精講練09不等式及其性質【知識框架】性質性質不等式概念解及其數軸表示基本性質1基本性質2基本性質3【認識不等式】⑴不等式：用不等號表示不相等關系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．等式不等式概念用等號連接表示相等關系的式子“=”用不等號連接表示不等關系的式子“>”“<”“≥”“≤”“≠”解使方程成立的未知數的值叫做方程的解使不等式成立的未知數的值叫做不等式的一個解⑵常見的不等號有５種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因為３＝３成立，所以不等式３≥３成立．【典型例題】例1、判斷下列各式中哪些是不等式：⑴x＋1＝2⑵5m－3＞1⑶x－6⑷11a－4≤6⑸7＞4⑹2x－y≥0例2、（廣州）四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、Q、R、S，如圖所示，則他們的體重大小關系是（）例3、某年四月份某地區的最高氣溫是8°C，最低氣溫是2°C，那么這天氣溫t（°C）是取值范圍是例4、用不等式表示（1）a的一半與3的和大于5（2）x的3倍與1的差不小于2注：用不等式表示不等關系的方法：（1）找準題中不等關系的兩個量；（2）正確理解題目中的關鍵細雨，如多、少、快、慢、增加了、減少了、不足、不到、不大于、不小于、不超過等確切的含義；（3）選用與題意符合的不等號將表示不等關系的兩個式子連接起來。例5．在數軸上表示下列不等式．①≥1；②＜1例6．在數軸上表示不等式≤＜2和的下列值：，，，．并利用數軸說明的這些取值中，哪些滿足不等式≤＜1，哪些不滿足．例7．實數，在數軸上的位置如圖所示，則下列不等式中：eq\o\ac(○,1)．<0eq\o\ac(○,2)．>0eq\o\ac(○,3)．＜0eq\o\ac(○,4)．＞0其中不等式正確的有（）。A．1個B.2個C.3個D.4個【課堂練習】1．下列數學式子中，不等式的個數是（）①—3＜0；②；③≤50；④≠－6；⑤＞9；⑥≥2；⑦．A．3B．4C．5D．62．用適當的不等號填空：①－2－3；②5+（－2）7+（－2）；圖1③︱︱0；④0．⑤．圖13．如圖1，數軸所表示的不等式，正確的是（）A．＞2B．＜2C．≥2D．≤24．下列數學式子中，不是不等式是（）A.＞0B.0＞1C.D.≤75．的2倍與3的差不小于1，用不等式表示為（）A.≥1B.≤1C.＜1D.＞16．當時，下列不等式成立的是（）A.＞B.＞C.＞D.＜圖27．如圖2，是小型客車的限速標志，設小型客車的速度為（單位：/），圖2請用含的不等式表示這個限速的意義．要使代數式有意義，則應滿足的條件是． 9．在數軸上表示下列不等式．①≥—1；②＜110．在數軸上表示不等式≤＜1和的下列值：，，，．并利用數軸說明的這些取值中，哪些滿足不等式≤＜1，哪些不滿足．11．實數，在數軸上的位置如圖所示：則下列不等式中正確的是（）A．＞0B．＜0C．＜0D．＞012．我們知道同號兩數之積大于0,異號兩數之積小于0,現有一個不等式＜0，你能根據所學的知識，找出2個滿足不等式的的值嗎？請你試一試．13.實數a,b在數軸上的位置如圖所示，選擇適當的不等號填空：bba0a(1)ab(2)|a||b|(3)a+b0(4)ab0(5)ab015.小明的鉛筆用完了,媽媽給了小明5元錢,商店里的鉛筆是0.6元/支,你能猜猜小明最多能買幾支嗎?【不等式的基本性質】性質1：若a<b，b<c，則a<c，這個性質也叫做不等式的傳遞性。性質2：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的不等式仍成立。符號表示：如果a>b，那么a+c>b+c,ac>bc性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，所得的不等式仍成立。