2025年春九年級數學中考復習《圓綜合解答題》考前沖刺專題提升訓練（附答案）1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D．點E在線段AD上，DE=CD．連接BE并延長交⊙O于F．(1)求證：∠CBE=2∠BAC；(2)連接OD交BF于點G．若EF=2EG，CD=3，求⊙O的半徑．2．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC于點D，交AC于點E，過D作DH⊥AC于H，連接DE并延長交BA的延長線于點F．(1)求證：DH是⊙O的切線；(2)連接OH交DF于G，若HGOG=23，3．如圖，C,D為線段AB上兩點，且AD=10，CD=2，BC=3，過點D作AB的垂線，與以AC為直徑的⊙O交于點E，作射線BE．(1)求證：BE為⊙O的切線；(2)F為⊙O上一點，弦EF與直徑AC交于點G，當F為eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AC))中點時，求AG的長．4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作EF∥BC，交AB的延長線于點(1)求證：EF與⊙O相切；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=125．【課本再現】如圖1，PA,PB是⊙O的切線，A,B為切點，AC是⊙O的直徑．若∠BAC=25°，(1)求∠P的度數．(2)【變式設問】如圖2，AC是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A,B為⊙O上一點，AC的延長線與射線PB相交于點D，若∠D+2∠BAC=90°，求證：PA=PB．6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD，CE都是⊙O的弦，AB⊥CD于點G，CE交AG于點F，且eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BD))=(1)求證：BK=DK．(2)若DK=5，DH=6，求⊙O的直徑．(3)若點F在半徑OA上，OF=12OG7．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交BD于點F，已知AB=15，BE=48(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長度；(3)求BCEC8．如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線交BA的延長線于點D，AE⊥CD于點E,∠BAC=60°,P是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BC))上的動點（不與點B，C重合），連接CP并延長到點F，連接BP(1)求∠BPF的度數；(2)求證：AE平分∠DAC；(3)若AE=1，求四邊形ABPC面積的最大值．9．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，AB=6，延長AC到點G，使得∠A=∠CBG，半徑OD⊥AC與AC交于點E，連接BD與AC(1)求證：BG是⊙O的切線；(2)若AC=BD，求BG的長度；(3)若F是BD的中點，如圖2，求tan∠ABD10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F是射線AB上的一個動點（不與點A重合），連接DF，⊙O是△ADF的外接圓．已知AB=20，AD=10，點D到AB的距離為8．(1)若圓心O在線段AD上，求∠AFD的度數；(2)在（1）的條件下，過點F作FE交CD于點E，使∠DEF=∠ADF，求證：EF是⊙O的切線；(3)若圓心O不在線段AD上，當⊙O與平行四邊形ABCD的某一邊所在的直線相切時，試求線段AF的長．11．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC=AD，AD>AB，AC⊥BD，垂足為點E，AF是⊙O的直徑，點P是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AD))上異于點A、D的一點，點Q在FP的延長線上，且AQ2=FQ?PQ，AF與BD交于點M，設m=BMBD，(1)若∠CAD=70°，直接寫出∠ABC的度數；(2)求證：直線AQ是⊙O的切線；(3)若tan∠ACDtan∠ACB=4，mn=25，以下三個結論：12．如圖，在△ABC中，AB=AC，點P為線段AC上的一個動點（不與A，C重合），作點C關于BP的對稱點D，連結BD，PD．⊙O是△BCP的外接圓并分別交BD，AB于點E，F，連結PE，PF．

