試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學二輪有關二次函數的應用存在性問題專題訓練1．今年春節期間全國各影院上映多部影片，《哪吒之魔童鬧海》以強勁勢頭打破國內外多項票房紀錄，截至2025年2月24日影片總票房突破136億，登頂全球動畫電影票房榜首，成為中國文化與電影工業實力的重要象征．某影院每天運營成本為2000元，該影院每天售出的電影票數量y（單位：張）與售價x（單位：元張）之間滿足一次函數關系（，且x是整數），部分數據如下表所示：電影票售價x（元/張）4050售出電影票數量y（張）164124(1)請求出y與x之間的函數關系式；(2)設該影院每天的利潤（運營成本利潤票房收入運營成本）為w（單位：元），則該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？2．已知某工廠生產甲、乙兩種不同規格的產品，生產1噸的甲產品需要2噸原材料A；生產1噸的乙產品需要3噸原材料A．根據市場調研，甲、乙兩種產品所獲利潤y（單位：萬元）與其產量x（單位：噸）之間分別滿足以下函數關系：甲產品：．當時，；當時，．乙產品：．(1)求甲產品所獲利潤y（單位：萬元）與其產量x（單位：噸）之間滿足的函數關系．(2)若現原材料A共有20噸，應怎樣將原材料分配給甲、乙兩種規格的產品，才能使得利潤最大？求出最大利潤．3．陜西某水庫的截面圖如圖所示，水庫底呈拋物線形，以水平地面為軸，垂直于水平地面且位于水庫中心的線為軸，建立平面直角坐標系，水庫的寬，水庫底的最深處距離水平地面．(1)求該拋物線的函數解析式．(2)若水庫原來的水面寬，水庫現在水面的寬度減少為原來的一半，求水庫底的最深處到水面的距離．4．隨著勞動教育的開展，某學校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為），用長為的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端設計了兩個寬的小門，便于同學們進入．設邊的長為，矩形菜地的面積為．(1)用含的代數式表示（不要求求的取值范圍）；(2)若圍成的菜地的面積為，求此時的值；(3)可以圍成的菜地的面積最大是多少？5．【問題情境】如圖是噴水管從點A向四周噴出水花的噴泉截面示意圖，噴出的水花是形狀相同的拋物線．以點O為原點，水平方向為x軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，點C，D為水花的落水點且在x軸上，其中右側拋物線的解析式為，噴水管的高度為．【問題解決】(1)求a的值；(2)現重新改建噴泉，降低噴水管，使落水點與噴水管的水平距離為9m，求噴水管要降低的高度．6．在鄉村振興行動中，某村辦企業以A，B兩種農作物為原料開發了一種有機產品，A原料的單價是B原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少．生產該產品每盒需要A原料和B原料，每盒還需其他成本9元．市場調查發現：該產品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒．(1)求每盒產品的成本（成本=原料費+其他成本）；(2)設每盒產品的售價是x元（x為整數），每天的利潤是w元，求w關于x的函數解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；(3)若每盒產品的售價不超過a元（a是大于60的整數），求出每天的最大利潤．7．在學校進行的“五一”籃球比賽中，張凱在距離籃筐中心（水平距離）處跳起投籃，他在點處跳起，籃球出手時距離地面，籃球在空中的運行路線為拋物線，當籃球運行的水平距離為時，達到離地面的最大高度．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求籃球在空中運行路線的函數表達式；(2)若籃筐的高度為，張凱投出的此球能否命中籃筐中心，為什么？(3)在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來稱為“蓋帽”．但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規．在（1）的條件下，防守隊員李明前來蓋帽，已知李明的最大摸球高度為，則李明應該在張凱面前多少米范圍內跳起攔截才能“蓋帽”成功？8．“麻辣拌”是撫順的一種地方特色小吃，香辣利口，含口飄香，深受撫順游客和當地老百姓喜愛．