專(zhuān)題02用二元一次方程組解決問(wèn)題重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（14大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程組題型二根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組題型三方案問(wèn)題題型四行程問(wèn)題題型五工程問(wèn)題題型六數(shù)字問(wèn)題題型七年齡問(wèn)題題型八分配問(wèn)題題型九銷(xiāo)售、利潤(rùn)問(wèn)題題型十和差倍分問(wèn)題題型十一幾何問(wèn)題題型十二圖表信息題題型十三古代問(wèn)題題型十四其他問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)、二元一次方程組的應(yīng)用（一）、列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．

（4）求解．

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．

當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．【經(jīng)典例題一根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程組】【例1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知6個(gè)大桶加上4個(gè)小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），5個(gè)大桶加上3個(gè)小桶可以盛酒38斛．1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛、1個(gè)小桶可以盛酒斛．根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛、1個(gè)小桶可以盛酒斛，根據(jù)“6個(gè)大桶加上4個(gè)小桶可以盛酒48斛，5個(gè)大桶加上3個(gè)小桶可以盛酒38斛”即可列出二元一次方程組．【詳解】解：∵6個(gè)大桶加上4個(gè)小桶可以盛酒48斛，∴，∵5個(gè)大桶加上3個(gè)小桶可以盛酒38斛，∴，∴根據(jù)題意可列方程組，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，理解題意，正確列出二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）2024年大年初一上映的動(dòng)畫(huà)科幻電影《熊出沒(méi)一逆轉(zhuǎn)時(shí)空》受到廣大青少年、小朋友的喜愛(ài)，它有國(guó)語(yǔ)2D和國(guó)語(yǔ)3D兩個(gè)版本．國(guó)語(yǔ)2D每張票售價(jià)40元，國(guó)語(yǔ)3D每張票售價(jià)50元．李叔叔購(gòu)買(mǎi)了20張票，一共用了950元，請(qǐng)問(wèn)李叔叔分別買(mǎi)了多少?gòu)垏?guó)語(yǔ)2D和國(guó)語(yǔ)3D票？（列方程解應(yīng)用題）【答案】李叔叔分別買(mǎi)了5張國(guó)語(yǔ)2D票和15張國(guó)語(yǔ)3D票【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，或二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，根據(jù)題意可得國(guó)語(yǔ)2D總費(fèi)用加上國(guó)語(yǔ)3D總費(fèi)用等于950元列出方程即可；【詳解】方法一解：設(shè)李叔叔購(gòu)買(mǎi)了x張國(guó)語(yǔ)2D票，則購(gòu)買(mǎi)了張國(guó)語(yǔ)3D票，根據(jù)題意得，解得，（張）答：李叔叔分別買(mǎi)了5張國(guó)語(yǔ)2D票和15張國(guó)語(yǔ)3D票．方法二：解：李叔叔購(gòu)買(mǎi)了a張國(guó)語(yǔ)2D票，購(gòu)買(mǎi)了b張國(guó)語(yǔ)3D票，根據(jù)題意得，，解得．答：李叔叔分別買(mǎi)了5張國(guó)語(yǔ)2D票和15張國(guó)語(yǔ)3D票．2．（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，舒緩學(xué)習(xí)壓力，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，增進(jìn)班級(jí)凝聚力．某校初三年級(jí)組織了一場(chǎng)拔河比賽，并為獲得一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)共8個(gè)班級(jí)購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品，共花費(fèi)600元，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品每班100元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品每班60元，求獲得一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的班級(jí)分別有多少個(gè)？根據(jù)題意列方程組．【答案】【分析】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組．設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的班級(jí)有個(gè)，二等獎(jiǎng)的班級(jí)有個(gè)，根據(jù)“一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)共8個(gè)班級(jí)”可得方程：；根據(jù)“共花費(fèi)600元”可得方程：，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)獲得一等獎(jiǎng)的班級(jí)有個(gè)，二等獎(jiǎng)的班級(jí)有個(gè)，根據(jù)題意得：．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）周末，小亮幫奶奶去超市買(mǎi)菜，回家后與奶奶有一段對(duì)話：小亮：牛肉和雞蛋一共6斤，單價(jià)分別是元/斤和元/斤，您給了我元，現(xiàn)找回元．奶奶：你肯定摘錯(cuò)了．小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起當(dāng)作找回的錢(qián)款了．奶奶：這就對(duì)了．根據(jù)上面的信息，請(qǐng)你列方程組求小亮買(mǎi)了牛肉和雞蛋各多少斤．【答案】小亮買(mǎi)了牛肉2斤,雞蛋4斤【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.設(shè)小亮買(mǎi)了牛肉x斤，雞蛋y斤,根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可.【詳解】設(shè)小亮買(mǎi)了牛肉斤，雞蛋斤，由題意得:,解得:,答:小亮買(mǎi)了牛肉2斤,雞蛋4斤.【經(jīng)典例題二根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組】【例2】（2023下·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)為18m，寬為15m的長(zhǎng)方形空地上，沿平行于長(zhǎng)方形各邊的方向分別割出三個(gè)大小完全一樣的小長(zhǎng)方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個(gè)小長(zhǎng)方形花圃的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意可得：，解得：，，一個(gè)小長(zhǎng)方形花圃的面積為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東青島·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)紙盒方案？素材1如圖1，現(xiàn)將300張紙板裁剪成材料，1張紙板可以裁成4個(gè)正方形或3個(gè)長(zhǎng)方形，并用這些材料制作兩種無(wú)蓋紙盒（如圖2），橫式無(wú)蓋紙盒需要2個(gè)正方形和個(gè)長(zhǎng)方形，豎式無(wú)蓋紙盒需要1個(gè)正方形和4個(gè)長(zhǎng)方形．素材2（1）所有紙板都要裁剪，且每張紙板只能裁剪--種材料．（2）制作紙盒后沒(méi)有剩余材料．為方便解決問(wèn)題，設(shè)制作了橫式無(wú)蓋紙盒m個(gè)，豎式無(wú)蓋紙盒n個(gè)．問(wèn)題解決任務(wù)1初探材料用量1．完善下表：【答案】任務(wù)1：①；②；任務(wù)2：③；④；⑤；任務(wù)3：⑥70【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，列二元一次方程，求代數(shù)式的值，正確利用題干中的數(shù)量關(guān)系列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．利用題意分別求得所需的正方形與長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，再列出方程，整理即可得出m，n的關(guān)系式，再將代入運(yùn)算即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵橫式無(wú)蓋紙盒需要2個(gè)正方形和3個(gè)長(zhǎng)方形，∴m個(gè)橫式無(wú)蓋紙盒需要個(gè)正方形和個(gè)長(zhǎng)方形，故答案為：；②∵豎式無(wú)蓋紙盒需要1個(gè)正方形和4個(gè)長(zhǎng)方形，∴n個(gè)豎式無(wú)蓋紙盒需要n個(gè)正方形和個(gè)長(zhǎng)方形，故答案為：；③∵1張紙板可以裁成4個(gè)正方形，∴個(gè)正方形需要張紙板．故答案為：；④∵1張紙板可以裁成3個(gè)長(zhǎng)方形，∴個(gè)長(zhǎng)方形需要張紙板．故答案為：；⑤∵現(xiàn)將300張紙板裁剪成材料，∴．整理得：．∴m，n之間滿(mǎn)足的關(guān)系式為：．故答案為：；⑥若計(jì)劃制作86個(gè)橫式無(wú)蓋紙盒，∴時(shí)，，∴（張）．∴需要將70張紙板裁成正方形，其余紙板裁成長(zhǎng)方形，剛好滿(mǎn)足要求．故答案為：70．2．（21-22八年級(jí)上·陜西銅川·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)大長(zhǎng)方形由10個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方形拼成，若大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，求圖中每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．

