專題01平方根、立方根和實(shí)數(shù)相關(guān)規(guī)律探究題重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一利用平方根、立方根解方程題型二平方根相關(guān)的計(jì)算題型三立方根相關(guān)的計(jì)算題型四實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算題型五實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律探究題題型六新定義的實(shí)數(shù)計(jì)算【經(jīng)典例題一利用平方根、立方根解方程】1．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)．2．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)常州市第二十四中學(xué)校聯(lián)考期中）求下列各式中的值：(1)；(2)．3．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）求x值：(1)；(2)．4．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）求滿足下列各式的未知數(shù)的值．(1)；(2)．5．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程．(1)(2)6．（2023上·河南南陽·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）求下列各式中的x．(1)(2)7．（2023上·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程(1)(2)；8．（2023上·河南平頂山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程：(1)；(2)9．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算求下列各式中的x(1)；(2)．10．（2023下·河南周口·七年級(jí)期中）求下列各式中的的值：(1)；(2)．【經(jīng)典例題二平方根相關(guān)的計(jì)算】11．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，與互為相反數(shù)，求的平方根．12．（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，求的平方根．13．（2023上·河南南陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：，求：的平方根．14．（2021下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）解答題．(1)一個(gè)正數(shù)a的平方根是與，則a是多少？(2)已知a、b滿足，求的平方根15．（2022上·黑龍江綏化·七年級(jí)校考期中）已知，．(1)當(dāng)時(shí)，求和的值(2)當(dāng)，求的值．16．（2023下·福建福州·七年級(jí)校考期中）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和．(1)求出的值；(2)求這個(gè)正數(shù)；(3)求的平方根．17．（2023下·河南開封·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．18．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是與．(1)求這個(gè)正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．19．（2023下·四川廣安·七年級(jí)校考期中）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．20．（2023下·福建福州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）已知與互為相反數(shù)．①求的平方根；②解關(guān)于x的方程．（2）已知正實(shí)數(shù)y的平方根是m和．①當(dāng)時(shí)，求m.②若，求y的值．③在②條件下，k是的小數(shù)部分，求的值．（備注：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是指這個(gè)數(shù)減去不超過該數(shù)的最大整數(shù)）【經(jīng)典例題三立方根相關(guān)的計(jì)算】21．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根分別是和，n是的立方根．(1)求m和n的值；(2)求的算術(shù)平方根22．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：和是的兩個(gè)不同的平方根，是的立方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．23．（2023下·吉林松原·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是和，則這個(gè)正數(shù)的立方根是多少？24．（2023上·湖南衡陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：的立方根是3，的算術(shù)平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求的算術(shù)平方根．25．（2023上·山東青島·八年級(jí)校考階段練習(xí)）根據(jù)已知條件求值：(1)已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)：．(2)已知，、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，求的值．(3)若9的平方根是，的絕對(duì)值是4，求的值？(4)已知的平方根為，的算術(shù)平方根為4，求的平方根．(5)若、、滿足，求代數(shù)式的值．26．（2023下·湖北鄂州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）回答下列問題：(1)若一個(gè)數(shù)的平方根是和，求的值，并求出該數(shù)；(2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．27．（2022下·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到飛機(jī)上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道怎樣迅速地求出計(jì)算結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟試一試．第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000∴，即59319的立方根是一個(gè)兩位數(shù)．第二步：∵59319的個(gè)位數(shù)字是9，而．∴能確定的個(gè)位數(shù)字是9．第三步：如果劃除59319后面的三位數(shù)，得到數(shù)59，而27＜59＜64．∴，可得．∴59319的立方根的十位數(shù)字是3．∴59319的立方根是39．根據(jù)上面的材料解答下面的問題：(1)填空：1728的立方根是一個(gè)______位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字是______；(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并驗(yàn)證a是157464的立方根．28．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)校考期中）如圖，是一塊體積為立方厘米的立方體鐵塊．(1)求出這個(gè)鐵塊的棱長(zhǎng)．(2)現(xiàn)在工廠要將這個(gè)鐵塊融化，重新鍛造成兩個(gè)棱長(zhǎng)為厘米的小立方體鐵塊和一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體鐵塊，若長(zhǎng)方體鐵塊的高為厘米，求長(zhǎng)方形鐵塊底面正方形的邊長(zhǎng)．29．（2023下·廣東惠州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期課本44-46頁關(guān)于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請(qǐng)你根據(jù)以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現(xiàn)：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實(shí)數(shù)，例如：，那么，即，請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．30．（2023下·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解，觀察下列式子：①；②；③；④；……根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)【觀察與發(fā)現(xiàn)】：根據(jù)以上式子反映的規(guī)律，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)類似的等式：．(2)【分析與歸納】：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個(gè)這樣的真命題：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)，若，則；反之也成立．(3)【拓展與應(yīng)用】：根據(jù)上述歸納的真命題，解答下列問題：若與的值互為相反數(shù)，且，求的值．【經(jīng)典例題四實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】31．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)校考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．32．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)寧波市第七中學(xué)校考期中）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)33．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．34．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)校考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．35．（2023上·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．36．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)新昌縣七星中學(xué)校考期中）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)37．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算或者解方程(1)(2)．