某店銷售“麻辣拌”，每份成本價為10元，通過分析銷售情況發現，“麻辣拌”的日銷量（份）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，規定銷售單價不低于成本價且不高于20元，每天銷售“麻辣拌”的固定損耗為50元．日銷量、銷售單價的部分對應數據如下表所示：銷售單價（元）…161412…日銷量（份）…200300400…(1)求與之間的函數解析式；(2)當“麻辣拌”的銷售單價定為多少元時，該店每天出售這種“麻辣拌”所獲的利潤最大？最大日利潤為多少元？9．無規矩不成方圓．所有參與交通出行的行人或者駕駛人，都必須遵守國家制定的交通規則．現規定所有電動車、三輪車等，均需要“一盔一帶”方能上路，所以頭盔作為電動車是必不可少的．某店鋪引進一批進價為元/個的頭盔，如果以單價元出售，那么一個月內售出個，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的下降，即銷售單價每上漲元，月銷售量將相應減少個，設每個頭盔漲價了元，每天的銷售利潤為元．(1)求與的函數關系式，并計算每個頭盔漲價多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？(2)若月銷售利潤恰好為元，且盡量減少庫存，求每個頭盔的售價．10．如圖，在平面直角坐標系中，點，在軸上，球網高度，球網與軸的水平距離，球場邊界點與點的距離為，擊球點，在軸上第一次發球后，網球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．(1)第一次發球，網球能否過網？說明理由；(2)第二次發球時，網球路線的形狀、最大高度均與第一次相同，若此次網球恰好落在邊界點上，求出發球員應向正前方（軸正方向）移動的距離．11．某超市以每件20元的價格購進一種文具，經過市場調查發現，該文具每天的銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x/元222324每天銷售數量y/件565452(1)求y關于x的函數表達式；(2)設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？(3)文具廠家進行了提價，該超市發現該文具每件的進價提高了a元．若每天銷售量與銷售單價仍滿足第（1）題中的函數關系，當銷售單價不超過38元時，銷售這種文具每天的利潤隨著x的增大而增大，直接寫出a的最小值．12．如圖，某校勞動實踐基地用總長為的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x（單位：m），與墻平行的一邊長為y（單位：m），面積為S（單位：）．(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數解析式（不要求寫x的取值范圍）；(2)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？13．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設米．(1)求花園的面積S與x的函數關系式；(2)在P處有一棵樹與墻的距離分別是和，要將這棵樹圍在花園內；（含邊界，不考慮樹的粗細）①若花園的面積為，求x的值；②求花園面積S的最大值．14．某村為了提高廣大農戶的生活水平，經過市場調查，決定推廣種植某特色水果．該水果每千克成本為20元，每千克售價需超過成本，但不高于50元．某農戶日銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間存在一次函數關系，部分圖象如圖所示，設該水果的日銷售利潤為W元．(1)分別求出y與x，W與x之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；(2)若該水果的日銷售量不低于90千克，當售價定為多少元/千克時，每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少元？15．如圖，要搭建一個矩形的自行車棚，一邊靠墻，墻長25m，另外三邊圍欄總長60m，平行于墻的一邊的長為xm，自行車棚的面積為Sm2(1)求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)求車棚的面積S的最大值及此時x的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學二輪有關二次函數的應用存在性問題專題訓練》參考答案1．