(1)判斷△DEP是否為等腰三角形，并說明理由．(2)證明：AP?BD=AC?BE．(3)連結OB，若點E為線段BD的三等份點且BC=6，tan∠C=5313．已知⊙O的半徑為5，△ABC是其內接三角形，(1)如圖1，求sinA(2)如圖2，弦DE=8，連接BD，BE分別交AC于點①求證：∠ABC=2∠DBE；②若點N為AM的中點，求BN的長．14．如圖，在⊙O中，直徑BC=6，AB⊥BC，AD是⊙O的切線，點D為切點．(1)如圖1，求證：AD=AB；(2)如圖2，線段AO交⊙O于點E，連結DE，若DE∥BC，求AE的長；(3)如圖3，線段AC交⊙O于點F，連結DF，若DF∥BC，求AF的長．15．△ACD是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，BD是弦，2∠CDB=∠ACD．(1)如圖1，求證：AC=DC；(2)如圖2，過點C作CH⊥AB于點H，延長DB到N，若BN=BH，求證：CN⊥BD；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AN，若AN⊥CD，CD=22，求線段CH16．如圖1，AB和CD是半徑為2的⊙O的兩條直徑，點P是BA延長線上的一點．連接PC交⊙O于點E（點E在線段PC上，且不與點P、點C重合）．(1)當PC=PO時，求證：CO(2)連接DE，交半徑OA于點M，已知PA=2．①連接PD，如圖2，當點M是△PCD的重心時，求∠BOC的余弦值；②連接BD、BE，當△BDE為等腰三角形時，求線段PE的長．17．如圖①，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E(在線段OA上），且DE=OE．(1)若∠ACD=α，用含有α的代數式表示∠BAC．(2)如圖②，點F在弧BD上，且∠CDF=12∠AEC，連結CF交AB于點G(3)在（2）的條件下，①若DE=4，CE=11，求②若DECE=x，用含有x的代數式表示18．已知，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，OD，∠BOD=2∠BAC．(1)如圖1，求證：AB⊥CD；(2)如圖2，點F在弧AD上，連接CF，EF，延長FE交⊙O于點G，連接CG，若∠BOD=3∠CFG，求證：∠DCG=2∠CFG；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點C作CH⊥FG于點H，若sin∠DCF=328，19．如圖，△ABC內接于⊙O，連接AO并延長交BC于點D，AD=AC．(1)如圖1，求證：∠DAC=2∠BAD；(2)如圖2，過點B作BF⊥AD，交AD的延長線于點E，交⊙O于點F，連接CF．求證：BD=CF；(3)如圖3，在（2）的條件下，作∠ABC的平分線交AO于點G，連接FG并延長交AB于點M，交⊙O于點P，連接AP，若BM=2AM,OG=1，求線段AP長．20．已知：AB為⊙O的直徑，AB=5，點C在⊙O上．聯結OC、BC，過點O作OD∥BC，交⊙O于點(1)如圖，聯結DB，當∠ABC=60°時，求證：四邊形OCBD是菱形；(2)作DE⊥OB，垂足為E．①如圖，聯結AC、DC，DC交半徑OB于點F，當∠OCD=12∠CAB②如圖，聯結AC、AD、DB，設△ODE的面積為S1，四邊形ACBD的面積為S2，如果S2參考答案1．（1）證明：如圖，連接BD，設∠BAC=α，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥CE，∵CD=DE，∴BC=BE，∴∠BEC=∠C，∵∠ABC=90°，∴∠C=90°?∠BAC=90°?α，∴∠BEC=90°?α，∴∠CBE=180°?∠C?∠BEC=180°?(90°?α)?(90°?α)=2α，∴∠CBE=2∠BAC；（2）解：如圖，連接AF，∵由（1）可得∠CBE=2α，∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ABC?