專題3分數的意義和性質（知識精講+典型例題+專題專練+拓展培優）一、真分數、假分數和帶分數及互化1、真分數。分子比分母小的分數叫作真分數，真分數小于1。如122、假分數。分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫作假分數，假分數大于或等于1。如433、帶分數。（1）分子不是分母倍數的假分數，可以寫成整數和真分數合成的數。這樣的假分數通常叫作帶分數。（2）帶分數由一個整數和一個真分數組成，左邊的整數是帶分數的整數部分，右邊的真分數是帶分數的分數部分。帶分數均大于1。（3）讀法：讀帶分數時，先讀整數部分，再讀分數部分。整數部分是幾就讀作幾，分數部分按照真分數的讀法去讀，同時在整數部分和分數部分之間加一個“又”字。（4）寫法：寫帶分數時，先寫整數部分，再寫分數部分。“又”前面的數是整數部分，“又”后面的數是分數部分。如二又二分之一，寫作:2125、假分數化成整數的方法。分子是分母倍數的假分數，可以化成整數。可根據分數的意義進行轉化，也可以直接用分子除以分母計算結果。6.假分數化成帶分數的方法。把假分數化成帶分數時，可以借助圖示轉化;也可以根據假分數的意義進行推想;還可以直接用分子除以分母，商就是帶分數的整數部分，余數就是分數部分的分子，分母不變。7、分數和小數的互化（1）分數化成小數的方法。把分數化成小數時，直接用分數的分子除以分母，除不盡的保留相應的位數。（2）小數化成分數的方法。小數可以看作是分數的另一種形式。把小數化成分數，原來是幾位小數，就在1的后面寫幾個0作分母，把原來的小數去掉小數點作分子。二、分數的基本性質和約分1、分數的基本性質。分數的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(0除外)，分數的大小不變。2、約分。把一個分數化成同它相等，但分子、分母都比較小的分數，叫作約分。3、約分的方法。(1)分步約分法:用分子和分母的公因數(1除外)逐次去除分子、分母，得出最簡分數。(2)一次約分法:用分子和分母的最大公因數直接去除分子和分母，得出最簡分數。用最大公因數進行一次約分比較簡便。4、最簡分數。分子、分母只有公因數1的分數，叫作最簡分數。三、通分和分數的大小比較1、通分的意義。把幾個分母不同的分數(也叫作異分母分數)分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫作通分。相同的分母叫作這幾個分數的公分母。2、通分的方法。通分時，用原來幾個分母的公倍數作公分母，一般選用最小公倍數作公分母，然后把各分數分別化成用這個公分母作分母的分數。3、異分母分數的大小比較。可以用不同的方法比較，其中先通分再比較，是比較異分母分數大小的基本方法。考點一：假分數與整數、帶分數及互化方法總結：1、能化成整數的假分數,分子都是分母的倍數。2、把假分數化成帶分數,要用分子除以分母,商是帶分數的整數部分,余數是分數部分的分子,除數是分數部分的分母。【例一】把下列假分數化成帶分數或整數。

【分析】假分數化成整數或者帶分數時，用假分數的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整數；不能整除時，所得的商就是帶分數的整數部分，余數是分數部分的分子，分母不變。【詳解】；；；；；。【例二】把下面的假分數化成整數或帶分數。

【分析】假分數化成整數或帶分數：用分子÷分母＝商……余數；商就是帶分數的整數部分，余數就是帶分數的分子，分母不變。【詳解】（1）＝15÷3＝5；（2）因為＝24÷7＝3……3，所以＝3；（3）因為＝14÷5＝2……4，所以＝2。

【點睛】帶分數可以看成是由整數部分和分數部分構成的，其中，分數部分必須是真分數。【專題專練一】把下列假分數化成帶分數或整數，把帶分數化成假分數。

【分析】把假分數化成帶分數的方法：用分子除以分母，得到的商和余數；商是帶分數的整數部分，余數是帶分數的分子，分母不變。當假分數的分子為分母的倍數時，能化成整數。把帶分數化成假分數的方法：用帶分數的整數部分乘分母加分子得到假分數的分子，分母不變。【詳解】＝32÷4＝8＝＝＝34÷9＝【專題專練二】把下面的假分數化成整數或帶分數。

【分析】假分數化成帶分數只要把分子除以分母，商做帶分數的整數部分，余數是分子，分母不變，如果沒有余數，則直接用整數表示，據此解答。【詳解】考點二：約分方法總結：約分的方法:(1)逐次約分法:用分數的分子、分母的公因數(1除外)逐次去除分子、分母,直到得到一個最簡分數為止。(2)一次約分法:用分數的分子、分母的最大公因數分別去除分子、分母。【例一】把下面分數約分成最簡分數。

【分析】根據最簡分數的意義：在分數中，分子分母只有公因數1的分數為最簡分數，據此解答。【詳解】＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝【例二】化簡下面各分數。＝

