7.3空間角（精講）空間角的概念及范圍空間角解題思路夾角范圍線線角設兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為則線面角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設二面角大小為φ，則一．異面直線所成的角1.幾何法:平移法求異面直線所成的角(1)作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．2.向量法(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.二．直線與平面所成角1.幾何法一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.2.向量法（1）斜線的方向向量（2）平面的法向量（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補角），取其余角就是斜線和平面所成的角.三．二面角1.幾何法方法一：定義法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.考法一線線角【例11】（2023·河南洛陽）如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【例12】（2023秋·陜西漢中）在三棱錐中，，的邊長均為6，P為AB的中點，則異面直線PC與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·北京）如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學校考開學考試）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．考法二線面角【例21】（2023秋·福建福州）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．【例22】（2023秋·湖北）如圖，在四棱臺中，底面，M是中點.底面為直角梯形，且，，.

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【一隅三反】1．（2022秋·陜西渭南·高三統考階段練習）如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．2．（2023秋·重慶·高三統考開學考試）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2023春·北大附中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，.

(1)設分別為的中點，求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.考法三二面角【例31】（2023秋·廣東）如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【例32】（2023春·湖南永州·高三統考階段練習）在正方體中，E、F分別是棱AB、CD的中點.

(1)求證：面；(2)求二面角的大小.【一隅三反】1．（2023秋·山西呂梁·高三校聯考開學考試）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點是棱上的一點．(1)若，求證：平面平面；(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值．2．（2023秋·陜西漢中·高三統考階段練習）在直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為AC和的中點，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點，求二面角的余弦值.4．（2023秋·廣東深圳·高三校聯考開學考試）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.考法四動點問題求角【例4】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設平面與平面所成角為，是否存在點G，使得，若存在確定G點位置；若不存在，請說明理由.【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點.(1)平面平面，證明：；(2)當二面角的余弦值為時，試確定點的位置.2．（2023秋·湖南衡陽·高三校考階段練習）如圖1，在平面圖形中，，，，，沿