【答案】，見(jiàn)解析【分析】由圖形觀察得到線段間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)小長(zhǎng)方形，構(gòu)建方程組，求解進(jìn)而求得小長(zhǎng)方形面積；【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，由題意，得，變形得解得∴小長(zhǎng)方形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用；由幾何圖形確定線段間數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，放入個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為；(2)．【分析】（）設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，觀察圖形即可列出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出、的值，（）根據(jù)陰影部分的面積大長(zhǎng)方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)圖形可知：，解得：，答：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為；（2）由（）得：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，∴長(zhǎng)方形的寬為，則陰影部分的面積大長(zhǎng)方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，，，答：陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，觀察圖形列出關(guān)于、的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三方案問(wèn)題】【例3】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)校考期末）母親節(jié)來(lái)臨，小明與花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明將20元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)這兩種花（兩種都買(mǎi)），小明的購(gòu)買(mǎi)方案有（

）種A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】A【分析】設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x(chóng)，y均為正整數(shù)即可得出小明有3種購(gòu)買(mǎi)方案．【詳解】解：設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)x支康乃馨，y支百合，依題意，得：，∴．∵x，y均為正整數(shù)，∴或或，∴小明有3種購(gòu)買(mǎi)方案．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程應(yīng)用中的整數(shù)解問(wèn)題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）已知：用3輛型車(chē)和2輛型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨17噸；用2輛型車(chē)和3輛型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨18噸．某物流公司現(xiàn)有35噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車(chē)輛，型車(chē)輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都載滿(mǎn)貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)1輛型車(chē)和1輛型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨多少?lài)?(2)該物流公司有哪幾種租車(chē)方案?(3)若型車(chē)每輛需租金200元/次；型車(chē)每輛需租金250元/次，請(qǐng)選出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)．【答案】(1)1輛型車(chē)和1輛型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨3噸、4噸(2)該物流公司有三種租車(chē)方案：型車(chē)1輛、型車(chē)8輛或型車(chē)5輛、型車(chē)5輛或型車(chē)9輛、型車(chē)2輛；(3)租型車(chē)1輛、型車(chē)8輛最省錢(qián)，最少租車(chē)費(fèi)為2200元【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．（1）設(shè)1輛型車(chē)和1輛型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨x噸，y噸，根據(jù)題意列出方程組并正確求解即可；（2）根據(jù)題意，得，根據(jù)a、b為正整數(shù)求解出a、b值即可；（3）分別求得（2）中每個(gè)方案的租車(chē)費(fèi)用，然后比較大小即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)1輛型車(chē)和1輛型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨x噸，y噸，根據(jù)題意，得，解得，答：1輛型車(chē)和1輛型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨3噸、4噸；（2）解：由題意，，∵a、b為正整數(shù)，∴或或，故該物流公司有三種租車(chē)方案：型車(chē)1輛、型車(chē)8輛或型車(chē)5輛、型車(chē)5輛或型車(chē)9輛、型車(chē)2輛；（3）解：當(dāng)租型車(chē)1輛、型車(chē)8輛時(shí)，租車(chē)費(fèi)用為（元），當(dāng)租型車(chē)5輛、型車(chē)5輛時(shí)，租車(chē)費(fèi)用為（元），當(dāng)租型車(chē)9輛、型車(chē)2輛時(shí)（元）∵，∴租型車(chē)1輛、型車(chē)8輛最省錢(qián)，最少租車(chē)費(fèi)為2200元．2．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）某加工廠生產(chǎn)書(shū)包大、小兩種型號(hào)．5個(gè)大書(shū)包和6個(gè)小書(shū)包成本需320元，4個(gè)大書(shū)包和3個(gè)小書(shū)包成本需220元．該工廠每日生產(chǎn)1000個(gè)書(shū)包，并按照大書(shū)包每個(gè)75元，小書(shū)包每個(gè)40元的價(jià)格出售，每日可獲利潤(rùn)26000元．(1)該工廠生產(chǎn)的兩種書(shū)包每個(gè)成本各是多少元？(2)為提高工廠效益，現(xiàn)增加生產(chǎn)線，每日可多生產(chǎn)650個(gè)書(shū)包，全部賣(mài)出后，此時(shí)大、小書(shū)包利潤(rùn)相同．求額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書(shū)包各多少個(gè)？【答案】(1)該工生產(chǎn)的大書(shū)包和小書(shū)包的每個(gè)成本各是40元，20元(2)額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書(shū)包各200個(gè)，450個(gè)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)該工廠生產(chǎn)的大書(shū)包和小書(shū)包的每個(gè)成本各是x元，y元，根據(jù)個(gè)大書(shū)包和6個(gè)小書(shū)包成本需320元，4個(gè)大書(shū)包和3個(gè)小書(shū)包成本需220元列出方程組求解即可；（2）設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)大書(shū)包m個(gè)，小書(shū)包n個(gè)，根據(jù)生產(chǎn)1000個(gè)書(shū)本一共獲利26000元列出方程求出；設(shè)額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書(shū)包各s個(gè)，t個(gè)，再根據(jù)大小書(shū)包的利潤(rùn)相同列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該工廠生產(chǎn)的大書(shū)包和小書(shū)包的每個(gè)成本各是x元，y元，由題意得，，解得，答：該工生產(chǎn)的大書(shū)包和小書(shū)包的每個(gè)成本各是40元，20元；（2）解：設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)大書(shū)包m個(gè)，小書(shū)包n個(gè)，由題意得，，解得，∴原來(lái)每天生產(chǎn)大書(shū)包400個(gè)，小書(shū)包600個(gè)；設(shè)額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書(shū)包各s個(gè)，t個(gè)，由題意得，，答：額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書(shū)包各200個(gè)，450個(gè)．3．（23-24七年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）運(yùn)輸公司要把120噸物資從地運(yùn)往地，有甲、乙、丙三種車(chē)型供選擇，每種型號(hào)的車(chē)輛的運(yùn)載量和運(yùn)費(fèi)如表所示．（假設(shè)每輛車(chē)均滿(mǎn)載）車(chē)型甲乙丙運(yùn)載量（噸/輛）5810運(yùn)費(fèi)（元/輛）500600700解答下列問(wèn)題：(1)安排甲型車(chē)8輛，乙型車(chē)5輛，丙型車(chē)______輛可將全部物資一次運(yùn)完；(2)若全部物資僅用甲、乙型車(chē)一次運(yùn)完，需運(yùn)費(fèi)10000元，則甲、乙型車(chē)各需多少輛？(3)若用甲、乙、丙型車(chē)共16輛同時(shí)參與運(yùn)送，且一次運(yùn)完全部物資，則三種型號(hào)的車(chē)各需多少輛？此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為多少元？【答案】(1)4(2)需要甲型車(chē)8輛，乙型車(chē)10輛；(3)需要甲型車(chē)6輛，乙型車(chē)5輛，丙型車(chē)5輛，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為9500元．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確建立方程組是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三種車(chē)型的運(yùn)載量列出式子，計(jì)算乘除法與減法即可得；（2）設(shè)需要甲型車(chē)輛，乙型車(chē)輛，根據(jù)“120噸物資”和“運(yùn)費(fèi)10000元”建立方程組，解方程組即可得；（3）設(shè)需要甲型車(chē)輛，乙型車(chē)輛，從而可得需要丙型車(chē)輛，再根據(jù)“一次運(yùn)完全部物資”建立關(guān)于的等式，結(jié)合為正整數(shù)進(jìn)行分析即可得．【詳解】（1）解：，，，（輛），即安排甲型車(chē)8輛，乙型車(chē)5輛，丙型車(chē)4輛可將全部物資－次運(yùn)完，故答案為：4；（2）解：設(shè)需要甲型車(chē)輛，乙型車(chē)輛，由題意得：，解得，符合題意，答：需要甲型車(chē)8輛，乙型車(chē)10輛；（3）解：設(shè)需要甲型車(chē)輛，乙型車(chē)輛，則需要丙型車(chē)輛，由題意得：，整理得：，則，均為正整數(shù)，只能等于5，，，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為（元），答：需要甲型車(chē)6輛，乙型車(chē)5輛，丙型車(chē)5輛，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為9500元．【經(jīng)典例題四行程問(wèn)題】【例4】（2022下·河北石家莊·七年級(jí)校考階段練習(xí)）小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘從背后駛過(guò)一輛8路公交車(chē)，每隔4分鐘從迎面駛來(lái)一輛8路公交車(chē)．已知每輛8路公交車(chē)的行駛速度相同，且每相鄰的兩輛8路公交車(chē)相距1200米則8路公交車(chē)的行駛速度為（

