10.3實(shí)際問題與二元一次方程組教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第十章“二元一次方程組”的10.3節(jié)“實(shí)際問題與二元一次方程組”。主要內(nèi)容包括：通過(guò)實(shí)際問題（如資源分配、幾何劃分、運(yùn)輸成本計(jì)算）建立二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，求解方程組并驗(yàn)證解的合理性，最終解決實(shí)際問題。內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已掌握二元一次方程組的解法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并用方程組解決問題。通過(guò)分析問題中的等量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中提取數(shù)學(xué)信息的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想。這為后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、函數(shù)等知識(shí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)提升學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用意識(shí)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)

(1)能夠從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，分析等量關(guān)系并列出方程。

(2)掌握解二元一次方程組的步驟，能根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)解的合理性。

(3)在解決復(fù)雜問題的過(guò)程中，發(fā)展邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模思想。2.目標(biāo)解析

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能熟練識(shí)別實(shí)際問題中的關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為方程組。在合作探究中體會(huì)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程（審題→設(shè)元→列方程→解方程→驗(yàn)證→作答），提升分析問題和解決問題的能力。同時(shí)，通過(guò)解決與生活緊密相關(guān)的實(shí)際問題（如物資分配、運(yùn)輸成本），增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等知識(shí)積累經(jīng)驗(yàn)。三、教學(xué)問題診斷分析找不準(zhǔn)等量關(guān)系：部分學(xué)生難以從文字描述中提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)，無(wú)法建立變量之間的數(shù)量關(guān)系。忽略實(shí)際意義檢驗(yàn)：解出方程組后，可能忽略檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況（如人數(shù)為負(fù)數(shù)）。復(fù)雜問題建模困難：涉及多步驟、多條件的問題（如分段計(jì)費(fèi)）容易導(dǎo)致學(xué)生遺漏條件或混淆變量。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情景引入問題1雞兔同籠問題：籠中有頭35個(gè)，腳94只，問雞兔各幾只？

問題2某班級(jí)購(gòu)買圖書，若買3本《西游記》和5本《三國(guó)演義》需151元；買5本《西游記》和3本《三國(guó)演義》需165元。求每本書的價(jià)格。

問題3物流公司用2輛大貨車和3輛小貨車運(yùn)貨15.5噸，5輛大貨車和6輛小貨車運(yùn)貨35噸。求每輛大、小貨車的載重量。設(shè)計(jì)意圖：

從經(jīng)典問題到生活實(shí)例，逐步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用方程組解決實(shí)際問題的必要性。問題1復(fù)習(xí)算術(shù)方法，過(guò)渡到代數(shù)方法；問題2強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)未知數(shù)需兩個(gè)方程”；問題3引出后續(xù)探究?jī)?nèi)容。通過(guò)階梯式提問，激發(fā)興趣，對(duì)應(yīng)目標(biāo)（1）。（二）合作探究1探究1養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天用飼料675kg；一周后購(gòu)入12頭大牛和5頭小牛，1天用飼料940kg。飼養(yǎng)員估計(jì)大牛每天吃1820kg，小牛78kg。檢驗(yàn)估計(jì)是否準(zhǔn)確。步驟：設(shè)未知數(shù)：設(shè)每頭大牛每天吃xkg，小牛吃ykg。列方程組：

30x解方程組：消元法：方程①×4：120x方程②×3：126x相減得：6x代入①：30解的豎式表示：

x驗(yàn)證：x=20在1820范圍內(nèi)，y=追問：若飼料總量不變，新增牛的數(shù)量如何調(diào)整才能使估計(jì)準(zhǔn)確？設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)完整的問題解決流程（設(shè)元→列方程→解方程→檢驗(yàn)），培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范解題習(xí)慣。追問引導(dǎo)學(xué)生反思模型合理性，對(duì)應(yīng)目標(biāo)（2）（3）。（三）鞏固練習(xí)1練習(xí)1商店購(gòu)買3盞甲型燈和5盞乙型燈共50元；購(gòu)買12盞甲型燈和4盞乙型燈共88元。求每盞燈的單價(jià)。

解答：

設(shè)甲型燈x元，乙型燈y元，列方程組：

3x

解方程組：方程①×4：12x方程②×1：12x相減得：16y代入①：3x+35=50x練習(xí)2學(xué)校圖書館兩次購(gòu)買《西游記》和《水滸傳》，第一次2套西+3套水=151元，第二次4套西+2套水=178元。求每套價(jià)格。

解答：

設(shè)《西游記》x元，《水滸傳》y元，列方程組：

2x

解方程組：方程①×2：4x方程②×1：4x相減得：4y代入①：2x+93=151x（四）合作探究2探究2甲、乙作物單位產(chǎn)量比為1:2，現(xiàn)需將200m×100m的土地劃分為兩塊，使總產(chǎn)量比為3:4。如何劃分？分析：設(shè)未知數(shù)：設(shè)甲作物種植區(qū)域長(zhǎng)為xm，乙作物種植區(qū)域長(zhǎng)為ym，則x+總產(chǎn)量比：甲產(chǎn)量乙產(chǎn)量甲產(chǎn)量乙產(chǎn)量=x×列方程組：

x解方程組：由②得x代入①：3代入得x解的豎式表示：

x驗(yàn)證：劃分后甲產(chǎn)量120×100×1=12000設(shè)計(jì)意圖：

結(jié)合幾何問題，引導(dǎo)學(xué)生理解“產(chǎn)量比”轉(zhuǎn)化為面積與單位產(chǎn)量的乘積比，強(qiáng)化多維度建模能力，對(duì)應(yīng)目標(biāo)（1）（3）。（五）典例分析例1絲路紡織廠從A地購(gòu)長(zhǎng)絨棉，制成面料運(yùn)往B地。已知：長(zhǎng)絨棉進(jìn)價(jià)3.08萬(wàn)元/噸，面料出廠價(jià)4.25萬(wàn)元/噸；公路運(yùn)費(fèi)0.5元/(噸·千米)，鐵路運(yùn)費(fèi)0.2元/(噸·千米)；總公路運(yùn)費(fèi)5200元，鐵路運(yùn)費(fèi)16640元。

