PAGEPAGE1中檔題專練(六)1.在平面直角坐標系xOy中,設銳角α的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓交于點P(x1,y1),將射線OP繞坐標原點O按逆時針方向旋轉π2后與單位圓交于點Q(x2,y2),記f(α)=y1+y2(1)求函數f(α)的值域;(2)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(C)=2,且a=2,c=1,求b.2.(2024南京、鹽城高三年級其次次模擬考試)調查某地居民每年到商場購物次數m與商場面積S、到商場距離d的關系,得到關系式m=k×Sd2(k為常數,k>0),如圖,某投資者安排在與商場A相距10km的新區新建商場B,且商場B的面積與商場A的面積之比為λ(0<λ<1).記“每年居民到商場A購物的次數”與“每年居民到商場B購物的次數”分別為m1、m2,稱滿意m1<m(1)已知P與A相距15km,且∠PAB=60°,當λ=12(2)若要使與商場B相距2km以內的區域(含邊界)均為商場B相對于A的“更強吸引區域”,求λ的取值范圍.3.(2024江蘇南通模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點P(3,1)在橢圓上,△PF(1)①求橢圓C的標準方程;②若∠F1QF2=π3,求QF1·QF2(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經過坐標原點,求實數k的值.

答案精解精析1.解析(1)由題意得y1=sinα,y2=sinα+所以f(α)=sinα+cosα=2sinα+因為α∈0,π2,所以α+π故f(α)的值域為(1,2].(2)因為f(C)=2sinπ4+C=2,且易知C∈0,在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即1=2+b2-22×222.解析設商場A、B的面積分別為S1km2、S2km2,點P到A、B的距離分別為d1km、d2km,則S2=λS1(0<λ<1),m1=kS1d12,m(1)在△PAB中,AB=10,PA=15,∠PAB=60°,由余弦定理,得d22=PB2=AB2+PA2-2AB·PAcos60°=102+152-2×10×15×又d12=PA則m1-m2=kS1d12-kS2d22將λ=12,d12=225,d22=175代入,得m1-m因為kS1>0,所以m1>m2,即居住在P點處的居民不在商場B相對于A的“更強吸引區域”內.(2)以A為原點,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(10,0),設P(x,y),由m1<m2得kS1d12<kS2d22,將S代入坐標,得(x-10)2+y2<λ(x2+y2),化簡得(1-λ)x2+(1-λ)y2-20x+100<0,配方得x-101-λ2+y2<10λ1-由題設知圓B內含于圓C,即BC<|r1-r2|.因為0<λ<1,所以101-λ-10<10解得116所以,所求λ的取值范圍是1163.解析(1)①由條件可知9a2+1b又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,所以橢圓C的標準方程為x212+②當∠F1QF2=π3Q所以QF1·QF2=163(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由x212+y2則x1+x2=-3k2,x1x2=3k2-