第三講絕對值及其應用001課堂目標知識1.掌握絕對值的含義；2.掌握正數、負數、0的絕對值的算法.方法1.靈活應用絕對值比較大小；2.靈活掌握絕對值在解題中的應用；2.掌握非負數的應用.002知識梳理1.一般地，數軸上表示數a的點與的距離叫做數a的絕對值，記作.【答案】原點；2.正數的絕對值是，負數的絕對值是，0的絕對值是.即當a＞0時，；當a＜0時，；當a=0時，.【答案】它本身；它的相反數；0【注意】：絕對值等于它本身的數是__________.所以若，那么a就是非負數；若，那么a就是非正數.【答案】正數和0003例題精析絕對值的定義絕對值的定義題型一例1例1①互為相反數的兩個數絕對值相等；②絕對值等于本身的數只有正數；③不相等的兩個數絕對值不相等；④絕對值相等的兩數一定相等；⑤只有負數的絕對值是它的相反數；⑥任何一個有理數的絕對值都不是負數．

其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】C【分析】根據絕對值的性質進行判斷即可．【解答】解：①互為相反數的兩個數的絕對值相等，故①正確；

②絕對值等于它本身的數是非負數，故②錯誤；

③不相等的兩個數絕對值可能相等，如2與2，故③錯誤；

④絕對值相等的兩個數相等或互為相反數，故④錯誤；

⑤負數和0的絕對值是它的相反數，故⑤錯誤；

⑥任何一個有理數的絕對值都不是負數，故⑥正確；

綜上所述，①⑥正確，正確的個數為2，

故選：C．例2下列說法中正確的是例2A．若|a|=|b|，則a=bB．若|a|=|b|，則a，b互為相反數 C．a的絕對值一定是負數D．若一個數小于它的絕對值，則這個數一定是負數【答案】D變式1在數軸上，下面說法中不正確的是（變式1A．兩個有理數，絕對值小的離原點近B．大數對應的數在右邊 C．兩個負數，較大的數對應的點離原點近D．兩個有理數，大數離原點近【答案】D變式2下列說法中，正確的有變式2①負數沒有絕對值；②絕對值最小的有理數是0；③任何數的絕對值都是非負數；④互為相反數的兩個數的絕對值相等.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C【分析】根據絕對值的意義對各選項進行判斷．【解答】解：負數的絕對值等于它的相反數，所以（1）錯誤；絕對值最小的有理數是0，所以（2）正確；任何數的絕對值都是非負數，所以（3）正確；互為相反數的兩個數的絕對值相等，所以（4）正確．

故選：C．絕對值的計算絕對值的計算題型二例1計算：______；______；______；______；______.例1【答案】3.7；0；3.3；0.75；0.75變式1寫出下列各數的絕對值：6，3.5，0，，，4，1.2，π.變式1【答案】6；3.5；0；；；1.2；π例2若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0，則x+y=例2A．7 B．7 C．3 D．3 【答案】D【分析】由絕對值的定義，得x=±5，y=±2，再根據x＜0，y＞0，確定x、y的具體對應值，最后代入計算x+y的值．【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵x＜0，y＞0，

∴x=5，y=2，

∴x+y=3．

故選：D．例3如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，則ab的值是例3【答案】見試題解答內容【分析】首先根據絕對值的意義求得a，b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對應值有兩種可能性，然后分別代入ab，根據有理數的減法法則計算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，

∴a=±4，b=±2，

∵|a+b|=a+b，

∴a+b＞0，

∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．

當a=4，b=2時，ab=42=2；

當a=4，b=2時，ab=4（2）=4+2=6．

故ab的值為：2或6．變式2若，，則_________.變式2【答案】4或2或4或2【解答】解：∵|x|=3，|y|=1，

∴x=±3，y=±1，

∴x+y=4或2或4或2，

故x+y的值為：4或2或4或2．變式3若，是5的相反數，則_________.變式3【答案】1或9變式4若m滿足，則m的取值是_________.變式4【答案】1或5例4如果，則a一定是（）例4A．非正數 B．負數 C．非負數 D．正數 【答案】A【分析】直接利用絕對值的性質分別分析得出答案．【解答】解：∵|3a|=3a，

