PAGEPAGE5第七節正弦定理和余弦定理第1課時系統學問——正弦定理、余弦定理及應用舉例正弦定理、余弦定理正、余弦定理的內容及變形定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形形式a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)；sinB＝eq\f(b,2R)；sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)[提示]若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，可用正弦定理，在依據另一邊所對角的正弦值，確定角的值時，要留意避開增根或漏解，常用的基本方法就是留意結合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內角和定理去考慮問題．[謹記常用結論]1．在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，則(1)sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．(2)sineq\f(A,2)＝coseq\f(B＋C,2)，coseq\f(A,2)＝sineq\f(B＋C,2).(3)sinA＝sinB?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).(4)A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cos B.2．三角形的面積S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R，r.eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([教材改編題])在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于________．答案：2eq\r(3)2.eq\a\vs4\al([教材改編題])在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝eq\f(3,5)，且S△ABC＝6，則b＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×eq\f(3,5)＝(a＋c)2－eq\f(16,5)ac，②由cosB＝eq\f(3,5)，得sinB＝eq\f(4,5)，故S△ABC＝eq\f(1,2)ac×eq\f(4,5)＝6，③由①②③得，b＝4.答案：43.eq\a\vs4\al([教材改編題])在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝eq\f(1,2)(負值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4.eq\a\vs4\al([易錯題])已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，A＝45°，若三角形有兩解，則邊b的取值范圍是________．解析：由題可知，△ABC有兩解的充要條件是bsin45°<2<b，解得2<b<2eq\r(2).故b的取值范圍是(2,2eq\r(2))．答案：(2,2eq\r(2))5．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面積為5eq\r(3)，則c＝________.解析：由三角形面積公式，得eq\f(1,2)×4×5sinC＝5eq\r(3)，即sinC＝eq\f(\r(3),2).又b>a，b>c，所以C為銳角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos60°，解得c＝eq\r(21).答案：eq\r(21)6．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝________.解析：∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)解三角形應用舉例測量中的有關幾個術語的意義及圖形表示名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：[提示](1)方位角和方向角本質上是一樣的，方向角是方位角的一種表達形式，是同一問題中對角的不同描述．(2)將三角形的解還原為實際問題時，要留意實際問題中的單位、近似值要求，同時還要留意所求的結果是否符合實際狀況．eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([教材改編題])如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為________m.答案：50eq\r(2)2.eq\a\vs4\al([易錯題])江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析：如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)3．海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝________nmile.答案：5eq\r(6)4．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為________km.解析：由條件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，設BC＝xkm，則由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x>0，∴x＝eq\r(6)－1.答案：eq\r(6)－15.某中學實行升旗儀式，在坡度為15°的看臺E點和看臺的坡腳A點，分別測得旗桿頂部的仰角分別為30°和60°，量得看臺坡腳A點到E點在水平線上的射影B點的距離為10m，則旗桿的高是________m.解析：由題意得∠D