）A．100m/分鐘 B．200m/分鐘 C．300m/分鐘 D．400m/分鐘【答案】B【分析】設(shè)8路公交車(chē)的速度為米/分，小王的速度為米/分，發(fā)車(chē)間隔時(shí)間為分鐘，則兩輛車(chē)之間的距離為米，根據(jù)題意，列出方程組，求出的值，再根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)8路公交車(chē)的速度為米/分，小王的速度為米/分，發(fā)車(chē)間隔時(shí)間為分鐘，則兩輛車(chē)之間的距離為米，由題意，得：，解得：，∴8路公交車(chē)的行駛速度為m/分鐘；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組，求出發(fā)車(chē)間隔時(shí)間．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）A地至B地的航線長(zhǎng)，一架飛機(jī)從A地順風(fēng)飛往B地需，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需，求飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度與風(fēng)速．解：設(shè)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為．(1)用含x，y的代數(shù)式表示：①順風(fēng)速度為_(kāi)___；②逆風(fēng)速度為_(kāi)___；(2)根據(jù)題意，列出方程組解決問(wèn)題．【答案】(1)①；②；(2)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為【分析】本題考查了列代數(shù)式，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．（1）根據(jù)順風(fēng)速度=飛機(jī)速度+風(fēng)速．逆風(fēng)速度=飛機(jī)速度風(fēng)速，即可解答；（2）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為，則風(fēng)速度為；逆風(fēng)速度為．故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意得：，解得：．答：這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為．2．（22-23七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）小明和小亮分別從相距20千米的甲、乙兩地相向而行，經(jīng)過(guò)2小時(shí)，兩人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮繼續(xù)向甲地前進(jìn)，小明返回到甲地時(shí)，小亮離甲地還有2千米，請(qǐng)求出兩人的速度分別是多少？【答案】小明速度為千米／時(shí)．小亮速度為千米／時(shí)【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)小明速度為千米／時(shí)，小亮速度為千米／時(shí)．利用“小明和小亮2小時(shí)路程和為20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮繼續(xù)向甲地前進(jìn)，小明返回到甲地時(shí)，小亮離甲地還有2千米”再建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)小明速度為千米／時(shí)，小亮速度為千米／時(shí)．，解得：答：小明速度為千米／時(shí)．小亮速度為千米／時(shí)．3．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）滴滴快車(chē)是一種便捷的出行工具，計(jì)價(jià)規(guī)則如下表：計(jì)費(fèi)項(xiàng)目里程費(fèi)時(shí)長(zhǎng)費(fèi)遠(yuǎn)途費(fèi)單價(jià)1.8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里注：車(chē)費(fèi)由里程費(fèi)、時(shí)長(zhǎng)費(fèi)、遠(yuǎn)途費(fèi)三部分構(gòu)成，其中里程費(fèi)按行車(chē)的實(shí)際里程計(jì)算；時(shí)長(zhǎng)費(fèi)按行車(chē)的實(shí)際時(shí)間計(jì)算；遠(yuǎn)途費(fèi)的收取方式為：行車(chē)?yán)锍?公里以?xún)?nèi)（含7公里）不收遠(yuǎn)途費(fèi)，超過(guò)7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王與小張各自乘坐滴滴快車(chē)，在同一地點(diǎn)約見(jiàn)，已知到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)時(shí)他們的實(shí)際行車(chē)?yán)锍谭謩e為6公里與8.5公里，兩人付給滴滴快車(chē)的乘車(chē)費(fèi)相同．(1)求這兩輛滴滴快車(chē)的實(shí)際行車(chē)時(shí)間相差多少分鐘；(2)實(shí)際乘車(chē)時(shí)間較少的人，由于出發(fā)時(shí)間比另一人早，所以提前到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)在大廳等候．已知他等候另一人的時(shí)間是他自己實(shí)際乘車(chē)時(shí)間的2倍，且比另一人的實(shí)際乘車(chē)時(shí)間的一半多7分鐘，計(jì)算兩人各自的實(shí)際乘車(chē)時(shí)間．【答案】(1)相差19分鐘(2)小王與小張實(shí)際乘坐滴滴快車(chē)的時(shí)間分別為30分鐘和11分鐘【分析】本題考查二元一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確列出方程（組）是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)小王與小張實(shí)際乘坐滴滴快車(chē)的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，根據(jù)“兩人付給滴滴快車(chē)的乘車(chē)費(fèi)相同”列方程求解即可；（2）根據(jù)題意小張乘車(chē)時(shí)間短，然后根據(jù)“他等候另一人的時(shí)間是他自己實(shí)際乘車(chē)時(shí)間的2倍，且比另一人的實(shí)際乘車(chē)時(shí)間的一半多7分鐘”列方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)小王與小張實(shí)際乘坐滴滴快車(chē)的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，根據(jù)題意，得，解得，∵兩人實(shí)際乘坐滴滴快車(chē)的時(shí)間即為這兩輛滴滴快車(chē)的實(shí)際行車(chē)時(shí)間，∴這兩輛滴滴快車(chē)的實(shí)際行車(chē)時(shí)間相差19分鐘；（2）解：由知小張乘車(chē)時(shí)間短，根據(jù)題意，，解得，答：小王與小張實(shí)際乘坐滴滴快車(chē)的時(shí)間分別為30分鐘和11分鐘．【經(jīng)典例題五工程問(wèn)題】【例5】（2021上·四川巴中·八年級(jí)四川省巴中中學(xué)校考期中）某污水處理廠庫(kù)池里現(xiàn)有待處理的污水m噸．另有從城區(qū)流入庫(kù)池的待處理污水（新流入污水按每小時(shí)n噸的定流量增加）．若該廠同時(shí)開(kāi)動(dòng)2臺(tái)機(jī)組，需30小時(shí)處理完污水；若同時(shí)開(kāi)動(dòng)3臺(tái)機(jī)組，需15小時(shí)處理完污水．若5小時(shí)處理完污水，則需同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)組數(shù)為（