＝

＝

＝【分析】將分數的分子和分母同時除以它們的最大公因數即可。【詳解】＝＝；＝＝1；＝＝；＝＝【專題專練一】圈出最簡分數，并把其余的分數約分成最簡分數。；；；；；。【分析】分子、分母的公因數只有1的分數叫做最簡分數，據此找出最簡分數。約分時，把分子、分母同時除以它們的公因數，直到把分數化成最簡分數。【詳解】＝；＝；＝；＝；【專題專練二】將下列分數約分，是假分數的化成帶分數。

【分析】分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變；根據分數的基本性質，將分數約分成最簡分數，約分：分子和分母同時除以它們的最大公因數即可得到最簡分數，最簡分數的分子和分母互質。假分數化成帶分數只要把分子除以分母，商做帶分數的整數部分，余數是分子，分母不變，如果沒有余數，則直接用整數表示，據此解答。【詳解】＝＝＝＝考點三：通分及比較分數大小方法總結：1、通分時,一般用原來幾個分母的最小公倍數作公分母,這樣可以有效地簡化通分過程。2、方法指導比較分數的大小通常有三種方法:一是數形結合,根據分數的意義通過畫圖來比較大小;二是尋找一個中間量,通過將兩個分數與中間量進行比較來得出二者的大小;三是根據分數的基本性質,把兩個分數化成分母(或分子)相同的分數來比較大小。【例一】把下列每組分數通分。和

，和【分析】先求幾個分母的最小公倍數，以最小公倍數為分數的公分母，利用分數的基本性質，分子分母同時擴大相同的倍數。【詳解】＝，＝，和＝＝，＝＝，＝＝

，和【點睛】此題主要考查通分的計算能力，找準最小公倍數，根據分數的基本性質通分即可。【例二】通分并比較大小。和

和

和【分析】通分的方法：先求出兩個分數的分母的最小公倍數，把它作為這幾個分數的公分母，然后依據分數的基本性質，把原分數分別化成以公分母為分母的分數；通分后依據同分母分數大小的比較方法比較。【詳解】＝，＜，所以＜；＝，＝，＞，所以＞；＝，＝，＜，所以＜。【專題專練一】先通分，再比較各組分數的大小。和

和【分析】根據分數的基本性質，把幾個異分母分數（式）化成與原來分數（式）相等的同分母的分數（式）的過程，叫做通分。據此將各組中的分數通分后化為同分母的分數比較大小即可。【詳解】＝＝＝＝＜，所以＜。＝＝＝＝＜，所以＜。【專題專練二】先通分，再比較每組中分數的大小。和

和

和【分析】8和24的最小公倍數是24，將通分到以24為分母的分數，再比較它和的大小；18和12的最小公倍數是36，將和分別通分到以36為分母的分數，再比較大小；9和15的最小公倍數是45，將和分別通分到以45為分母的分數，再比較大小。【詳解】＝，所以＜；＝，＝，所以＞；＝，＝，所以＞。一、計算題1．先用分數表示下面各題的商，是假分數的再化成整數或帶分數。

2．先用分數表示下面各題的商，是假分數的化成整數或帶分數。14÷8＝

16÷30＝

24÷4＝

58÷19＝3．把下列假分數化成帶分數或整數，把帶分數化成假分數。

4．把假分數化成整數或帶分數。＝

＝

＝5．把下面的假分數化成整數或帶分數。

6．把下面的假分數化成帶分數或整數。＝

＝

＝

＝7．轉化下列分數。

（轉化為帶分數或整數）5＝

（轉化為假分數）8．約分。

9．化簡下面各分數。＝

＝

＝

＝10．圈出最簡分數，并把其余的分數約分成最簡分數。；；；；；。11．把下面各分數化成最簡分數。

（1）

（2）

（3）

（4）12．把下面各分數約分。

13．約分。

14．把下面的分數約分。15．先約分，再比較各組分數的大小。和

和

和

和16．把下列分數化成最簡分數。

17．把下面各組數通分。和

和18．把下面各組分數通分。和

和

和

和19．通分。和

和

和

和20．把下面每組中的兩個分數通分。和

和

和21．把下面每組中的兩個分數通分。和

和

和22．把下面每組中的兩個分數先通分，再比較大小。和

和23．先通分，再比較各組分數的大小。和

和

和24．將下列各組分數先通分，再比大小。①和

②和25．先通分，再比較每組中分數的大小。和

和

、和2參考答案1．；6；；【分析】根據分數與除法的關系，被除數相當于分子，除數相當于分母，假分數化成帶分數用商做帶分數的整數部分，余數做分子，據此解答。【詳解】8÷13＝24÷4＝＝640÷19＝＝1÷7＝2．；；6；【分析】根據分數與除法的關系，被除數相當于分子，除數相當于分母，假分數化成帶分數用商做帶分數的整數部分，余數做分子，據此解答。【詳解】14÷8＝＝16÷30＝＝24÷4＝＝659÷19＝＝3．；3；；【分析】把假分數化成帶分數的方法：用分子除以分母，得到的商和余數；商是帶分數的整數部分，余數是帶分數的分子，分母不變。當假分數的分子為分母的倍數時，能化成整數。把帶分數化成假分數的方法：用帶分數的整數部分×分母＋分子得到假分數的分子，分母不變。【詳解】（1）＝＝（2）＝24÷8＝3（3）16÷7＝2……2＝（4）＝＝4．4；1；3【分析】把假分數化成帶分數或整數，用分子除以分母，能整除的化成的是整數，不能整除的，商作帶分數的整數部分，余數作分子，分母不變。【詳解】＝52÷13＝4