符號表示：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，必須把不等式的符號改變。符號表示：如果a>b，并且c<0，那么ac<bc【典型例題】例1、如果x－y＜0，那么x與y的大小關系是xy．（填＜或＞符號）例2、填空，用“＜、＞、=“完成下列填空：（1）由2＜3（2）由4＜5則2×53×5則4×（7）5×（7）2÷53÷54÷（7）5÷（7）例2、不等式﹣2x<4的解集是（）A．x>﹣2B.x<﹣2C.x>2D.x<2例3、若則的大小關系是（）A．B．C．D．【課堂練習】1、若x+1>0，兩邊同時，得x>1（依據：）2、若2x>6,兩邊同時除以2，得（依據：）3、x<1,兩邊同乘2,得(依據:)4、已知a>b,用“>”或“<”填空.(1)a+7b+7(2)(3)2a2b(4)ab0(5)5、判斷下列各題的推導是否正確？為什么？(1)因為4a＞4b，所以a＞b；(2)因為1＞2，所以a1＜a2；6、由x>y,得到ax<ay的條件是（）A．a>0B．a=0C．a≤0D．a＜07、若x>y,比較23x與23y的大小,并說明理由.8、某品牌計算機鍵盤的單價在60元至70元之間(包括60元,70元),問買3個這樣的鍵盤，需要多少錢?解：設買3個這樣的鍵盤需要x元，列不等式為：9、由不等式(a1)x＞a1得x＜1,求a的取值范圍?【練習鞏固】1．選擇適當的不等號填空:(1)若a﹥b,則ba；(2)若a<b,則a+2cb+2c；acbc；(3)若a>b,則；3a3b.2．照下列條件，寫出仍能成立的不等式：(1)由2＜1，兩邊都加a；(2)由7＞5，兩邊都乘以不為零的a；（3）由3>4，兩邊都除以不為零的a．3.下列各題是否正確?請說明理由(1)如果a＞b,那么ac2＞bc2(2))如果ac2＞bc2,那么a＞b(3)如果a＞b,那么ab＞04．某企業為提高生產效率，欲購進5臺機器，據了解，該型號機器每臺售價大致在15萬元到20萬元之間(不包括15萬元，20萬元)，問購買這批機器，該企業應準備好多少錢？5.已知x<y,試比較下列各式的大小，并說明理由。（1）與（2）2x+3與2y+36．若x<y,且(a3)x>(a3)y,求a的取值范圍.【提高與拓展】用不等式表示數量的不等關系．⑴是正數⑵是非負數⑶的相反數不大于1⑷與的差是負數⑸的4倍不小于8⑹的相反數與的一半的差不是正數⑺的3倍不大于的⑻不比0大用不等式表示：⑴的與的差大于；⑵的與的和小于；⑶的倍與的的差是非負數；⑷與的和的不大于．關于的某個不等式組的解集在數軸上表示為如圖，則不等式組的解集為__________．用不等式表示下列數量關系（1）代數式的值不大于2；（2）和的和是非負數。利用不等式的基本性質，用“＜”或“＞”號填空．⑴若，則_______；⑵若，則______；⑶若，則______；⑷若，，則______；⑸若，，，則_______．【鞏固】比較下列各對代數式的值的大小：（1）已知，則；（2）已知，則。已知，解答下列問題：（1）證明；（2）不等式是否成立？試說明理由。根據，則下面哪個不等式不一定成立()A．B．C．D．若，，那么下列式子正確的是()A．B．C．D．【鞏固】根據，則下面哪個不等式不一定成立()A．B．C．D．如果，那么下列四個式子中：①②③④正確的式子的個數共有()A．個B．個C．個D．個若，則下列不等成立的是()A．B．C．D．如果，可知下面哪個不等式一定成立()A．B．C．D．【課后作業】姓名成績一、選擇題1．下列式子①3x＝5；②a＞2；③3m－1≤4；④5x＋6y；⑤a＋2≠a－2；⑥－1＞2中，不等式有（）個A、2B、3C、4D、52．下列不等關系中，正確的是（）a不是負數表示為a＞0；B、x不大于5可表示為x＞5C、x與1的和是非負數可表示為x＋1＞0；D、m與4的差是負數可表示為m－4＜03．若m＜n，則下列各式中正確的是（）A、m－2＞n－2B、2m＞2nC、－2m＞－2nD、4．