）A．6臺(tái) B．7臺(tái) C．8臺(tái) D．9臺(tái)【答案】B【分析】設(shè)同時(shí)開(kāi)動(dòng)x臺(tái)機(jī)組，每臺(tái)機(jī)組每小時(shí)處理a噸污水，根據(jù)“如果同時(shí)開(kāi)動(dòng)2臺(tái)機(jī)組要30小時(shí)剛好處理完污水，同時(shí)開(kāi)動(dòng)3臺(tái)機(jī)組要15小時(shí)剛好處理完污水”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值（用含a的代數(shù)式表示），再由5小時(shí)內(nèi)將污水處理完畢，即可得出關(guān)于關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)同時(shí)開(kāi)動(dòng)x臺(tái)機(jī)組，每臺(tái)機(jī)組每小時(shí)處理a噸污水，依題意，得，解得：，∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同時(shí)開(kāi)動(dòng)7臺(tái)機(jī)組．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用二元一次方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）為打造南渡江南側(cè)風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長(zhǎng)350米的河邊道路整治任務(wù)由，兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，工程隊(duì)每天整治15米，工程隊(duì)每天整治10米，共用時(shí)30天．(1)根據(jù)題意，甲、乙兩位同學(xué)分別列出了如下不完整的方程組：甲：

乙：根據(jù)甲、乙兩位同學(xué)所列的方程組，請(qǐng)分別指出其中未知數(shù)表示的意義：甲：表示_________________；乙：表示_________________．(2)從甲、乙兩位同學(xué)所列方程組中任選一組，將其補(bǔ)全，并利用此方程組求出，兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河邊道路多少米．【答案】(1)工程隊(duì)工作的天數(shù)；工程隊(duì)整治的河邊道路總長(zhǎng)度(2)任選一組求解（答案不唯一），具體見(jiàn)解析【分析】本題考查二元一次方程組解應(yīng)用題，涉及二元一次方程組的解法，讀懂題意，理解所設(shè)未知數(shù)，找到等量關(guān)系列方程即可得到答案，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，結(jié)合題中所給方程組即可得到答案；（2）根據(jù)題意，補(bǔ)全甲、乙兩位同學(xué)所列的方程組，利用二元一次方程組的解法求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意，結(jié)合題中所給方程組可知：工程隊(duì)工作的天數(shù)；工程隊(duì)整治的河邊道路總長(zhǎng)度；故答案為：工程隊(duì)工作的天數(shù)；工程隊(duì)整治的河邊道路總長(zhǎng)度；（2）解：①若補(bǔ)全甲的方程組：，解此方程組得，，，答：兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河邊道路150米和200米；②若補(bǔ)全乙的方程組：，解此方程組得，答：兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河邊道路150米和200米．2．（23-24八年級(jí)上·海南海口·期末）某汽車(chē)制造廠開(kāi)發(fā)了一款新式電動(dòng)汽車(chē)，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝240輛，由于熟練工不夠，工廠決定招聘一些新工人；他們經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行電動(dòng)汽車(chē)的安裝，生產(chǎn)開(kāi)始后，調(diào)研部門(mén)發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車(chē)：2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車(chē)．(1)求每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動(dòng)汽車(chē)？(2)如果工廠招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，求所抽調(diào)的熟練工的人數(shù)．【答案】(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝4輛，2輛電動(dòng)汽車(chē)；(2)所抽調(diào)的熟練工的人數(shù)為人．【分析】此題主要考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝x、y輛電動(dòng)汽車(chē)，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句：①1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車(chē)，②名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車(chē)，列出方程組即可；（2）設(shè)需熟練工m名，根據(jù)題意可得等量關(guān)系n名新工人一年安裝的電動(dòng)汽車(chē)數(shù)名熟練工一年安裝的電動(dòng)汽車(chē)數(shù)輛，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】（1）解：每名熟練工和新工人每月分別可以安裝x、y輛電動(dòng)汽車(chē)，根據(jù)題意可列方程，，解得．答：每名熟練工和新工人每月分別可以安裝4、2輛電動(dòng)汽車(chē)；（2）解：設(shè)需熟練工m名，依題意有：，整理得：．所抽調(diào)的熟練工的人數(shù)為人．3．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做需12天完成，乙隊(duì)獨(dú)做需15天完成，丙隊(duì)獨(dú)做需20天完成．按原計(jì)劃，這項(xiàng)工程要在7天內(nèi)完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)先合作若干天，以后為加快進(jìn)度，丙隊(duì)同時(shí)加入這項(xiàng)工作，這樣比原計(jì)劃提前一天完成，求甲、乙兩隊(duì)先合作了多少天．【答案】甲、乙兩隊(duì)先合作了4天【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；設(shè)甲、乙先合作做了天，丙隊(duì)加入后又做了天，根據(jù)題意列出二元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)甲、乙先合作做了天，丙隊(duì)加入后又做了天．根據(jù)題意，得解得答：甲、乙兩隊(duì)先合作了4天．【經(jīng)典例題六數(shù)字問(wèn)題】【例6】（2023上·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字，，，，0，1，2，3，4分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎列以及對(duì)角線上的數(shù)字之和都是同一個(gè)值，則的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】由，，可知每一橫行、每一豎列以及對(duì)角線上的數(shù)字之和都是0，如圖1，由，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，如圖2，由題意知，，整理得，，，整理得，，聯(lián)立，解得，然后求解即可．【詳解】解：∵，∴，即每一橫行、每一豎列以及對(duì)角線上的數(shù)字之和都是0，如圖1，