＝11÷6＝1

＝13÷4＝35．5；；【分析】假分數化整數或帶分數，用分子除以分母，能夠除盡的商就是最終得數，除不盡的，用商作整數部分，余數作分子，分母不變，寫成帶分數形式。【詳解】＝15÷3＝5＝24÷7＝＝14÷5＝6．5；2；5；3【分析】假分數的分子是分母的倍數，用分子除以分母化成整數；假分數的分子不是分母的倍數，用分子除以分母化成帶分數，商是帶分數的整數部分，余數是帶分數的分子，分母不變。【詳解】7．；4；；；【分析】假分數化為帶分數，用分子除以分母，商是整數的可以化為整數，有余數的可以化為帶分數，商為整數部分，余數是分子，分母不變；帶分數化為假分數，讓分母不變，用整數部分與分母的乘積再加原分子的和作為分子，據此解答。【詳解】

4

（轉化為帶分數或整數）5＝

（轉化為假分數）8．；；【分析】把一個分數化成同它相等，但分子、分母都比較小的分數叫做約分；約分的方法是：分數的分子、分母同時除以它們的公因數，由此先找出分子與分母的最大公因數即可解答。【詳解】＝＝＝＝＝＝9．；1；；【分析】將分數的分子和分母同時除以它們的最大公因數即可。【詳解】＝＝；＝＝1；＝＝；＝＝10．；；；【分析】分子、分母的公因數只有1的分數叫做最簡分數，據此找出最簡分數。約分時，把分子、分母同時除以它們的公因數，直到把分數化成最簡分數。【詳解】＝；＝；＝；＝；11．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】找出每個分數分子和分母的最大公因數，然后分子、分母同時除以最大公因數，得到最簡分數。【詳解】（1）＝＝（2）＝＝（3）＝＝（4）＝＝【點睛】約分依據的是分數的基本性質，分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。12．；；【分析】約分要根據分數的基本性質，先判斷分子和分母的最大公因數，然后把分子和分母同時除以它們的最大公因數即可。【詳解】；；。13．＝；＝；＝15；＝【分析】用分子、分母的公因數（或最大公因數）分別去除分子和分母，直到分子分母是互質數即直到得到最簡分數為止。【詳解】＝＝＝＝＝＝15＝＝【點睛】本題主要考查約分的方法，認真計算即可。14．；；；【分析】約分就是分子分母同時除以它們的公因數，直到分子分母互質，據此解答即可。【詳解】＝；＝；＝；＝【點睛】約分的主要依據是分數的基本性質，注意約分的最終結果必須是最簡分數。15．＝；＝；＝；＝；＝；＞；＝；＝；＜；＝2；＝；＜【分析】分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數大小不變；根據分數的基本性質，將分數約分成最簡分數，約分：分子和分母同時除以它們的最大公因數即可得到最簡分數，最簡分數的分子和分母互質。分數比較大小：分母相同，分子較大的分數比較大，分子較小的分數比較小；分子相同，分母較大的分數比較小，分母較小的分數比較大；整數和假分數比較，先把假分數化為帶分數，再比較整數部分，整數部分大的那個數就大，如果整數部分相同，則假分數大，據此解答。【詳解】＝＝＝＝所以＝＝＝＝＝因為＞所以＞＝＝＝＝因為＜所以＜＝＝＝2＝＝＝因為2＜所以＜16．；；；；【分析】“”將分子分母同時除以4，求出最簡分數；“”將分子分母同時除以3，求出最簡分數；“”將分子分母同時除以8，求出最簡分數；“”將分子分母同時除以18，求出最簡分數；“”將分子分母同時除以7，求出最簡分數。【詳解】＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝17．，；，【分析】通分時用原分母的公倍數作公分母（為了計算簡便，通常選用最小公倍數作公分母），然后把每個分數都化成用這個公倍數作分母的分數；根據題意，先求出分母的公分母，再利用分數的基本性質進行通分即可。【詳解】10和15的最小公倍數是30＝＝＝＝4和5的最小公倍數是20＝＝＝＝18．和；和和；和【分析】通分的方法：通分時用原分母的公倍數作公分母（為了計算簡便，通常選用最小公倍數作公分母），然后根據分數的基本性質，把每個分數都化成用這個公倍數作分母的分數。【詳解】和＝＝和＝＝和＝＝和＝19．和；和；和