∴3a≥0，

∴a≤0，

即a一定是非正數．

故選：A．變式5若|a|=a，則a的值不可以是變式5A．2 B．5 C．0 D．0.5 【答案】A【分析】根據絕對值的性質進行判斷．【解答】解：因為|a|≥0，

所以|a|的值是非負數．

|a|=a，a是非負數，所以a是負數或零．

故選：A．比較大小比較大小題型三例1在有理數，1，0，2中，最小的數是（）例1A．0 B． C．1 D．2 【答案】C例2下列比較有理數的大小，正確的是例2A． B． C． D． 【答案】C變式1下列各數中，比2021小的是變式1A．2022 B．2021 C．0 D．0.1 【答案】A例3已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，則下列關系正確的是例3A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【方法總結】【方法總結】比較大小我們可以使用代值的方法.【答案】A【分析】根據：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，據此判斷出a、a、b、b的大小關系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，

∴a＜0，b＞0，a＜b，

∴b＜a＜a＜b．

故選：A．變式2有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，把a、b、a、b、0按照從小到大的順序排列，正確的是變式2A．a<a<0<b<b B．a<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a<0<a<b<b 【答案】C【分析】根據正數大于負數和0，0大于負數，兩個負數，絕對值大的反而小，即可解答．【解答】解：根據數軸可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，

則b＜a＜0＜a＜b．

故選：C．變式3若0＜m＜1，m、m2、1m變式3A． B． C． D． 【答案】B絕對值的化簡絕對值的化簡題型四例1已知1≤x≤2，則化簡代數式3|x2||x+1|的結果是例1A．4x+5 B．4x+5 C．4x5 D．4x5 【方法總結】【方法總結】絕對值的化簡主要是看絕對值內的正負性，若為正則直接去絕對值，若為負則加上負號.【答案】A【分析】由于1≤x≤2，根據不等式性質可得：x2≤0，x+1≥0，再依據絕對值性質化簡即可．【解答】解：∵1≤x≤2，

∴x2≤0，x+1≥0，

∴3|x2||x+1|=3（2x）（x+1）=4x+5；

故選：A．變式1當1＜x＜5時，化簡|x1|+|x6|=變式1【答案】5．【分析】先運用不等式性質得出：x1＞0，x6＜0，再運用絕對值性質化簡即可．【解答】解：∵1＜x＜5，

∴x1＞0，x6＜0，

∴|x1|+|x6|=x1（x6）=5；

故答案為：5．例2如圖，化簡代數式|ba||a1|+|b+2|的結果是例2【方法總結】在數軸上，左右【方法總結】在數軸上，左右<0，右左>0.【分析】根據有理數a、b在數軸上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符號，進而化簡即可．【解答】解：由有理數a、b、c在數軸上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，

所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，

因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，

故答案為：3．例3有理數a，b，c例3化簡：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】見試題解答內容【分析】根據數軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．【解答】解：根據數軸上點的位置得：b＜a＜0＜c＜1，

∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，

則原式=ab+b1+ac1+c=2．變式2已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c||ab|結果是變式2【答案】c+b．【分析】先根據各點在數軸上的位置，確定它們所表示的數的和的大小關系，再根據有理數的加減法法則，判斷a+c、ab的正負，利用絕對值的意義化去絕對值符號，加減得結論．【解答】解：由數軸知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，

∴a+c＞0，ab＞0，

所以|a+c||ab|

=a+ca+b

=c+b，

故答案為：c+b．變式3數軸上，有理數a、b、a、c的位置如圖，則化簡|a+c|+|a+b|+|cb|的結果為（）變式3A． B． C． D． 【答案】C【分析】根據數軸上a、b、a、c的位置去掉絕對值符號，再合并同類項即可．【解答】解：由圖可知a＜0＜b＜a＜c，

∴a+c＞0，a+b＜0，cb＞0，

∴|a+c|+|a+b|+|cb|=a+cab+cb=2c2b．

故選：C．變式4已知a、b、c的位置如圖所示，化簡|a+b||ca|+|b+2c|=變式4【答案】見試題解答內容【分析】由圖可知：c＜a＜b，|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c．【解答】解：由圖可知：c＜a＜b，

∴|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c，

故答案為c．絕對值的應用絕對值的應用題型五例1代數式|x+2|+|2|的最小值等于例1【答案】2．【分析】|x+2|≥0，|2|=2，即可得出結果．【解答】解：∵|x+2|≥0，|2|=2，