(1)（，且x是整數）(2)該影院將電影票售價x定為40元或41元時，每天獲利最大，最大利潤是4560元【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，實際問題與二次函數（銷售問題），二次函數的最值等知識點，熟練掌握待定系數法求一次函數解析式并根據題中的數量關系正確列出二次函數解析式是解題的關鍵．（1）運用待定系數法直接求出函數關系式；（2）根據“每日利潤每張電影票售價每天售出的電影票數量每天的運營成本”得出二次函數解析式，先將其化成頂點式，然后求二次函數的最值即可．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式是，由表格可得，，解得，∴（，且x是整數）；（2）由題意可得，即；整理得：，∵∴拋物線開口向下，∵，且x是整數，∴當或41時，w取得最大值，此時，答：該影院將電影票售價x定為40元或41元時，每天獲利最大，最大利潤是4560元．2．(1)(2)20噸原材料A分配給甲產品13噸，分配給乙產品7噸時，利潤最大，最大利潤為【分析】本題是二元一次方程組的應用與二次函數的應用的綜合題，關鍵是根據題目中的數量關系列出方程組和函數解析式．（1）代入已知的兩對變量值，用待定系數法求出a、b便可；（2）設產品甲生產了x噸，需要A原料噸，則可分配給新產品乙的原材料A有噸，則生產乙噸，再求出總利潤關于x的二次函數，運用二次函數的最值求法解答．【詳解】（1）解：根據題意得，，解得，∴產品甲所獲利潤y（萬元）與其產量x（噸）之間滿足的函數關系：；（2）解：設產品甲生產了x噸，需要A原料噸，則可分配給新產品乙的原材料A有噸，則生產乙噸，設甲、乙兩種產品總的利潤為w萬元，則，整理得，，即當且僅當生產甲噸時，利潤達到最大．噸，噸，答：20噸材料A應分配給甲13噸，分配給乙7噸時，最終所獲利潤最大，最大利潤為．3．(1)(2)【分析】（）由題意可知，拋物線的頂點坐標為，經過點，設拋物線的函數解析式為，利用待定系數法解答即可求解；（）求出時的值，進而即可求解；本題考查了二次函數的實際應用，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點坐標為，經過點，∴可設拋物線的函數解析式為，把點代入得，，解得，∴該拋物線的函數解析式為；（2）解：當時，，∴此時水庫底的最深處到水面的距離．4．(1)(2)(3)【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用，列代數式，熟練掌握方程的應用和二次函數最值的應用是解題的關鍵．（1）根據籬笆長為，邊的長為，可得，再根據矩形的面積公式求解即可；（2）令，則，即可求解；（3）由，結合二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：籬笆長為，邊的長為，，；（2）當時，，解得：，，當時，，不符合題意；當時，，符合題意；圍成的菜地的面積為，此時的值為；（3），，當時，有最大值，最大值為．5．(1)(2)【分析】（）將代入，求出相應的a的值即可；（）先設噴水管要降低的高度，然后將代入，再求出相應的降低的高度即可；本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是明確二次函數平移的特點，利用二次函數的性質解答．【詳解】（1）解：∵將代入中可得，，解得，∴a的值為．（2）解：設噴水管要降低的高度為，則降低高度后的右側拋物線的解析式為，將代入，可得，解得．答：噴水管要降低的高度為．6．(1)每盒產品的成本為30元(2)(3)當時，每天的最大利潤為16000元；當時，每天的最大利潤（）元【分析】本題主要考查了分式方程的應用、二次函數的應用等知識點，正確理解題意、列出分式方程和函數解析式成為解答本題的關鍵．（1）設原料單價為元，則原料單價為元．然后再根據“用900元收購原料會比用900元收購原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根據“總利潤=單件利潤×銷售數量”列出解析式即可；（3）先確定的對稱軸和開口方向，然后再根據二次函數的性質求最值即可．【詳解】（1）設原料單價為元，則原料單價為元．由題意，得，解得．經檢驗，是原方程的根，且符合題意．，∴每盒產品的成本為（元）．答：每盒產品的成本為30元．（2）．（3）拋物線的對稱軸為直線，開口向下，當時，取70時有最大利潤，此時，即每天的最大利潤為16000元．當時，每天的最大利潤（）元．7．(1)拋物線的函數表達式為；(2)張凱投出的此球能命中籃圈中心；(3)李明應該在張凱前面米范圍內跳起攔截才能蓋帽成功．