求銷售額比原料費(fèi)+運(yùn)費(fèi)多多少元。解析：補(bǔ)充條件：假設(shè)A到工廠公路80km，鐵路200km；工廠到B地公路50km，鐵路150km。設(shè)未知數(shù)：設(shè)購(gòu)買x噸長(zhǎng)絨棉，制成y噸面料。整理運(yùn)輸費(fèi)用：長(zhǎng)絨棉運(yùn)輸費(fèi)：

公路鐵路合計(jì)元公路面料運(yùn)輸費(fèi)：

公路鐵路合計(jì)元公路列方程組：

假設(shè)制成率為80x解方程組：代入②到①：80x計(jì)算得：80x代入得：y解的豎式表示：

x計(jì)算利潤(rùn)差：銷售額：156.75×4.25原料費(fèi)+運(yùn)費(fèi)：165×3.08差額：666.19?510.384設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)多條件、多步驟問題，訓(xùn)練學(xué)生信息整理與綜合建模能力，強(qiáng)調(diào)分步解決復(fù)雜問題的策略，對(duì)應(yīng)目標(biāo)（2）（3）。（六）鞏固練習(xí)練習(xí)1運(yùn)輸公司用2輛大貨車和3輛小貨車運(yùn)貨15.5噸，5輛大貨車和6輛小貨車運(yùn)貨35噸。求3輛大貨車與5輛小貨車一次運(yùn)貨量。

解答：

設(shè)大貨車載重x噸/輛，小貨車載重y噸/輛，列方程組：

2x

解方程組：方程①×2：4x方程②×1：5x相減得：x代入①：2×4+3yx

運(yùn)貨量：3×4練習(xí)2七年級(jí)地質(zhì)小組購(gòu)買往返票和單程票共20張，花費(fèi)1180元。求各買多少?gòu)垺?/p>

解答：

設(shè)往返票a張，單程票b張，列方程組：

a

解方程組：方程①×45：45a方程②×1：80a相減得：35a代入①：8+b=20a練習(xí)3甲地到乙地上坡30km/h，平路40km/h，下坡50km/h。去程54分鐘，返程42分鐘。求全程。

解答：

設(shè)上坡s1km，平路s2s

解方程組：方程①-方程②：s代入①：1530+s2s

全程：15+（七）歸納總結(jié)步驟關(guān)鍵操作注意事項(xiàng).審題設(shè)元明確未知數(shù)，設(shè)x、y單位統(tǒng)一，避免混淆2.找等量關(guān)系從文字、表格、圖表中提取兩個(gè)關(guān)系避免遺漏隱含條件3.列方程組書寫規(guī)范，如2x系數(shù)與變量對(duì)齊4.解方程組代入法或加減法計(jì)算準(zhǔn)確，避免符號(hào)錯(cuò)誤5.檢驗(yàn)與作答檢查解是否滿足所有條件及實(shí)際意義負(fù)數(shù)、非整數(shù)解需重新審視模型（八）感受中考1.(2023江蘇)某商店銷售A、B商品，A每天售20件，B每天售30件，總利潤(rùn)為2000元；若A降價(jià)5元，銷量增5件，B售價(jià)不變，總利潤(rùn)增加300元。求A、B原價(jià)。

解答：

設(shè)A原價(jià)x元，B原價(jià)y元，列方程組：

成本成本成本成本20

解的豎式表示（假設(shè)成本為c）：

x2.(2024浙江)甲、乙兩人從A、B兩地相向而行，甲速度5m/s，乙速度3m/s，相遇后甲繼續(xù)到B地耗時(shí)120秒。求AB距離。

解答：

設(shè)相遇時(shí)用時(shí)t秒，距離s=5t+3t=8t，甲剩余路程3.(2022廣東)某工廠生產(chǎn)桌椅，每張桌子用木料0.2m3，椅子0.05m3，現(xiàn)有木料12m3。若生產(chǎn)x張桌子，y把椅子，且x+y=60，求x、y。

解答0.2x

解的豎式表示：

x4.(2023山東)學(xué)校采購(gòu)籃球和足球，買2個(gè)籃球和3個(gè)足球需340元；買4個(gè)籃球和1個(gè)足球需380元。求籃球單價(jià)。

解答：

設(shè)籃球x元，足球y元，列方程組：

2x

解的豎式表示：

x設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)中考真題練習(xí)，幫助學(xué)生熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力。（九）小結(jié)梳理知識(shí)模塊核心思想典型問題資源分配問題利用總量與部分量關(guān)系建立方程養(yǎng)牛場(chǎng)飼料、運(yùn)輸貨物幾何劃分問題將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系土地劃分、路徑規(guī)劃經(jīng)濟(jì)決策問題利潤(rùn)=售價(jià)-成本，注意分段計(jì)費(fèi)商品銷售、運(yùn)輸成本計(jì)算（十）布置作業(yè)必做題習(xí)題10.3第1題（解方程組）、第2題（徒步速度問題）。某工廠用2臺(tái)A型機(jī)器和3臺(tái)B型機(jī)器生產(chǎn)零件，每天共生產(chǎn)460個(gè)；3臺(tái)A型和2臺(tái)B型每天共生產(chǎn)480個(gè)