∠CBE=90°?2α，∵∠BAC=α，∴∠BOD=2∠BAC=2α，∴∠DGE=∠BGO=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠F=90°，∴∠F=∠BGO，∴OD∥AF，∴△OBG∽△ABF，∴OG∴OD∥AF，∴△DGE∽△AFE，∴DG∵EF=2EG，∴DG∴OG=DG，∵∠BGO=90°，∴DB=OB，∵OB=OD，∴DB=OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠ODB=60°，∴∠DBE=30°，∵DE=CD=3，∠BDE=90°，∴BE=2DE=6，∴BD=B∴OB=33即⊙O的半徑為332．（1）證明：如圖，連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠C=∠ODB，∴AC∥∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，又∵OD是半徑，∴DH是⊙O的切線（2）解：如圖，連接BF，∵OA=1，∴AC=AB=2OA=2，OD=OA=1，∵AC∥∴△EGH∽△DGO，△BDO∽△BCA，∴HGOG=∴EH=23，∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC，∵DH⊥AC，∴DH∥∴△CDH∽△CBE，∴CH∴CE=2CH，即點H是CE的中點，∴CE=2EH=4∴AE=AC?CE=2?4∵AC∥∴△FAE∽△FOD，∴AF∴AF∴AF=2．3．解：（1）連接OE，∵AD=10，CD=2，BC=3，∴AC=AD+CD=12，∴⊙O半徑OE=OA=OC=6，OD=OC?CD=4，BD=CD+BC=5．∵ED⊥AB，∴∠ODE=BDE=90°在Rt△ODEED=O在Rt△BDEEB∵OE=6，∴OE2=36，OB=OC+BC=9∵OE∴在△OEB中，∠OEB=90°，即OE⊥BE．∵OE是⊙O的半徑，∴BE為⊙O的切線．（2）解：連接OF，∵F為eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AC))中點，AC為直徑，∴∠AOF=∠FOC=90°．∵DE⊥AB，∴∠EDG=90°，∴∠FOG=∠EDG=90°．∵∠OGF=∠DGE．∴△OFG∽△DEG．∴OGDG設OG=35t，則∵OD=OG+DG=4，即35t=4AG=OA+OG=6+35將t=3AG=15?354．（1）證明：連接OE，交BC于點G，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵D為△ABC的內心，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∴∠ACB=∠BGO，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BGO=90°∵BC∥EF∴∠BGO=∠FEO∴∠FEO=90°∵OE為⊙O的半徑，∴EF為⊙O的切線；（2）解：∵sin∠AEC=∴∠AEC=30°，∴∠ABC=∠AEC=30°，∴∠BOE=60°，∠EFO=30°，∴EF=OE?tan∴S陰影部分5．解：（1）∵PA,PB是⊙O的切線∴OA⊥AP,PA=PB∵∠BAC=25°∴∠ABP=∠BAP=90°?25°=65°∴∠P=180°?2×65°=50°．（2）根據題意，∠PAO=90°如圖，連接OB，可得AO=BO∴∠OAB=∠OBA，∠DOB=2∠BAC又∵∠D+2∠BAC=90°∴∠D+∠DOB=90°∴∠DBO=90°∴PB是⊙O的切線∴PA=PB．6．解：（1）連接BD，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD∴∵∴∴∠KBD=∠KDB∴BK=DK（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°∴∠KHD+∠KBD=∠HDK+∠KDB=90°，∵∠KBD=∠KDB∴∠KHD=∠HDK∴BK=DK=HK∵DK=5，DH=6∴BH=10∵∴∠BAD=∠HBD∵∠ADB=∠BDH∴△ADB∽△BDH∴AB∴AB=（3）連接FH，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD∴CG=DG∵∴∠BDG=∠FCG∵∠CGF=∠DGB∴△CGF≌DGB∴BG=FG∵BK=HK∴GK是△BFH的中位線∴FH∥CD設OF=x，則OG=2x，∴BG=3x∴CG=DG=21x∵∴∠BAD=∠DCE∵∠AFE=∠CFG∴∠ANF=∠CGF=90°∵∠AFN=∠CFG∴△AFN∽△CFG∴FN∴FN=∵∴∠FAN=∠EAN∵AN=AN,∠ANF=∠ANE=90°∴△FAN≌△EAN∴NE=FN∴EF=∵∠ANF=∠ADB=90°∴FH∥CD∴EH∴EH7．