【分析】本題考查了二次函數的實際應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（）由題意可知拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，然后把代入求解即可；（）當時，求出的值，然后與比較即可；（）當時，，求出的值，然后檢驗即可．【詳解】（1）解：∵籃球運行的水平距離為時，達到離地面的最大高度，∴拋物線的頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，且過點，∴，解得：，∴拋物線的函數表達式為；（2）解：由（）得，拋物線的函數表達式為，當時，，∴張凱投出的此球能命中籃圈中心；（3）解：當時，，解得：（不合題意，舍去），，∴李明應該在張凱前面米范圍內跳起攔截才能蓋帽成功．8．(1)(2)當銷售單價定為15元時，日銷售利潤最大，最大利潤為1200元【分析】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，理解題意，正確列出關系式是解此題的關鍵．（1）用待定系數法求出函數解析式即可；（2）根據利潤=銷量×每份的利潤固定損耗，列出函數解析式，再根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設“麻辣拌”的日銷售量（份）與銷售單價（元）的函數表達式為，由題意得，，解得，，“麻辣拌”的日銷售量（份）與銷售單價（元）的函數表達式為．（2）解：設日銷售利潤為元，由題意得，，拋物線開口向下，，當時，有最大值，為1200元，答：當銷售單價定為15元時，日銷售利潤最大，最大利潤為1200元．9．(1)，每個頭盔漲價元時，每月的利潤最大，最大利潤為元(2)元【分析】（）根據題意列出函數解析式，再把函數解析式轉化為頂點式即可求解；（）把代入（）所得函數解析式求出的值，進而求出月銷售量即可求解；本題考查了二次函數的應用，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意得，，即，∵，∴當時，有最大值，即每個頭盔漲價元時，每月的利潤最大，最大利潤為元；（2）解：當時，，解得，當時，月銷售量為（個）；當時，月銷售量為（個）；∵盡量減少庫存，，此時售價為（元），答：每個頭盔售價為元．10．(1)第一次發球網球能過網，理由見解析；(2)發球員應向正前方移動的距離．【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數的平移，待定系數法求解析式，解一元二次方程等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）由二次函數過點，然后通過待定系數法求解析式即可；（）設發球員應向正前方移動的距離，則二次函數關系為，所以當時，，即，再解方程并檢驗即可．【詳解】（1）解：第一次發球網球能過網，理由：∵二次函數過點，∴，解得，∴二次函數關系為，當時，，∴第一次發球網球能過網；（2）解：設發球員應向正前方移動的距離，∴二次函數關系為，由題意得，當時，，∴，解得：，（舍去），故發球員應向正前方移動的距離．11．(1)(2)當銷售單價為35元時，每天獲利最大，最大利潤是450元(3)【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，二次函數的性質及其應用，熟練掌握二次函數的相關性質，是解題的關鍵．（1）設關于的函數表達式為，由待定系數法求得和的值，即可得解；（2）根據每月的總利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列式得出關于的二次函數，配方，根據二次函數的性質可得答案；（3）根據每月的總利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列式得出，求出其對稱軸，根據二次函數的性質，可得答案．【詳解】（1）解：設關于的函數表達式為，由題意得：，解得：，∴關于的函數表達式為；（2）解：由題意得：，，∴當時，有最大值450元；∴當銷售單價為35元時，每天獲利最大，最大利潤是450元；（3）解：由題意得：，二次函數的對稱軸為，∵，當銷售單價不超過38元時，利潤隨著的增大而增大，，，a的最小值為6．12．(1)，(2)當時，有最大值【分析】本題考查了矩形的性質，二次函數的實際應用，計算的取值范圍是解題的關鍵．（1）根據，求出與的函數解析式，根據矩形面積公式求出與的函數解析式；（2）將與的函數配成頂點式，先求出的取值范圍，再根據二次函數的性質求出的最大值．【詳解】（1）解：由題意得：，，，；（2）解：，，