沒有重復數字的四位數，則該四位數恰好是“鋸齒數”的概率為__________．eq\f(5,12)[通過畫樹狀圖可知，由1,2,3,4四個數組成的沒有重復數字的四位數共有24個，四位數為“鋸齒數”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231，共10個，所以四位數為“鋸齒數”的概率為eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).]15．依據我國頒布的《環境空氣質量指數(AQI)技術規定》：空氣質量指數劃分為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級，對應空氣質量指數的六個級別，指數越大，級別越高，說明污染越嚴峻，對人體健康的影響也越明顯．專家建議：當空氣質量指數小于等于150時，可以進行戶外運動；空氣質量指數為151及以上時，不適合進行旅游等戶外活動，下表是我市2024年10月上旬的空氣質量指數狀況：時間1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日AQI1491432512541385569102243269(1)求10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率；(2)一外地游客在10月上旬來本市旅游，想連續游玩兩天，求適合連續旅游兩天的概率．解(1)該試驗的基本領件空間Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，基本領件總數n＝10．設事務A為“市民不適合進行戶外活動”，則A＝{3,4,9,10}，包含基本領件數m＝4.所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，即10月上旬市民不適合進行戶外活動的概率為eq\f(2,5)．(2)該試驗的基本領件空間Ω＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)}，基本領件總數n＝9，設事務B為“適合連續旅游兩天的日期”，則B＝{(1,2)，(5,6)，(6,7)，(7,8)}，包含基本領件數m＝4，所以P(B)＝eq\f(4,9)，所以適合連續旅游兩天的概率為eq\f(4,9)．16．甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩嬉戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面數字(假如甲抽到紅桃2，乙抽到紅桃3，記為(2,3))，寫出甲、乙兩人抽到的牌的全部狀況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數字比3大的概率是多少？(3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝；否則，乙勝，你認為此嬉戲是否公允？請說明理由．解(1)方片4用4′表示，則甲、乙兩人抽到的牌的全部狀況為：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(