(3)；(4)38．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)校考期中）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)（，結(jié)果精確到0.01）39．（2023上·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算．(1)(2)40．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【經(jīng)典例題五新定義的實(shí)數(shù)計(jì)算】41．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測(cè)）定義一種新的運(yùn)算※，對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定，例如：．(1)求的值．(2)若，求的取值范圍．42．（2023春·山東德州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分是不大于這個(gè)數(shù)的最大整數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為這個(gè)數(shù)與它的整數(shù)部分的差的絕對(duì)值．例如：的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；的整數(shù)部分為，小數(shù)部分可用表示；再如，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．由此我們得到一個(gè)真命題．如果，其中是整數(shù)，且，那么，．(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．43．（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀理解】對(duì)于正整數(shù)n，定義為不大于的最大整數(shù)，例如：，，．【問題解答】(1)直接寫出的值為______；(2)對(duì)72進(jìn)行如下操作：，即對(duì)72進(jìn)行3次操作后可變?yōu)?．類似地：對(duì)進(jìn)行______次操作后可變?yōu)?；(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．44．（2021春·廣東廣州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）定義等于不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，定義，例如，．(1)填空（直接寫出結(jié)果）：__________，__________，__________．(2)計(jì)算：．45．（2021春·廣東汕頭·七年級(jí)校考期中）喜歡探索數(shù)學(xué)知識(shí)的小明遇到一個(gè)新的定義：對(duì)于三個(gè)正整數(shù)，若其中任意兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”，例：1，4，9這三個(gè)數(shù)，，，，其結(jié)果分別為2，3，6，都是整數(shù)，所以1，4，9三個(gè)數(shù)稱為“和諧組合”，其中最小算術(shù)平方根是2，最大算術(shù)平方根是6．(1)請(qǐng)直接判斷3，12，32是不是“和諧組合”，______．(2)請(qǐng)證明2，18，8這三個(gè)數(shù)是“和諧組合”，并求出最小算術(shù)平方根和最大算術(shù)平方根．(3)已知9，，25三個(gè)數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的3倍，求的值．46．（2023春·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分是不大于這個(gè)數(shù)的最大整數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為這個(gè)數(shù)與它的整數(shù)部分的差的絕對(duì)值．例如：的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；的整數(shù)部分為，小數(shù)部分可用表示；再如，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．由此我們得到一個(gè)真命題．如果，其中是整數(shù)，且，那么，．(1)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數(shù)，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．47．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期課本44-46頁關(guān)于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請(qǐng)你根據(jù)以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現(xiàn)：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實(shí)數(shù)，例如：，那么，即，請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．48．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）規(guī)定表示一對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：，將與稱為數(shù)對(duì)的一對(duì)“對(duì)稱數(shù)對(duì)”．例如：當(dāng)，時(shí)，，，數(shù)對(duì)的一對(duì)“對(duì)稱數(shù)對(duì)”為與．(1)數(shù)對(duì)的一對(duì)“對(duì)稱數(shù)對(duì)”是______與______；(2)若數(shù)對(duì)的一對(duì)“對(duì)稱數(shù)”相同，則的值是多少？(3)若數(shù)對(duì)的一個(gè)“對(duì)稱數(shù)對(duì)”是，則的值是多少？49．（2023春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）任意一個(gè)無理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“近整區(qū)間”為，如，所以的“近整區(qū)間”為．(1)無理數(shù)的“近整區(qū)間”是_________；無理數(shù)的“近整區(qū)間”是_________；(2)實(shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“近整區(qū)間”．50．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期中）給出定義如下：若點(diǎn)滿足，（，），則稱這個(gè)點(diǎn)為“show點(diǎn)”．如：，故點(diǎn)是“show點(diǎn)”．(1)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)中，是“show點(diǎn)”的是______；(2)若點(diǎn)是“show點(diǎn)”，求的值；(3)是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)是“show點(diǎn)”，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【經(jīng)典例題六實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律探究題】51．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)下表回答下列問題：x18.318.418.518.618.718.818.919x2334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)在和之間．（填表中相鄰的兩個(gè)數(shù)）(2)，(3)338.56的平方根是．52．（2021春·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí)）觀察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根據(jù)觀察所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想第4個(gè)等式為______，第9個(gè)等式為______．(2)歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想，用含的式子表示第個(gè)等式所反映的規(guī)律為______．53．（2023春·云南昆明·七年級(jí)云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）在我校科技節(jié)活動(dòng)中愛探究思考的小明，在實(shí)驗(yàn)室利用計(jì)算器計(jì)算得到下列數(shù)據(jù)：．．．．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．(1)通過觀察可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大100倍時(shí)，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大________倍；(2)已知，根據(jù)上述規(guī)律直接寫出下列各式的值；________；________；(3)已知，，，則________，________；(4)小明思考如果把算術(shù)平方根換成立方根，若，，________，________．54．（2023春·安徽淮南·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）計(jì)算：（2）求中的x的值．（3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長(zhǎng)是，且設(shè)，畫出如下示意圖．

由面積公式，可得因?yàn)閤值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到），即．55．（2023春·福建廈門·七年級(jí)校考期中）已知一個(gè)三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)等于十位數(shù)和個(gè)位數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“諧數(shù)”．如果一個(gè)數(shù)既是“和數(shù)”又是“諧數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”．例如，，是“和數(shù)”，，是“諧數(shù)”，是“和諧數(shù)”．(1)最小的和諧數(shù)是___________，最大的和諧數(shù)是___________．(2)觀察下列各式：，，，，請(qǐng)你用含字母的式子寫出你所觀察到的一般規(guī)律，并證明任意的“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)．(3)已知（，，且，均為整數(shù)），是一個(gè)“和數(shù)”求的值．56．（2023春·湖北咸寧·