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10.3實(shí)際問題與二元一次方程組教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章“二元一次方程組”的10.3節(jié)“實(shí)際問題與二元一次方程組”。主要內(nèi)容包括:通過(guò)實(shí)際問題(如資源分配、幾何劃分、運(yùn)輸成本計(jì)算)建立二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型,分析問題中的數(shù)量關(guān)系,求解方程組并驗(yàn)證解的合理性,最終解決實(shí)際問題。內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已掌握二元一次方程組的解法基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型,并用方程組解決問題。通過(guò)分析問題中的等量關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中提取數(shù)學(xué)信息的能力,強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想。這為后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、函數(shù)等知識(shí)奠定基礎(chǔ),同時(shí)提升學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用意識(shí)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)
(1)能夠從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組,分析等量關(guān)系并列出方程。
(2)掌握解二元一次方程組的步驟,能根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)解的合理性。
(3)在解決復(fù)雜問題的過(guò)程中,發(fā)展邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模思想。2.目標(biāo)解析
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生應(yīng)能熟練識(shí)別實(shí)際問題中的關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系,并將其轉(zhuǎn)化為方程組。在合作探究中體會(huì)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程(審題→設(shè)元→列方程→解方程→驗(yàn)證→作答),提升分析問題和解決問題的能力。同時(shí),通過(guò)解決與生活緊密相關(guān)的實(shí)際問題(如物資分配、運(yùn)輸成本),增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等知識(shí)積累經(jīng)驗(yàn)。三、教學(xué)問題診斷分析找不準(zhǔn)等量關(guān)系:部分學(xué)生難以從文字描述中提取關(guān)鍵數(shù)據(jù),無(wú)法建立變量之間的數(shù)量關(guān)系。忽略實(shí)際意義檢驗(yàn):解出方程組后,可能忽略檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況(如人數(shù)為負(fù)數(shù))。復(fù)雜問題建模困難:涉及多步驟、多條件的問題(如分段計(jì)費(fèi))容易導(dǎo)致學(xué)生遺漏條件或混淆變量。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)情景引入問題1雞兔同籠問題:籠中有頭35個(gè),腳94只,問雞兔各幾只?
問題2某班級(jí)購(gòu)買圖書,若買3本《西游記》和5本《三國(guó)演義》需151元;買5本《西游記》和3本《三國(guó)演義》需165元。求每本書的價(jià)格。
問題3物流公司用2輛大貨車和3輛小貨車運(yùn)貨15.5噸,5輛大貨車和6輛小貨車運(yùn)貨35噸。求每輛大、小貨車的載重量。設(shè)計(jì)意圖:
從經(jīng)典問題到生活實(shí)例,逐步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用方程組解決實(shí)際問題的必要性。問題1復(fù)習(xí)算術(shù)方法,過(guò)渡到代數(shù)方法;問題2強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)未知數(shù)需兩個(gè)方程”;問題3引出后續(xù)探究?jī)?nèi)容。通過(guò)階梯式提問,激發(fā)興趣,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)。(二)合作探究1探究1養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛,1天用飼料675kg;一周后購(gòu)入12頭大牛和5頭小牛,1天用飼料940kg。飼養(yǎng)員估計(jì)大牛每天吃1820kg,小牛78kg。檢驗(yàn)估計(jì)是否準(zhǔn)確。步驟:設(shè)未知數(shù):設(shè)每頭大牛每天吃xkg,小牛吃ykg。列方程組:
30x解方程組:消元法:方程①×4:120x方程②×3:126x相減得:6x代入①:30解的豎式表示:
x驗(yàn)證:x=20在1820范圍內(nèi),y=追問:若飼料總量不變,新增牛的數(shù)量如何調(diào)整才能使估計(jì)準(zhǔn)確?設(shè)計(jì)意圖:
通過(guò)完整的問題解決流程(設(shè)元→列方程→解方程→檢驗(yàn)),培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解題習(xí)慣。追問引導(dǎo)學(xué)生反思模型合理性,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)(3)。(三)鞏固練習(xí)1練習(xí)1商店購(gòu)買3盞甲型燈和5盞乙型燈共50元;購(gòu)買12盞甲型燈和4盞乙型燈共88元。求每盞燈的單價(jià)。
解答:
設(shè)甲型燈x元,乙型燈y元,列方程組:
3x
解方程組:方程①×4:12x方程②×1:12x相減得:16y代入①:3x+35=50x練習(xí)2學(xué)校圖書館兩次購(gòu)買《西游記》和《水滸傳》,第一次2套西+3套水=151元,第二次4套西+2套水=178元。求每套價(jià)格。
解答:
設(shè)《西游記》x元,《水滸傳》y元,列方程組:
2x
解方程組:方程①×2:4x方程②×1:4x相減得:4y代入①:2x+93=151x(四)合作探究2探究2甲、乙作物單位產(chǎn)量比為1:2,現(xiàn)需將200m×100m的土地劃分為兩塊,使總產(chǎn)量比為3:4。如何劃分?分析:設(shè)未知數(shù):設(shè)甲作物種植區(qū)域長(zhǎng)為xm,乙作物種植區(qū)域長(zhǎng)為ym,則x+總產(chǎn)量比:甲產(chǎn)量乙產(chǎn)量甲產(chǎn)量乙產(chǎn)量=x×列方程組:
x解方程組:由②得x代入①:3代入得x解的豎式表示:
x驗(yàn)證:劃分后甲產(chǎn)量120×100×1=12000設(shè)計(jì)意圖:
結(jié)合幾何問題,引導(dǎo)學(xué)生理解“產(chǎn)量比”轉(zhuǎn)化為面積與單位產(chǎn)量的乘積比,強(qiáng)化多維度建模能力,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(1)(3)。(五)典例分析例1絲路紡織廠從A地購(gòu)長(zhǎng)絨棉,制成面料運(yùn)往B地。已知:長(zhǎng)絨棉進(jìn)價(jià)3.08萬(wàn)元/噸,面料出廠價(jià)4.25萬(wàn)元/噸;公路運(yùn)費(fèi)0.5元/(噸·千米),鐵路運(yùn)費(fèi)0.2元/(噸·千米);總公路運(yùn)費(fèi)5200元,鐵路運(yùn)費(fèi)16640元。
求銷售額比原料費(fèi)+運(yùn)費(fèi)多多少元。解析:補(bǔ)充條件:假設(shè)A到工廠公路80km,鐵路200km;工廠到B地公路50km,鐵路150km。設(shè)未知數(shù):設(shè)購(gòu)買x噸長(zhǎng)絨棉,制成y噸面料。整理運(yùn)輸費(fèi)用:長(zhǎng)絨棉運(yùn)輸費(fèi):
公路鐵路合計(jì)元公路面料運(yùn)輸費(fèi):
公路鐵路合計(jì)元公路列方程組:
假設(shè)制成率為80x解方程組:代入②到①:80x計(jì)算得:80x代入得:y解的豎式表示:
x計(jì)算利潤(rùn)差:銷售額:156.75×4.25原料費(fèi)+運(yùn)費(fèi):165×3.08差額:666.19?510.384設(shè)計(jì)意圖:
通過(guò)多條件、多步驟問題,訓(xùn)練學(xué)生信息整理與綜合建模能力,強(qiáng)調(diào)分步解決復(fù)雜問題的策略,對(duì)應(yīng)目標(biāo)(2)(3)。(六)鞏固練習(xí)練習(xí)1運(yùn)輸公司用2輛大貨車和3輛小貨車運(yùn)貨15.5噸,5輛大貨車和6輛小貨車運(yùn)貨35噸。求3輛大貨車與5輛小貨車一次運(yùn)貨量。
解答:
設(shè)大貨車載重x噸/輛,小貨車載重y噸/輛,列方程組:
2x
解方程組:方程①×2:4x方程②×1:5x相減得:x代入①:2×4+3yx
運(yùn)貨量:3×4練習(xí)2七年級(jí)地質(zhì)小組購(gòu)買往返票和單程票共20張,花費(fèi)1180元。求各買多少?gòu)垺?/p>
解答:
設(shè)往返票a張,單程票b張,列方程組:
a
解方程組:方程①×45:45a方程②×1:80a相減得:35a代入①:8+b=20a練習(xí)3甲地到乙地上坡30km/h,平路40km/h,下坡50km/h。去程54分鐘,返程42分鐘。求全程。
解答:
設(shè)上坡s1km,平路s2s
解方程組:方程①-方程②:s代入①:1530+s2s
全程:15+(七)歸納總結(jié)步驟關(guān)鍵操作注意事項(xiàng).審題設(shè)元明確未知數(shù),設(shè)x、y單位統(tǒng)一,避免混淆2.找等量關(guān)系從文字、表格、圖表中提取兩個(gè)關(guān)系避免遺漏隱含條件3.列方程組書寫規(guī)范,如2x系數(shù)與變量對(duì)齊4.解方程組代入法或加減法計(jì)算準(zhǔn)確,避免符號(hào)錯(cuò)誤5.檢驗(yàn)與作答檢查解是否滿足所有條件及實(shí)際意義負(fù)數(shù)、非整數(shù)解需重新審視模型(八)感受中考1.(2023江蘇)某商店銷售A、B商品,A每天售20件,B每天售30件,總利潤(rùn)為2000元;若A降價(jià)5元,銷量增5件,B售價(jià)不變,總利潤(rùn)增加300元。求A、B原價(jià)。
解答:
設(shè)A原價(jià)x元,B原價(jià)y元,列方程組:
成本成本成本成本20
解的豎式表示(假設(shè)成本為c):
x2.(2024浙江)甲、乙兩人從A、B兩地相向而行,甲速度5m/s,乙速度3m/s,相遇后甲繼續(xù)到B地耗時(shí)120秒。求AB距離。
解答:
設(shè)相遇時(shí)用時(shí)t秒,距離s=5t+3t=8t,甲剩余路程3.(2022廣東)某工廠生產(chǎn)桌椅,每張桌子用木料0.2m3,椅子0.05m3,現(xiàn)有木料12m3。若生產(chǎn)x張桌子,y把椅子,且x+y=60,求x、y。
解答0.2x
解的豎式表示:
x4.(2023山東)學(xué)校采購(gòu)籃球和足球,買2個(gè)籃球和3個(gè)足球需340元;買4個(gè)籃球和1個(gè)足球需380元。求籃球單價(jià)。
解答:
設(shè)籃球x元,足球y元,列方程組:
2x
解的豎式表示:
x設(shè)計(jì)意圖:
通過(guò)中考真題練習(xí),幫助學(xué)生熟悉考試題型,檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果,提升應(yīng)考能力。(九)小結(jié)梳理知識(shí)模塊核心思想典型問題資源分配問題利用總量與部分量關(guān)系建立方程養(yǎng)牛場(chǎng)飼料、運(yùn)輸貨物幾何劃分問題將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系土地劃分、路徑規(guī)劃經(jīng)濟(jì)決策問題利潤(rùn)=售價(jià)-成本,注意分段計(jì)費(fèi)商品銷售、運(yùn)輸成本計(jì)算(十)布置作業(yè)必做題習(xí)題10.3第1題(解方程組)、第2題(徒步速度問題)。某工廠用2臺(tái)A型機(jī)器和3臺(tái)B型機(jī)器生產(chǎn)零件,每天共生產(chǎn)460個(gè);3臺(tái)A型和2臺(tái)B型每天共生產(chǎn)480個(gè)
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