∵，解得，∵，解得，∵，解得，∵，解得，∵，解得，∴如圖2，

由題意知，，整理得，，，整理得，，∴，解得，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運(yùn)算．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188，求甲、乙這兩個(gè)數(shù)．【答案】甲數(shù)是24，乙數(shù)是12【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，然后根據(jù)把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，根據(jù)題意，得解得答：甲數(shù)是24，乙數(shù)是12．2．（23-24七年級(jí)上·江蘇·周測(cè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和為，若把個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，則所得的數(shù)比原數(shù)的倍小，求原來(lái)的兩位數(shù)．【答案】原來(lái)的兩位數(shù)是．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程組，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，利用已知條件列出二元一次方程組，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)：個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，，解得：，原來(lái)的兩位數(shù)為：，答：原來(lái)的兩位數(shù)是．3．（23-24九年級(jí)上·福建南平·期中）算盤(pán)起源于中國(guó)，算盤(pán)是我國(guó)的優(yōu)秀文化遺產(chǎn).以排列成串的算珠作為計(jì)算工具，成串算珠稱(chēng)為檔，中間橫梁把上珠分為上、下兩部分，每個(gè)上珠代表5，每個(gè)下珠代表1，每串算珠從右至左依次代表十進(jìn)位值制的個(gè)位、十位、百位、千位、萬(wàn)位數(shù)可以任意選定某檔為個(gè)位，不撥出空檔表示0．小華在百位撥了一顆上珠和一顆下珠，對(duì)小明說(shuō)：我撥的三位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于百位上的數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是4，請(qǐng)求出這個(gè)三位數(shù)，并回答怎樣在算盤(pán)上撥出十位數(shù)和個(gè)位數(shù)．【答案】這個(gè)三位數(shù)是615，小華應(yīng)當(dāng)在十位撥一顆下珠，在個(gè)位撥一顆上珠【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，由題意得出百位撥的數(shù)字是6，再根據(jù)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于百位上的數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是4，設(shè)出未知數(shù)列方程組并解出即可解決．找出等量關(guān)系列方程組是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：小華在百位撥的數(shù)字是6，設(shè)個(gè)位數(shù)字是，十位數(shù)字是，由題意得：，解這個(gè)方程組，得：，答：這個(gè)三位數(shù)是615，小華應(yīng)當(dāng)在十位撥一顆下珠，在個(gè)位撥一顆上珠．【經(jīng)典例題七年齡問(wèn)題】【例7】（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【答案】C【分析】由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：現(xiàn)在一家四口人的年齡之和應(yīng)該比十年前全家人年齡之和多40歲，但實(shí)際上（歲），說(shuō)明十年前妹妹沒(méi)出生，則妹妹今年的年齡為（歲），我的年齡為（歲），設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，由題意得：，解得：，即爸爸今年的年齡為40歲，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對(duì)話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【答案】大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲【分析】設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，根據(jù)題意列出二元一次方程組解得即可．【詳解】解：設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意得：，解得：，答：大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出二元一次方程組．2．（19-20七年級(jí)下·吉林延邊·期末）7月4日，2020長(zhǎng)白山地下森林徒步活動(dòng)鳴槍開(kāi)始，一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽．下面是兩個(gè)孩子與記者的部分對(duì)話：妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程的知識(shí)幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？【答案】現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．【分析】設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)兩孩子的對(duì)話，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)題意得