（1）證明：如圖，連接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，∵∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=∠ABC，∴OD∥∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，又∵OD是半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，又∵∠ADB=∠DEB=90°，∴△ABD∽△DBE，∴AB∴BD∵AB=15，BE=48∴BD∴BD=12，∴DE=（3）解：如圖，連接AC、OD交于點G，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DEB，∴AC∥∵OD⊥DE，∴OD⊥AC，∴AG=CG，∵∠DEC=∠GDE=∠DEC=90°，∴四邊形CEDG是矩形，∴CE=DG，DE=CG=36∴AG=36∴BC=A∵點O、G分別為AB、AC的中點，∴OG是△ABC的中位線，∴OG=1∵OD=1∴DG=OD?OG=27∴EC=27∴BC8．（1）解：∵四邊形ABPC是⊙O內接四邊形，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPF+∠BPC=180°，∴∠BPF=∠BAC=60°．（2）證明：如圖，連接OC．∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∴∠DCA+∠OCA=90°．又∵在△OCA中，OC=OA,∠BAC=60°，∴△OCA是等邊三角形，∴∠OCA=60°．∴∠DCA=30°，∴∠D+∠DCA=∠CAO=60°，∴∠D=∠DCA=30°，∴AD=AC，∴△DCA是等腰三角形．∵AE⊥CD，∴AE平分∠DAC．（3）解：由（2）得在Rt△DEA中，∠D=30°，AE=1∴AD=AC=2AE=2．∵AB是直徑，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=60°．∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4，∴BC=A∴S如圖，過點P作PG⊥CB于點G．在△CBP中，P為動點，BC為底邊，當PG垂直平分BC時，PG的值最大，∵∠BAC+∠BPC=180°，∠BAC=60°，∴∠BPC=120°，∵PG垂直平分BC，∴CP=BP，CG=1∴∠BCP=30°，∴PG=CG×tan∴S∴S四邊形9．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠∵∠∴∠即BA⊥BG，∵AB是⊙O的直徑，∴BG是⊙O的切線；（2）解：∵OD⊥AC，∴eq\o(\s\up4(⌒又∵AC=BD，∴∴∴∴∠AOD=60°，∴∠BAC=30°，∴BG=3（3）解：∵AB為直徑，OD⊥AC，∴∠∴OD∥∴∠∵DF=BF、∠DFE=∠BFC，∴△DFE≌△BFC，∴BC=DE、FC=EF，又∵AO=OB，∴OE是△ABC的中位線，設OE=t，則BC=DE=2t，∵DE=DO?OE=3?t，∴3?t=2t，解得：t=1，則DE=BC=2、AC=A∴EF=1∵OB=OD，∴∠則tan∠ABD=10．（1）解：∵⊙O是△ADF的外接圓，且圓心O在線段AD上，∴AD是⊙O的直徑，點F在⊙O上，∴∠AFD=90°；（2）證明：如圖1，連接OF，則OD=OF，在平行四邊形ABCD中，AB∥∴∠BFE=∠DEF，∵∠DEF=∠ADF，∴∠BFE=∠ADF，∵∠OFD=∠ADF，∴∠BFE=∠OFD，由（1）得，∠BFD=90°，∴∠BFE+∠DFE=90°，∴∠OFD+∠DFE=90°，則∠OFE=90°，即OF⊥EF，∵OF是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（3）解：如圖2，當⊙O與CD相切時，⊙O與CD只有一個交點D，即D為切點，連接DO并延長DO與AB相交于點G，∴DG⊥CD，∵AB∥∴DG⊥AB，則DG=8，∴在Rt△ADG中，AG=由垂