下列說法錯誤的是（）A、1不是x≥2的解B、0是x＜1的一個解C、不等式x＋3＞3的解是x＞0D、x＝6是x－7＜0的解集5．下列數值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x＋3＞2成立的數有（）個.A、2B、3C、4D、56．不等式x－2＞3的解集是（）A、x＞2B、x＞3C、x＞5D、x＜57．如果關于x的不等式（a＋1）x＞a＋1的解集為x＜1，那么a的取值范圍是（）A、a＞0B、a＜0C、a＞－1D、a＜－18．已知關于x的不等式x－a＜1的解集為x＜2，則a的取值是（）A、0B、1C、2D、39．滿足不等式x－1≤3的自然數是（）A、1，2，3，4B、0，1，2，3，4C、0，1，2，3D、無窮多個10．下列說法中：①若a＞b，則a－b＞0；②若a＞b，則ac2＞bc2；③若ac＞bc，則a＞b；④若ac2＞bc2，則a＞b.正確的有（）A、1個B、2個C、3個D、4個11．下列表達中正確的是（）A、若x2＞x，則x＜0B、若x2＞0，則x＞0C、若x＜1則x2＜xD、若x＜0，則x2＞x12．如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范圍是（）A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a＜0二、填空題1．不等式2x＜5的解有________個.2．“a的3倍與b的差小于0”用不等式可表示為_______________.3．如果一個三角形的三條邊長分別為5，7，x，則x的取值范圍是______________.4．在－2＜x≤3中，整數解有__________________.5．下列各數0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，______是方程x＋3＝0的解；_______是不等式x＋3＞0的解；___________________是不等式x＋3＞0.6．不等式6－x≤0的解集是__________.7．用“<”或“>”填空：（1）若x＞y，則－；（2）若x＋2＞y＋2，則－x______－y；（3）若a＞b，則1－a________1－b；（4）已知x－5＜y－5，則x___y.8．若∣m－3∣＝3－m，則m的取值范圍是__________.9．不等式2x－1＞5的解集為________________.10．若6－5a＞6－6b，則a與b的大小關系是____________.11．若不等式－3x＋n＞0的解集是x＜2，則不等式－3x＋n＜0的解集是________.12．三個連續正整數的和不大于12，符合條件的正整數共有________組.13．如果a＜－2，那么a與的大小關系是___________.14．由x＞y，得ax≤ay，則a______0三、解答題1．根據下列的數量關系，列出不等式（1）x與1的和是正數（2）y的2倍與1的和大于3x的與x的2倍的和是非正數（4）c與4的和的30％不大于－2（5）x除以2的商加上2，至多為5（6）a與b的和的平方不小于22．利用不等式的性質解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來.（1）4x＋3＜3x（2）4－x≥4（3）2x－4≥0（4）－x＋2＞53．試寫出四個不等式，使它們的解集分別滿足下列條件：x＝2是不等式的一個解；－2，－1，0都是不等式的解；不等式的正整數解只有1，2，3；不等式的整數解只有－2，－1，0，1.4．已知兩個正整數的和與積相等，求這兩個正整數.有這樣的解法：不妨設這兩個正整數為a、b，且a≤b，由題意得：ab＝a＋b①則ab＝a＋b≤b＋b＝2b，∴a≤2∵a為正整數，∴a＝1或2.當a＝1時，代入①式得1·b＝1＋b不存在當a＝2時，代入①式得2·b＝2＋b，∴b＝2.