∴|x+2|+|2|的最小值2．

故答案為：2．例2若a為有理數，則|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______例2【方法總結】【方法總結】1.|xa|+|xb|有最小值，可以看做是數軸上的點到a、b的距離之和，那么當介于a、b之間時，就有最小值|a|+|b|.2.|xa||xb|有最大值，可以看做是數軸上的點到a、b的距離之差，那么當位于a、b之外時，就有最大值|ab|.【答案】7；3變式1|x6|+|x1|的最小值是變式1【答案】5變式2求|x2|+|x7|的最小值是_______；|x2||x7|的最大值是變式2【答案】5；5變式3求|x1|+|x+4|的最小值是變式3【答案】5例3若ab≠0，那么的取值不可能是（）例3A．2 B．0 C．1 D．2 【答案】C例4已知a，b，c為有理數且abc≠0，則_______.例4【答案】3或3或1或1變式4已知a，b為非零有理數，則的值為（）變式4A．±2 B．0 C．±2或0 D．2 【答案】C變式5已知，那么_______.變式5【答案】1或3絕對值非負性的應用絕對值非負性的應用題型六例5已知，則______，______.例5【方法總結】【方法總結】非負數+非負數=0，那么它們應該都等于0.【答案】1；2例6已知，則______，______.例6【答案】3；6例7已知與互為相反數，則______.例7【答案】4變式6已知，則______，______.變式6【答案】1；2變式7已知與互為相反數，則______.變式7【答案】8第三講絕對值及其應用作業作業作業一絕對值的定義1.下列說法正確的是（）A．最小的正整數是1B．一個數的相反數一定比它本身小C．絕對值等于它本身的數一定是正數D．一個數的絕對值一定比0大【答案】A【分析】A：根據整數的特征，可得最小的正整數是1，據此判斷即可．

B：負數的相反數比它本身大，0的相反數等于它本身，據此判斷即可．

C：絕對值等于它本身的數是正數或0，據此判斷即可．

D：一個非零數的絕對值比0大，0的絕對值等于0，據此判斷即可．【解答】解：∵最小的正整數是1，

∴選項A正確；

∵負數的相反數一定比它本身大，0的相反數等于它本身，

∴選項B不正確；

∵絕對值等于它本身的數是正數或0，

∴選項C不正確；

∵一個非零數的絕對值比0大，0的絕對值等于0，

∴選項D不正確．

故選：A．2.下列說法不正確的是（）A．0既不是正數，也不是負數B．0的絕對值是0C．一個有理數不是整數就是分數D．1是絕對值最小的正數【答案】D【分析】根據有理數的分類，以及絕對值得性質：正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值是0，進行分析即可．【解答】解：A、0既不是正數，也不是負數，說法正確；

B、0的絕對值是0，說法正確；

C、一個有理數不是整數就是分數，說法正確；

D、沒有絕對值最小的正數，原來的說法錯誤．

故選：D．3.一個負數在增大時，它的絕對值在______（填“增大”或“減小”）；一個正數在增大時，它的絕對值在______（填“增大”或“減小”）.【答案】增大；增大作業二作業二絕對值的計算1.的絕對值是（）A．B．C．D．【答案】B2.等于（）A．B．C．D．【答案】A3.的相反數等于（）A．B．C．D．【答案】B4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，則x+y=_______.【答案】45.若|x|=1，|y|=5，則x+y=_______.【答案】±6或±46.若|x|=2，|y|=3，且xy>0，則x+y=_______.【答案】±57.如果，則x一定是（）A．非正數 B．負數 C．非負數 D．正數 【答案】A8.如果，則a+1一定是（）A．非正數 B．負數 C．非負數 D．正數 【答案】C作業三作業三比較大小1.下列四個數中，最小的數是（）A．B．C．D．【答案】A2.下列各數，依照從大到小順序排列的是（）A．20，6，2.13B．13，2.6，20C．2.6，13，20D．20，13.6，2【答案】B3.如果a、b都是實數，且a＜b，那么下列結論中，正確的是（）A． B． C． D． 【答案】B4.如圖，數a在原點的左邊，則a、a、0的大小關系正確的是（）A．a＜0＜a B．a＜a＜0C．a＜0＜a D．a＜a＜0【答案】C【分析】根據圖示，可得：a＜0，a＞0，據此判斷出a、a、0的大小關系即可．【解答】解：根據圖示，可得：a＜0，a＞0，

∴a＜0＜a．

故選：C．5.a，b在數軸上位置如圖所示，則a，b，a，b的大小順序是（）A．a＜b＜a＜b B．b＜a＜b＜a C．a＜b＜b＜a D．b＜a＜a＜b 【答案】D【分析】從數軸上a、b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，根據以上結論即可得出答案．【解答】解：從數軸上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，

∴a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，

即b＜a＜a＜b，

故選：D．作業四作業四絕對值的化簡1.數a的位置如圖，化簡|a|+|a+4|=______.【答案】4．【