2.2用配方法求解簡單的一元二次方程（教學設計）20242025學年北師大版數學九年級上冊【教學目標】1.知識與技能目標學生能夠理解配方法的概念，掌握用配方法解簡單一元二次方程的步驟，并能熟練運用配方法求解數字系數的一元二次方程。2.核心素養目標數學抽象：通過對一元二次方程配方過程的學習，抽象出配方法的本質，提高從具體問題中抽象出數學模型的能力。邏輯推理：在推導配方法的過程中，培養邏輯推理能力，能夠有條理地思考和表達推理過程。數學運算：準確、熟練地運用配方法進行一元二次方程的求解，提高數學運算能力。直觀想象：借助完全平方公式的幾何意義，直觀理解配方法的原理，發展直觀想象能力。數學建模：將實際問題轉化為一元二次方程模型，并用配方法求解，增強數學建模意識和能力。【教學重難點】1.教學重點理解配方法的概念和原理。掌握用配方法解一元二次方程的步驟，并能正確運用配方法解簡單的一元二次方程。2.教學難點理解配方法的本質，尤其是配方的關鍵步驟——在方程兩邊加上一次項系數一半的平方。靈活運用配方法解決各種類型的一元二次方程，以及將配方法應用于實際問題的求解。【教學準備】1.投影儀和電腦，用于展示一元二次方程的求解過程、完全平方公式的幾何圖形等，增強學生的直觀感受。2.制作相關的教學課件，包含例題、練習題、動畫演示等內容。3.準備課堂練習紙，方便學生進行課堂練習。【教學過程】一、導入新課（5分鐘）1.創設情境老師展示一個實際問題：某學校要修建一個面積為150平方米的長方形花壇，已知花壇的長比寬多5米，求這個花壇的長和寬分別是多少？引導學生設未知數，設花壇的寬為x米，則長為(x+5)米，根據長方形面積公式可列出方程x(x+5)=150，展開得到x2+5x150=0。2.提出問題提問：我們已經學過一元二次方程的概念，那么如何求解這個方程呢？之前學過的方法好像不太容易解決這個問題，今天我們就來學習一種新的方法——配方法。（學生開始思考，表現出對新方法的好奇和期待。）二、新課學習（20分鐘）1.回顧舊知展示問題：你能解下列一元二次方程嗎？(1)x2=4(2)(x+3)2=2讓學生自主求解這兩個方程。學生回答：(1)對于方程x2=4，根據平方根的定義，x=±2。(2)對于方程(x+3)2=2，x+3=±√2，所以x=3±√2。老師總結：像這種能直接開平方求解的方程，我們很容易得出答案。但很多一元二次方程不能直接開平方，那怎么辦呢？2.探究配方法的原理展示方程x2+6x+4=0引導學生思考：能不能將方程轉化為我們熟悉的可以直接開平方的形式呢？老師提示：我們知道完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，對于方程x2+6x+4=0中的x2+6x，我們可以嘗試將其湊成完全平方的形式。提問：x2+6x加上一個什么數可以變成完全平方式呢？學生思考并回答：因為6x=2×x×3，所以加上32=9可以變成完全平方式，即x2+6x+9=(x+3)2。老師講解：我們在方程x2+6x+4=0兩邊同時加上9，得到x2+6x+9+4=9，即(x+3)2+4=9，進一步變形為(x+3)2=5。這樣就將原方程轉化為了可以直接開平方的形式，然后求解：x+3=±√5，所以x=3±√5。3.總結配方法的步驟老師引導學生回顧剛才的求解過程，總結用配方法解一元二次方程的步驟：移項：把常數項移到等號右邊，如方程x2+6x+4=0移項后得到x2+6x=4。配方：在等號兩邊加上一次項系數一半的平方，對于x2+6x，一次項系數是6，一半是3，平方是9，所以在方程兩邊加上9，得到x2+6x+9=4+9。變形：將左邊寫成完全平方式，右邊合并同類項，即(x+3)2=5。開方：根據平方根的定義，對完全平方式開平方，得到x+3=±√5。求解：解一元一次方程，得到x=3±√5。4.例題講解展示例題：用配方法解方程x24x1=0老師示范解題過程：移項：x24x=1配方：在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，一次項系數是4，一半是2，平方是4，所以x24x+4=1+4，即(x2)2=5。開方：x2=±√5求解：x=2±√5老師強調：在配方過程中，一定要注意加上一次項系數一半的平方，并且在方程兩邊都要加上。三、隨堂練習（10分鐘）1.基礎練習用配方法解方程：(1)x2+8x9=0(2)x26x+4=0學生獨立完成，老師巡視指導，及時糾正學生出現的問題。學生完成后，抽取部分學生的答案進行展示和講解。答案：(1)移項得x2+8x=9，配方得x2+8x+16=9+16，即(x+4)2=25，開方得x+4=±5，解得x=1或x=9。(2)移項得x26x=4，配方得x26x+9=4+9，即(x3)2=5，開方得x3=±√5，解得x=3±√5。2.提高練習已知方程x2+mx+n=0可以通過配方法變形為(x3)2=5，求m和n的值。先讓學生思考，然后小組討論，最后請小組代表發言。老師講解：將(x3)2=5展開得到x26x+9=5，即x26x+4=0，所以m=6，n=4。四、課堂小結（3分鐘）1.老師引導學生回顧本節課的主要內容：配方法的概念和原理。用配方法解一元二次方程的步驟。2.強調重點和難點：重點是掌握配方法的步驟并能熟練運用。難點是理解配方的關鍵——加上一次項系數一半的平方。3.讓學生談談自己在本節課中的收獲和疑惑。五、布置作業（2分鐘）1.書面作業用配方法解方程：3x26x1=02x2+5x3=0已知關于x的方程x2+px+q=0通過配方法變形為(x+1)2=3，求p和q的值。2.拓展作業思考如何用配方法解決更復雜的一元二次方程，如二次項系數不為1且含有分數系數的方程。【板書設計】2.2用配方法求解簡單的一元二次方程1.配方法的概念將一元二次方程通過配方轉化為可以直接開平方的形式來求解的方法。2.配方法的步驟移項：常數項移到等號右邊配方：等號兩邊加上一