因此，這兩個正整數為2和2.仔細閱讀以上材料，根據閱讀材料的啟示，思考：是否存在三個正整數，它們的和與積相等？試說明你的理由.5．根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩個數大小的方法：若A－B＞0，則A＞B；若A－B=0，則A=B；若A－B＜0，則A＜B，這種比較大小的方法稱為“作差比較法”，試比較2x2－2x與x2－2x的大小.【課后作業答案】1．下列式子①3x＝5；②a＞2；③3m－1≤4；④5x＋6y；⑤a＋2≠a－2；⑥－1＞2中，不等式有（C）個A、2B、3C、4D、52．下列不等關系中，正確的是（D）a不是負數表示為a＞0；B、x不大于5可表示為x＞5C、x與1的和是非負數可表示為x＋1＞0；D、m與4的差是負數可表示為m－4＜03．若m＜n，則下列各式中正確的是（C）A、m－2＞n－2B、2m＞2nC、－2m＞－2nD、4．下列說法錯誤的是（D）A、1不是x≥2的解B、0是x＜1的一個解C、不等式x＋3＞3的解是x＞0D、x＝6是x－7＜0的解集5．下列數值：－2，－1.5，－1，0，1.5，2能使不等式x＋3＞2成立的數有（）個.A、2B、3C、4D、56．不等式x－2＞3的解集是（C）A、x＞2B、x＞3C、x＞5D、x＜57．如果關于x的不等式（a＋1）x＞a＋1的解集為x＜1，那么a的取值范圍是（D）A、a＞0B、a＜0C、a＞－1D、a＜－18．已知關于x的不等式x－a＜1的解集為x＜2，則a的取值是（B）A、0B、1C、2D、39．滿足不等式x－1≤3的自然數是（B）A、1，2，3，4B、0，1，2，3，4C、0，1，2，3D、無窮多個10．下列說法中：①若a＞b，則a－b＞0；②若a＞b，則ac2＞bc2；③若ac＞bc，則a＞b；④若ac2＞bc2，則a＞b.正確的有（B）A、1個B、2個C、3個D、4個11．下列表達中正確的是（D）A、若x2＞x，則x＜0B、若x2＞0，則x＞0C、若x＜1則x2＜xD、若x＜0，則x2＞x12．如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范圍是（C）A、a≥0B、a≤0C、a＞0D、a＜0填空題1．不等式2x＜5的解有__無數______個.2．“a的3倍與b的差小于0”用不等式可表示為_____3ab<0__________.3．如果一個三角形的三條邊長分別為5，7，x，則x的取值范圍是____2<x<12__________.4．在－2＜x≤3中，整數解有____1,0,1,2,3______________.5．下列各數0，－3，3，－0.5，－0.4，4，－20中，_3_____是方程x＋3＝0的解；_0,3,0.5,0.4,4______是不等式x＋3＞0的解.6．不等式6－x≤0的解集是__x≥6_______.7．用“<”或“>”填空：（1）若x＞y，則－；（2）若x＋2＞y＋2，則－x_<_____－y；（3）若a＞b，則1－a___<_____1－b；（4）已知x－5＜y－5，則x_<__y.8．若∣m－3∣＝3－m，則m的取值范圍是___m≤3_______.9．不等式2x－1＞5的解集為____x>3____________.10．若6－5a＞6－6b，則a與b的大小關系是_a<6b/5___________.11．若不等式－3x＋n＞0的解集是x＜2，則不等式－3x＋n＜0的解集是__x>2______.12．三個連續正整數的和不大于12，符合條件的正整數共有___3_____組.13．如果a＜－2，那么a與的大小關系是___a<________.14．由x＞y，得ax≤ay，則a__≤____0解答題1．根據下列的數量關系，列出不等式（1）x與1的和是正數解：x+1>0（2）y的2倍與1的和大于3解：2y+1>3(3)x的與x的2倍的和是非正數