第23講數陣圖知識與方法數陣圖問題千變萬化，需要綜合運用各種數學知識來解決問題，而往往同學們喜歡毫無順序的“瞎試”，本講要介紹一些通用的方法。所以，一般是先用公式法分析出重復數，再用嘗試法進行試填。方法一：嘗試法：所給的是一個等差數列，并且每條線上的數是奇數個時，中間數只能填最大數、最小數或中間數，因此可以依據這個規律進行嘗試。方法二：公式法：線和×線數＝數字和＋重復數×重復次數初級挑戰1將1～7分別填入下圖的7個○內，使每條線段上三個○內數的和相等。思維點撥：觀察發現，每條線上的三個數之和相等，而這三條線相交剛好重復了一個數，我們叫做重復數。除去重復數，三條線上其他兩數之和應相等。1～7中，找出三組和相等的六個數即可，剩下的一個數填中間。答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分別填入下圖的○內，使每條線段上3個○內數的和相等。答案：中間重復數為1或6或11。給出一種填法：（答案不唯一）初級挑戰2將數字1～8填入圖中，使橫行方框中的數之和與豎列方框中的數之和相等且為19。思維點撥：本題的關鍵在于先確定中間重復數。橫行和豎列的和為19×2＝38，而實際上所有方框中的數之和為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出來的2正好是中間重復的數。答案：（答案不唯一）能力探索2將2～8填入下圖的方框中，使橫行、豎列的和相等且為20。答案：中間重復數：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。（答案不唯一）中級挑戰1將1～10這十個自然數填入下圖的○中，使每個圓上六個數的和為29。思維點撥：兩個大圓圈的和為29×2＝58，而圓圈上所有的數之和為：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中間兩個圓圈數（重復數）的和為58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中間的兩個圓圈數分別為1和2，再兩兩配對填出其它數即可。答案：（答案不唯一）能力探索3把數字1～8分別填入下圖的小圓圈內，使每個五邊形上5個數的和都等于20。答案：中間兩數之和：20×2－（1＋2＋3＋…＋8）＝4。4＝1＋3，因此中間兩數分別為1和3。（答案不唯一）中級挑戰2將1～6填入下圖的○內，使三角形的每條邊上的三個○內的數的和都等于9。思維點撥：由題意可知：三條線和為9×3＝27，而6個圓圈內的數的和為1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，因為三角形三個頂點處的數分別都算了2次，因此可算出三個頂點處的數之和為27－21＝6。而6＝1＋2＋3，由此可先確定三個頂點處的數為1、2、3，再嘗試求出結果。答案：（答案不唯一）能力探索4將1～6填入下圖的○內，使三角形的每條邊上的三個○內的數的和都等于12。答案：先算出三個頂點數之和為：12×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝15，因為15＝4＋5＋6，因此三個頂點的數為4、5、6，具體填法如下：（答案不唯一）聰明泉李善蘭十九世紀六十至九十年代，一批近代科學家脫穎而出，浙江海寧人李善蘭就是其中的佼佼者。李善蘭字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，出生于一個書香門第，少年時代便喜歡數學。十歲那年，李善蘭在讀家塾時，從書架上“竊取”中國古代數學名著——《九章算術》“閱之”，僅靠書中的注解，竟將全書426個數字應用題全部解出，在中國近代史上，李善蘭以卓越的數學研究引人矚目。他編輯的《則古昔齋算學》中包括數學著作13種，李善蘭早期研究的數學課題，主要是我國明清以來的傳統數學。比較突出的是他對“尖錐術”的獨立研究。他在中國傳統數學垛積術的極限方法基礎上，發明了尖錐術，創立了各種三角函數和對數函數的冪級數展開式，以及幾個重要積分公式的雛形，李善蘭在創造“尖錐術”的時候，還沒有接觸到微積分，但他實際上具有解析幾何思想和微積分思想。拓展挑戰把1～10各數填入“六一”的10個空格里，使在同一直線的各數的和都是12。思路引領：圖形中一共有五條直線，這五條直線的和為12×5＝60，而所有數之和為1＋2＋…＋10＝55，因此可先確定重復數為5。再根據同一直線的各數的和都是12，嘗試填出其它數即可。給出一種具體填法如下：能力探索5把1～9各數填入“七一”的9個空格里，使在同一直線的各數的和都是13。答案：因為同一直線上的數相加的和都是13，所以圖中4條直線相加的和應是13×4＝52，重復了兩個數。而1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，所以重復兩數的和為52－45＝7,1＋6＝7,2＋5＝7,3＋4＝7。當重復數為3和4時，有如下答案（答案不唯一）：課堂小測1、將1～7七個自然數分別填入圖中圓圈里，使每條線上三個數的和相等。答案：（答案不唯一）2、用數字1、3來填數，使正方形每邊的和為7，四邊的和為18。答案：正方形每邊的和為7，只能是3＋3＋1＝7，四邊的和為18，即8個數的和為18，可以用5個3和3個1。3、把5、6、7、8、9、10這六個數填入下圖中三條邊的○內，使得每條邊上的三個數之和是21。答案：6個數的和：5＋6＋7＋8＋9＋10＝45，三條邊上的和：21×3＝63，三個頂點上重復數之和：63－45＝18，18＝5＋6＋7，因此，三個頂點上的數為：5、6、7。嘗試得出一種填法：※4、將4、5、6、7、8、9、10、11八個數分別填在圖中，使每一橫行、每一豎列的三個數的和都相等。答案：如果每一橫行、每一豎列的數分別加起來，左圖中間位上的數就加了兩次，是本題的重復數，假設這個重復數為A，每一橫行或豎列的和為B，那么：B×3＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋A＝60＋A。因為B×3是3的倍數，所以60＋A也是3的倍數，所以，A可能是6或9，不可能是4、5、7、8、10、11。如果重復數A為6，根據每行、每列的三個數之和都相等，則每行或每列的三個數之和是66÷3＝22。經過嘗試，得出以下的解：如果A＝9，則每行或每列的三個數之和是69÷3＝23。經過嘗試，得出以下的解：課后作業1、將1、3、5、7、9這五個數分別填入下圖的各正方形中，組成一個“十字型數陣圖”，使圖中橫行三個數的和與豎列三個數的和相等。答案：中間數為1或5或9，給出一種填法如下：（答案不唯一）2、將