解得

答：現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題目信息，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程解決．3．（18-19八年級(jí)·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）聰聰在給媽媽過(guò)生日時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的年齡與媽媽的年齡的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字正好相反.同時(shí)，他還發(fā)現(xiàn)，過(guò)10年，媽媽歲數(shù)減1（歲）剛好是自己歲數(shù)加1（歲）的2倍；再過(guò)1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7，求聰聰和他媽媽現(xiàn)在的年齡.【答案】聰聰現(xiàn)在的年齡為14歲，媽媽現(xiàn)在的年齡為41歲.【分析】設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲，媽媽的年齡為(10y+x)歲，根據(jù)“過(guò)10年，媽媽歲數(shù)減1(歲)剛好是自己歲數(shù)加1(歲)的2倍；再過(guò)1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】(1)設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲，則媽媽的年齡為(10y+x)歲，根據(jù)題意得：，解得：．答：聰聰今年14歲，媽媽今年41歲．【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于設(shè)聰聰?shù)哪挲g為(10x+y)歲.【經(jīng)典例題八分配問(wèn)題】【例8】（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某工廠用如圖①所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板制作如圖②所示的A、B兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋紙盒．現(xiàn)有正方形紙板120張，長(zhǎng)方形紙板360張，剛好全部用完，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①甲同學(xué)：設(shè)制作A型盒個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意可得；②乙同學(xué)：設(shè)制作B型盒用正方形紙板的張數(shù)為m，根據(jù)題意可得；③制作A型盒72個(gè)；④制作B型盒需正方形紙板共48張．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】觀察圖形可知，A型紙盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形紙板，1個(gè)正方形紙板，B型紙盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形紙板和2個(gè)正方形紙板，設(shè)A型盒子個(gè)數(shù)為x個(gè)，可得A型紙盒需要長(zhǎng)方形紙板的數(shù)量和B型紙盒需要長(zhǎng)方形紙板的數(shù)量，可列出方程對(duì)①進(jìn)行判斷；設(shè)B型盒中正方形紙板的個(gè)數(shù)為m個(gè)，可得B型紙盒需要長(zhǎng)方形紙板的數(shù)量和A型紙盒需要長(zhǎng)方形紙板的數(shù)量，可列出方程對(duì)②進(jìn)行判斷；設(shè)制作A型盒子a個(gè)，B型盒子b個(gè)，根據(jù)長(zhǎng)方形紙板360張，正方形紙板120張，可得出方程組，解之即可得出a，b值，進(jìn)而可對(duì)③④進(jìn)行判斷．【詳解】解：設(shè)A型盒子個(gè)數(shù)為x個(gè)，則A型盒子需要長(zhǎng)方形紙板張，正方形紙板x張，∵B型紙盒需要2個(gè)正方形紙板，∴可制作B型紙盒的數(shù)量為個(gè)，需要長(zhǎng)方形紙板張，∴，故①正確；設(shè)B型盒中正方形紙板的個(gè)數(shù)為m個(gè)，則B型紙盒有個(gè)，需要長(zhǎng)方形紙板張，A型盒子有個(gè)，∴，故②正確；設(shè)制作A型盒子a個(gè)，B型盒子b個(gè)，則，解得，∴A型盒子有72個(gè)，B型紙盒有24個(gè)，∴B型紙盒中正方形紙板48個(gè)，故③④正確；故正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程以及二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等關(guān)系，正確列出一元一次方程(或二元一次方程組)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)板材裁切方案？素材1圖l中是一張學(xué)生椅，主要由靠背、座墊及鐵架組成．經(jīng)測(cè)量，該款學(xué)生椅的靠背尺寸為，座墊尺寸為．圈2是靠背與座墊的尺寸示意圖．素材2因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款式學(xué)生椅．經(jīng)清點(diǎn)庫(kù)存時(shí)發(fā)現(xiàn)，工廠倉(cāng)庫(kù)已有大量的學(xué)生椅鐵架，只需在市場(chǎng)上購(gòu)進(jìn)某型號(hào)板材來(lái)加工制做該款式學(xué)生椅的靠背與座墊．已知該板材長(zhǎng)為240cm，寬為50cm．（裁切時(shí)不計(jì)損耗）我是板材裁切師任務(wù)一擬定裁切方案若要不造成板材浪費(fèi)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一張?jiān)摪宀牡乃胁们蟹椒ǎ椒ㄒ唬翰们锌勘?6張和座墊0張．方法二：裁切靠背______張和座墊______張．方法三：裁切靠背______張和座墊______張．任務(wù)二確定搭配數(shù)量若該工廠購(gòu)進(jìn)110張?jiān)撔吞?hào)板材，能制作成多少?gòu)垖W(xué)生掎？任務(wù)三解決實(shí)際問(wèn)題現(xiàn)需要制作700張學(xué)生椅，該工廠倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有4張座墊和12張靠背，若將板材采用方法二和方法三裁切，還需要購(gòu)買(mǎi)該型號(hào)板材多少?gòu)垼ㄇ『萌坑猛辏俊敬鸢浮咳蝿?wù)一：8，3；0，6；任務(wù)二：購(gòu)進(jìn)110張?jiān)撔吞?hào)板材，制作成480張學(xué)生椅；任務(wù)三：159張【分析】本題考查二元一次方程（組）的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出二元一次方程和二元一次方程組．任務(wù)一：設(shè)一張?jiān)摪宀牟们锌勘砿張，坐墊n張，可得：，求出非負(fù)整數(shù)解即可；任務(wù)二：列式計(jì)算得能制作成240張學(xué)生椅；任務(wù)三：設(shè)用x張板材裁切靠背8張和坐墊3張，用y張板材裁切靠背0張和坐墊6張，可得，解方程組可得答案．【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)一張?jiān)摪宀牟们锌勘砿張，坐墊n張，，m，n為非負(fù)整數(shù)，或或故答案為：8，3；0，6；任務(wù)二：∵（張），∴購(gòu)進(jìn)110張?jiān)撔吞?hào)板材，制作成480張學(xué)生椅；任務(wù)三：設(shè)用x張板材裁切靠背8張和座墊3張，用y張板材裁切靠背0張和座墊6張，，解得：∵（張），∴需要購(gòu)買(mǎi)該型號(hào)板材159張，用其中86張板材裁切靠背8張和座墊3張，用73張板材裁切靠背0張和座墊6張．2．（23-24七年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某服裝廠生產(chǎn)一批運(yùn)動(dòng)服，6米長(zhǎng)的布料可做上衣4件或褲子6條，計(jì)劃用300米長(zhǎng)的布料生產(chǎn)該批次運(yùn)動(dòng)服，(1)分別用多少米布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？(2)在（1）的條件下，若該布料的價(jià)格是25元/米，運(yùn)動(dòng)服售價(jià)80元/套，則生產(chǎn)該批次運(yùn)動(dòng)服能盈利多少元？【答案】(1)用180米布料生產(chǎn)上衣，120米布料生產(chǎn)褲子(2)2100元【分析】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．（1）設(shè)用x米布料生產(chǎn)上衣，y米布料生產(chǎn)褲子，根據(jù)題意列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，求解即可得出答案．（2）先計(jì)算出總的運(yùn)動(dòng)服套數(shù)，再根據(jù)利潤(rùn)等于總盈利減去總成本計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)用x米布料生產(chǎn)上衣，y米布料生產(chǎn)褲子，由題意可得：，解得：，答：用180米布料生產(chǎn)上衣，120米布料生產(chǎn)褲子．（2）由（1）可得300米布料可生產(chǎn)上衣（件），生產(chǎn)褲子（件），∴可生產(chǎn)120套運(yùn)動(dòng)服，（元）．答：生產(chǎn)該批次運(yùn)動(dòng)服能盈利2100元．3．（21-22七年級(jí)下·廣西桂林·階段練習(xí)）某紙品加工廠利用邊角料裁出正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片，長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等（如圖2），再將它們制作成甲乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒（如圖1）．（注：圖1中向上的一面無(wú)蓋）(1)如果制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒各一個(gè)，則共需長(zhǎng)方形紙片張，正方形紙片張；(2)現(xiàn)將400張長(zhǎng)方形硬紙片和200張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成甲乙兩種小盒各多少個(gè)？【答案】(1)7；3(2)可以做成甲乙兩種小盒各40個(gè)，80個(gè)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用：（1）分別求出1個(gè)甲種長(zhǎng)方體小盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，1個(gè)正方形硬紙片，1個(gè)乙種長(zhǎng)方體小盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，2個(gè)正方形硬紙片即可得到答案；（2）設(shè)可以做成甲乙兩種小盒各x個(gè)，y個(gè)，根據(jù)將400張長(zhǎng)方形硬紙片和200張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，1個(gè)甲種長(zhǎng)方體小盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，1個(gè)正方形硬紙片，1個(gè)乙種長(zhǎng)方體小盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，2個(gè)正方形硬紙片，∴制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒各一個(gè)，則共需長(zhǎng)方形紙片7張，正方形紙片3張，故答案為：7；3；（2）解：設(shè)可以做成甲乙兩種小盒各x個(gè)，y個(gè)，由題意得，，解得，答：可以做成甲乙兩種小盒各40個(gè)，80個(gè)．【經(jīng)典例題九銷(xiāo)售、利潤(rùn)問(wèn)題】【例9】（2022上·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）某班的一個(gè)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組去甲、乙兩個(gè)超市調(diào)查去年和今年“元旦”期間的銷(xiāo)售情況，下面是調(diào)查后小明與其他兩位同學(xué)進(jìn)行交流的對(duì)話．小明說(shuō)：“去年兩超市的銷(xiāo)售額共為150萬(wàn)元，今年兩超市的銷(xiāo)售額共為170萬(wàn)元．”小亮說(shuō)：“甲超市的銷(xiāo)售額今年比去年增加．”小穎說(shuō)：“乙超市的銷(xiāo)售額今年比去年增加．”根據(jù)他們的對(duì)話，得出今年甲超市的銷(xiāo)售額為（