徑定理得，AG=GF=6，∴AF=12；如圖3，當⊙O與BC相切時，設切點為M，延長MO交AD于點N，過點D作DH⊥CB于點H，DG⊥AB于點G，連接DB，∴∠NMH=90°，∠DHM=90°，∵AD∥∴∠MND=90°，∴四邊形MNDH是矩形，AN=DN=1∴MN=DH，∵S△BCD∴DH=16，則MN=16，設⊙O的半徑為r，則ON=16?r，在Rt△ANO中，AN2+O解得：r=281∴ON=231連接OD，則OA=OD，∴∠AON=1∵∠AFD=1∴∠AON=∠AFD，∵∠ANO=∠DGF=90°，∴△ANO∽△DGF，∴GFNO=DG∴GF=231同前可得，AG=6，∴AF=AG+GF=6+231∵⊙O與AB有兩個交點A和F，與AD有兩個交點A和D，∴⊙O與AB和AD所在的直線都不相切，綜上所述，當⊙O與平行四邊形ABCD的某一邊所在的直線相切時，線段AF的長為12或3512011．（1）解：∵AC=AD，∠CAD=70°∴∠ACD=∠ADC=180°?∠CAD∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BC=125°；（2）證明：如圖，連接AP，∵AF是⊙O的直徑，∴∠APF=90°，∵AQ∴AQ又∵∠AQP=∠FQA，∴△AQP∽△FQA，∴∠APQ=PAQ=90°，∴AF⊥AQ，又∵AF是⊙O的直徑，∴直線AQ是⊙O的切線；（3）解：如圖，連接DF，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°，∴∠ADC+∠CDF=90°，∵AC⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠ACD+∠CDE=90°，∵∠ACD=∠ADC，∴∠CDF=∠CDE，∵∠BAC=∠BDC，∠CAF=∠CDF，∴∠BAC=∠CAF，在△ABE和△AME中，∠BAE=∠MAEAE=AE∴△ABE≌△AMEASA∴BE=ME，在Rt△CED中，tan在Rt△CEB中，tan∵tan∴DE∴DE=4BE，∴DM=3BE，BD=5BE，∴m=BM∵AD2=A∴AD∴n=A∵mn=2∴2∴BC=3BE，∴DM=BC．12．（1）解：△DEP為等腰三角形；理由：由翻折得∠C=∠D，∵∠C=∠DEP，∴∠DEP=∠D，∴PD=PE，∴△DEP為等腰三角形；（2）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠AFP，∠ABC=∠APF，∴∠ABC=∠AFP，∠APF=∠AFP，∴FP∥BC，AF=AP，∴△AFP∽△ABC，∴APAC=又∵CP=DP=EP，∴BF=EP，∴BE=PF，又∵BD=BC，∴AP∴AP?BD=AC?BE；（3）解：過點A作AH⊥BC于點H，交PF于點M，連結OF，∵AB=AC，∴BH=CH=1∴AH經過圓心O，∵FP∥BC，∴AM⊥FP，∵AF=AP，∴FM=PM=1當DEBE=2時，

∵AP?BD=AC?BE，∴AC=3AP，由（2）知APAC∴PF∵BC=6，∴PF=2，∴FM=1，∵tan∴AH即AH3∴AH=5，∵△AFP∽△ABC，AM⊥FP，AH⊥BC，∴AM∴AM∴AM=5∴MH=5?5設OH=x，在Rt△FMO和Rt△BHO中，FM∵OF=OB，∴1解得x=7∴OH=7∴tan當DEBE=1

∵AP?BD=AC?BE，∴AP∴PF∵BC=6，∴PF=4，∴FM=2，同理AMAH求得AM=10∴MH=5?10設OH=x，則OM=5∴2解得x=2∴OH=2∴tan13．（1）解：在圖①中，連接BO并延長交⊙O于點F，連接CF，∵BF是直徑，∴∠BCF=90°．由題BF=10，∴∵∠A，∠F是eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(BC))所對的圓周角，∴∠A=∠F，∴（2）①證明：連接BO并延長交⊙O于點F，連接CF，在Rt△BCF中，BF=10CF=B∴eq\o(\s\up4(同理可證，AF=8，∴eq\o(\s\up4(則eq\o(\s\up4(∴∠ABF=∠CBF=∠DBE，即∠ABC=∠ABF+∠CBF=2∠DBE．②當點C與點D重合時，如下圖，此時BE為直徑，∴AC⊥BE于點N．由sin∠BAD=可得BN=3當點C與點D不重合時，如下圖，作∠GBC=∠ABN，截取BG=BN，連接GC，∵BG=BN，∠GBC=∠ABN∴△BGC≌△BNA，∴GC=AN，由①∠ABC=2∠DBE∴∠CBD+∠ABN=∠DBE，又∠GBC=∠ABN，∴∠GBM=∠NBM，又BG=BN，∴△BGM≌△BNM∴GM=NM，又MN=AN∴GM=GC，∴∠GCM=∠GMC．設∠A=x，則∠BCA=x，∠GCB=∠A=x，∠GCM=∠GCB+∠BCA=2x，∠GMC=2x．∴∠AMB=1∴∠ABM=90°，由（1）知，sin設BM=3x，則AM=5x，AB=4x，∵AB=6，∴AM=15∵點N為AM的中點，∴BN=1綜上所述，BN=185或14．（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，AB⊥BC，∴AB是⊙O的切線．又∵AD是⊙O的切線，∴AB=AD．（2）解：如圖，連結OD，∵AB=AD，AO=AO，BO=DO，∴△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD．∵DE∥BC，∴∠DEO=∠AOB．∵EO=DO，∴∠EDO=∠DEO=∠AOD．∴∠AOD=60°．∴cos∠AOD=∴AO=2DO=6，∴AE=AO?OE=6?3=3．（3）解：如圖，連結OA，OD，FB，BD，∵BO=DO，且∠AOB=∠AOD，∴OA⊥BD．∴∠AOB+∠OBD=90°，∵AB⊥BC，∴∠BAO+∠AOB=90°，∴∠BAO=∠OBD．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCB=∠CBD，∴∠BAO=∠ACB，且∠ABO=∠CBA，∴△ABO∽△CBA，∴ABBO∴AB∴AB=32∴AC=3∴cos∠ACB=∵BC是⊙O的直徑，∴∠CFB=90°，∴cos∠ACB=∴CF=26∴AF=3615．（1）證明：∵2∠CDB=∠ACD，設∠CDB=a，則∠ACD=2a，∵∴∠ACD=∠ABD=2a．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ADC+∠CDB=90°，∴∠ADC=90°?a，∠BAD=90°?2a∵∴∠BDC=∠BAC=a．∴∠CAD=90°?2a+a=90°?a，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=DC．（2）證明：連接BC．∴ADBC為圓內接四邊形，∴∠NBC=∠DAC，由（1）得．AC=DC，∴∠DAC=∠ADC，∵eq\o(\s\up4(∴∠ABC=∠ADC，∴∠NBC=∠ABC，∵BN=BH，BC=BC，∴△BNC≌△BHC，∴∠BNC=∠BHC∵CH⊥AB，即∠BHC=90°，∴∠BNC=90°，即CN⊥BD．（3）解：連接BC，交AN于點P，設CD與AN交于點M，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADC+∠CDN=90°，∵AN⊥CD，交CD于M∴∠DMN=90°，∴∠MND+∠MDN=90°，∴∠MND=∠ADC，由（2）得∠NBP=∠ADC，∴∠PNB=∠NBP，∴PB=PN，∵∠BNC=90°，∴∠PNB+∠PNC=90°，∠NBC+∠NCB=90°，∴∠PNC=∠PCN，∴PN=PC，∴PB=PN=PC，延長PC到R使PC=CR，連接AR，∵∠ACB=90°，∴∠R=∠APR，∵∠BNP+∠NBP+∠NPB=180°，∠PNB=∠NBP=∠PBA，∵∠R+∠BAR+∠RBA=180°，∴∠RAB=∠RBA，∴AR=BR=3CR，在Rt△ACR中，AC=CD=2∴CR即CR∴CR=1，AR=3，∴BC=2，在Rt△ABCAB=A∴12AB×CH=1∴CH=2×216．（1）解：連接OE，∵EO=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵PC=PO，∴∠PCO=∠POC，∴∠OEC=∠OCE=∠POC，∵∠C=∠C，∴△POC∽△OEC，∴OCCE∴CO（2）解：①過P作PH⊥OD于H，∵CD是直徑，∴∠DEC=90°，∴DE⊥PC，∵點M是△PCD的重心，∴PE=CE，∴PD=DC=4，∵PA=2，半徑為2，∴PO=4，∴PO=PD，，∵PH⊥OD∴OH=1∴cos∠BOC=②當BD=BE時，如圖，∵BD=BE，∴∴OM⊥DE，由（1）知DE⊥PC，不符合題意；當ED=BE時，連接EO，EA，∵AB和CD是⊙O的兩條直徑，∴∠BEA=∠DEC=90°，∵ED=BE，∴∴OD⊥BD，∴∠BEO=∠DEO，∵OE=OB，∴∠EBO=∠BEO=∠DEO，∴∠EOP=∠DEB=2∠DEO，∵∠PEA+∠AED=∠BED+∠AED=90°，∴∠PEA=∠BED，∴∠EOP=∠DEB，∵∠P=∠P，∴△PEA∽△POE，∴EPOP∴PE∴PE∴PE=22當DE=DB時，連接EA，設CD與BE交于G，∵DE=DB，∴∴CD⊥BE，BG=EG，∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BE，∴EA∥CO，∴PE∵PA=AO，∴PE=EC，∴AE是△POC的中位線，∴EA=1∵OA=OB,BG=EG，∴OG是△BAE的中位線，∴OG=1∴CG=2?1∴BE=A∴EG=1∴PE=EC=C綜上所述，線段PE的長6或2217．