）萬(wàn)元.A．100 B．50 C．60 D．110【答案】D【分析】設(shè)甲超市去年銷(xiāo)售額為x萬(wàn)元，乙超市去年銷(xiāo)售額為y萬(wàn)元，根據(jù)題意列出方程組求解后，再求出甲超市今年的銷(xiāo)售額即可．【詳解】解：設(shè)甲超市去年銷(xiāo)售額為x萬(wàn)元，乙超市去年銷(xiāo)售額為y萬(wàn)元，根據(jù)題意，得：，，，解得：，所以今年甲超市銷(xiāo)售額為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）某海鮮排檔購(gòu)進(jìn)一批大龍蝦和海膽，它們的進(jìn)貨單價(jià)之和是360元．大龍蝦零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)多40元，海膽零售單價(jià)比進(jìn)貨單價(jià)的1.5倍少60元，按零售單價(jià)購(gòu)買(mǎi)大龍蝦2只和海膽4個(gè)，共需要1200元．(1)求大龍蝦和海膽的進(jìn)貨單價(jià)；(2)該海鮮排檔平均每天賣(mài)出大龍蝦20只和海膽12個(gè)．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大龍蝦零售單價(jià)每降低1元，平均每天就可多售出大龍蝦2只，海鮮排檔決定把大龍蝦的零售單價(jià)下降元，海膽的零售單價(jià)和銷(xiāo)量都不變，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)a為多少時(shí)，海鮮排檔每天銷(xiāo)售大龍蝦和海膽獲取的總利潤(rùn)為1490元？【答案】(1)大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為200元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為160元(2)15【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用∶（1）設(shè)大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為x元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為y元，由它們的進(jìn)貨單價(jià)之和是360元和按零售單價(jià)購(gòu)買(mǎi)大龍蝦2只和海膽4個(gè)，共需要1200元，列出方程組，即可求解；（2）由海鮮排檔每天銷(xiāo)售大龍蝦和海膽獲取的總利潤(rùn)為1490元，列出方程可求解．【詳解】（1）解：設(shè)大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為x元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為y元，依題意有∶，解得：，答：大龍蝦進(jìn)貨單價(jià)為200元，海膽的進(jìn)貨單價(jià)為160元；（2）依題意有，解得．故當(dāng)a為15時(shí)，海鮮排檔每天銷(xiāo)售大龍蝦和海膽獲取的總利潤(rùn)為1490元．2．（23-24七年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）某商店分兩次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈進(jìn)行銷(xiāo)售，兩次購(gòu)進(jìn)的數(shù)量及費(fèi)用如下表所示，由于物價(jià)上漲，第二次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈時(shí)，兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別上漲，．購(gòu)進(jìn)的臺(tái)數(shù)購(gòu)進(jìn)所需要的費(fèi)用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)A，B型兩種臺(tái)燈銷(xiāo)售單價(jià)不變，第一次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，獲得的利潤(rùn)為2800元，第二次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，獲得的利潤(rùn)為1800元．求A，B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)分別是多少元？【答案】(1)第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為50元；(2)A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為340元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為120元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購(gòu)買(mǎi)臺(tái)A型臺(tái)燈的費(fèi)用第一次購(gòu)買(mǎi)臺(tái)B型臺(tái)燈的費(fèi)用元，第二次購(gòu)買(mǎi)臺(tái)A型臺(tái)燈的費(fèi)用第二次購(gòu)買(mǎi)臺(tái)B型臺(tái)燈的費(fèi)用元，列出方程組，接可求解；（2）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的臺(tái)A型臺(tái)燈的利潤(rùn)第一次的臺(tái)B型臺(tái)燈的利潤(rùn)元，第二次的臺(tái)A型臺(tái)燈的利潤(rùn)第二次購(gòu)買(mǎi)臺(tái)B型臺(tái)燈的利潤(rùn)元，列出方程組，接可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為x元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得：，答：第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為50元．（2）解：設(shè)A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為m元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為n元，由題意得：，解得，，答：A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為340元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為120元．3．（23-24八年級(jí)上·云南文山·期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某玩具店購(gòu)進(jìn)亞運(yùn)會(huì)吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”共100個(gè)，總費(fèi)用為6600元，這兩種吉祥物的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表：琮琮蓮蓮進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）6070售價(jià)（元/個(gè)）80100

(1)該玩具店購(gòu)進(jìn)“琮琮”和“蓮蓮”各多少個(gè)？(2)周老師有幸能參加本次亞運(yùn)會(huì)，然后想買(mǎi)20個(gè)琮琮，30個(gè)蓮蓮送給他的學(xué)生，現(xiàn)在有兩個(gè)玩具店在做活動(dòng)，甲商店打“八折”銷(xiāo)售，乙商店總價(jià)“滿(mǎn)4000元減700元”，請(qǐng)問(wèn)周老師會(huì)選擇到哪個(gè)商店買(mǎi)更優(yōu)惠？【答案】(1)該玩具店購(gòu)進(jìn)“琮琮”40個(gè)，“蓮蓮”60個(gè)(2)選甲商店更優(yōu)惠【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．讀懂題意，正確的列出方程組，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該玩具店購(gòu)進(jìn)“琮琮”個(gè)，“蓮蓮”個(gè)，根據(jù)玩具店購(gòu)進(jìn)亞運(yùn)會(huì)吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”共100個(gè)，總費(fèi)用為6600元，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案，列式計(jì)算出各個(gè)方案所需的費(fèi)用，，進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)該玩具店購(gòu)進(jìn)“琮琮”個(gè)，“蓮蓮”個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：該玩具店購(gòu)進(jìn)“琮琮”40個(gè)，“蓮蓮”60個(gè)．（2）甲：（元）乙：（元）因?yàn)椋赃x甲商店更優(yōu)惠．【經(jīng)典例題十和差倍分問(wèn)題】【例10】（2022下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小青的爸爸到網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽和吉祥物冰墩墩徽章組合套裝奧運(yùn)紀(jì)念品，第一次他購(gòu)買(mǎi)了2件該奧運(yùn)紀(jì)念品，加上快遞費(fèi)共付款213元；因?yàn)榇蠹叶己芟矏?ài)該紀(jì)念品，于是第二次他購(gòu)買(mǎi)了5件該奧運(yùn)紀(jì)念品，且快遞費(fèi)與第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)的相同，共付款510元，則兩次的快遞費(fèi)一共為（