（1）解：如圖①，連結OD，OC，∵∠ACD=α，∴∠AOD=2α，∵ED=EO，∴∠D=∠EOD=2α，∵OD=OC，∴∠DCO=∠D=2α，∴∠CEO=∠EOD+∠EDO=2α+2α=4α，∴∠BAC=∠CEO?∠ACD=4α?α=3α．（2）證明：如圖，連結CO，延長CO交DF于T，由（1）可知，∠AEC=180∵∠CDF=1∴∠CDF=90∴∠CDF+∠DCO=90∴CT⊥DF，∴DT=TF，∴CD=CF．（3）解：①∵DE=4，∴DC=DE+CE=15，連結OD，∠DOE=∠DCO，∴△DOE∽△DCO，∴ODCD∴OD2=DE?DC=60∴AB=2OD=415②由（2）可得，CT⊥DF，DT=FT，∴∠DCT=∠FCT=∠EDO=∠EOD=2α，即CT是角平分線，∴∠DCG=∠DCT+∠FCT=2α+2α=4α，且∠CEO=4α，∴∠ECG=∠CEG，∴CG=EG，已知DECE設CE=a，則OE=DE=xa，設CG=k，由面積法可求得OG=xk，則EG=CG=EO+OG=DE+OG=xa+xk=k，∴k=xa在等腰△CEG中，cos∠DCF=18．（1）證明：連接OC，∵BC?=∴∠BOC=2∠BAC，∵∠BOD=2∠BAC，∴∠BOD=∠BOC，∵OD=OC，∴OE⊥CD，∴AB⊥CD；（2）證明：連接OC，OG，設∠BOD=6α，則由（1）可知∠BOC=2∠BOD=6α，∴∠BAC=1∵∠BOD=3∠CFG，∴∠CFG=1∵GC?∴∠COG=2∠GFC=4α，∵∠COD=∠DOB+∠BOC=12α，∴∠GOD=∠DOC?∠GOC=8α，∴∠GCD=1∴∠DCG=2∠CFG；（3）解：如下圖所示，過D作DK⊥FG于K，∴∠DKE=90∵CH⊥FG，∴∠CHE=90∴∠DKE=∠CHE，∵∠CEH=∠DEK，OB⊥CD于E，∴CE=DE，在△CEH和△DEK中，∠DKE=∠CHE∠DEK=∠CEH∴△CEH≌△DEK，∴CH=DK，EH=EK，連接DF，在FH上取點Q，使HQ=KF，∵∠CHQ=∠DKF=90°，在Rt△CHQ和Rt△DKF中，∴△CHQ≌△DKF∴CQ=DF，∴∠CQH=∠DFG，∵∠DFG=∠DCG=4α，∴∠CQH=4α，∵∠CFG=2α，∴∠FCQ=∠CQH?∠CFQ=2α，∴∠CFQ=∠FCQ，∴CQ=FQ，∴FQ=FD，∵FK+KQ=QH+KQ，∴FQ=KH=KE+EH=2EH，∵EH=6∴FQ=CQ=FD=KH=26延長DO交⊙O于M，連接FM，則∠MFD=90°，∵∠FMD=∠DCF，sin∠DCF=∴sin則FDDM=32∴⊙O的半徑為8319．（1）證明：如圖1，連CO，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=∠AOD=α，在△DAC中，∠DAC=180°?∠ADC?∠ACD=180°?2α，∵AO、CO為半徑，∴AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=180°?2α，在△AOC中，∠AOC=180°?∠OAC?∠OCA=4α?180°，∵eq\o(\s\up4(∴∠ABC=1在△ABD中，∠BAD=∠ADC?∠ABC=90°?α，∴∠BAD=1∴∠DAC=∠BAD；（2）證明：如圖2，連AF，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=270°?3α，∵四邊形BACF內接于⊙O，∴∠BFC+∠BAC=180°，∴∠BFC=180°?∠BAC=3α?90°，∵eq\o(\s\up4(∴∠AFC=∠ABC=2α?90°，∴∠BFA?∠BFC?∠AFC=3α?90°?2α+90°=α，∵AE⊥BCF，∴∠AEF=90°，在Rt△AEF中，∠AEF=90°∴∠EAF=90°?∠EFA=90°?α，∴∠FAC=∠EAC?∠EAF=90°?α，∴∠FAC=∠BAD，又∵∠ABD=∠AFC,