）A．15元 B．30元 C．45元 D．60元【答案】B【分析】設(shè)1件該奧運(yùn)紀(jì)念品價(jià)格為x元，每次快遞費(fèi)為y元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)了2件該奧運(yùn)紀(jì)念品，加上快遞費(fèi)共付款213元；購(gòu)買(mǎi)了5件該奧運(yùn)紀(jì)念品，加快遞費(fèi)共付款510元；分別為等量關(guān)系列出方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)1件該奧運(yùn)紀(jì)念品價(jià)格為x元，每次快遞費(fèi)為y元，根據(jù)題意，得，解得：，兩次的快遞費(fèi)一共為2y=2×15=30(元),故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·江西宜春·階段練習(xí)）小麗購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如表所示，因收據(jù)污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無(wú)法識(shí)別．根據(jù)下表，解決問(wèn)題：商品名單價(jià)（元）數(shù)量金額（元）簽字筆326自動(dòng)鉛筆1.5記號(hào)筆4軟皮筆記本29圓規(guī)3.51合計(jì)828(1)小麗買(mǎi)了自動(dòng)鉛筆、記號(hào)筆各幾支？(2)若小麗再次購(gòu)買(mǎi)軟皮筆記本和自動(dòng)鉛筆兩種文具，軟皮筆記本和自動(dòng)鉛筆都至少購(gòu)買(mǎi)一件，共花費(fèi)15元，則有哪幾種不同的購(gòu)買(mǎi)方案？【答案】(1)小麗購(gòu)買(mǎi)了自動(dòng)鉛筆、記號(hào)筆分別為1只和2只(2)有3種不同的購(gòu)買(mǎi)方案：①自動(dòng)筆7只，軟皮筆記本1本；②自動(dòng)筆4只，軟皮筆記本2本；③自動(dòng)筆1只，軟皮筆記本3本【分析】此題主要考查了二元一次方程組以及二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合表格中數(shù)據(jù)得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)自動(dòng)鉛筆買(mǎi)了x支，記號(hào)筆y支，利用總的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為8，進(jìn)而得出等式，再利用總金額為28元得出等式組成方程組求出答案；（2）根據(jù)題意設(shè)小麗再次購(gòu)買(mǎi)了自動(dòng)鉛筆a只和軟皮筆記本b本，根據(jù)共花費(fèi)15元得出等式，進(jìn)而得出二元一次方程的解．【詳解】（1）（1）設(shè)小麗自動(dòng)鉛筆買(mǎi)了x支，記號(hào)筆y支，因?yàn)橛杀砀裰嘿?gòu)買(mǎi)圓規(guī)花費(fèi)金額為：（元），購(gòu)買(mǎi)軟皮筆記本花費(fèi)的金額為：9元，所以買(mǎi)自動(dòng)筆和記號(hào)筆共花費(fèi)的金額為：（元），可以列方程如下：

解得：答：小麗購(gòu)買(mǎi)了自動(dòng)鉛筆、記號(hào)筆分別為1只和2只；（2）解：設(shè)小麗再次購(gòu)買(mǎi)了自動(dòng)鉛筆a只和軟皮筆記本b本．軟皮本每本單價(jià)：（元），∴

化簡(jiǎn)：

則；；答：有3種不同的購(gòu)買(mǎi)方案：①自動(dòng)筆7只，軟皮筆記本1本；②自動(dòng)筆4只，軟皮筆記本2本；③自動(dòng)筆1只，軟皮筆記本3本．2．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）為了弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)主義精神，某中學(xué)組織八年級(jí)學(xué)生到鄭州市二七紀(jì)念塔展覽，現(xiàn)有兩種車(chē)型可供選擇．已知2輛型車(chē)和1輛型車(chē)可以載學(xué)生100名；1輛型車(chē)和2輛型車(chē)可以載學(xué)生110人，該學(xué)校八年級(jí)共有320名學(xué)生，根據(jù)題目提供的信息，解決下列問(wèn)題：(1)型車(chē)每輛可分別載學(xué)生多少人？(2)若租一輛型車(chē)需要1000元，租一輛型車(chē)需要1200元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)租車(chē)方案，使得恰好運(yùn)送完學(xué)生并且租車(chē)費(fèi)用最少．【答案】(1)每輛型車(chē)可載學(xué)生30人，每輛型車(chē)可載學(xué)生40人(2)不租型車(chē)、租8輛型車(chē)【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）設(shè)每輛A型車(chē)可載學(xué)生x人，每輛B型車(chē)可載學(xué)生y人，根據(jù)“2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)可以載學(xué)生100人；1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)可以載學(xué)生110人”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租A型車(chē)m輛，租B型車(chē)n輛，根據(jù)總?cè)藬?shù)租用A型車(chē)的數(shù)量租用B型車(chē)的數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)即可得出各租車(chē)方案，利用總錢(qián)數(shù)每輛車(chē)的租車(chē)費(fèi)用租車(chē)數(shù)量可得出函數(shù)解析式，用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每輛型車(chē)可載學(xué)生人，每輛型車(chē)可載學(xué)生人，依題意，得：，解得：．答：每輛型車(chē)可載學(xué)生30人，每輛型車(chē)可載學(xué)生40人；（2）解：設(shè)租型車(chē)輛，租型車(chē)輛，依題意，得：，解得：．均為非負(fù)整數(shù)，或或，當(dāng)時(shí)，租車(chē)費(fèi)用為（元）；當(dāng)時(shí)，租車(chē)費(fèi)用為（元）；當(dāng)時(shí)，租車(chē)費(fèi)用為（元）．，不租型車(chē)、8輛型車(chē)．3．（2024·浙江杭州·一模）某公司后勤部準(zhǔn)備去超市采購(gòu)牛奶和咖啡若干箱，現(xiàn)有兩種不同的購(gòu)買(mǎi)方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金額（元方案一20101100方案二3015__________(1)采購(gòu)人員不慎將污漬弄到表格上，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷污漬蓋住地方對(duì)應(yīng)金額是__元；(2)若后勤部購(gòu)買(mǎi)牛奶25箱，咖啡20箱，則需支付金額1750元；①求牛奶與咖啡每箱分別為多少元？②超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質(zhì)期臨近，進(jìn)行打六折的促銷(xiāo)活動(dòng)，后勤部根據(jù)需要選擇原價(jià)或打折的咖啡和牛奶，此次采購(gòu)共花費(fèi)了1200元，其中購(gòu)買(mǎi)打折的牛奶箱數(shù)是所有牛奶、咖啡的總箱數(shù)的，則此次按原價(jià)采購(gòu)的咖啡有箱（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)1650(2)①牛奶與咖啡每箱分別為30元、50元；②6【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)牛奶一箱元，咖啡一箱元，由題意得：，再由，即可求解；（2）①設(shè)牛奶一箱元，咖啡一箱元，由題意列出方程組，求解即可；②設(shè)牛奶與咖啡總箱數(shù)為箱，則打折的牛奶箱數(shù)為箱，設(shè)原價(jià)咖啡為箱，則打折咖啡與原價(jià)牛奶共有箱，由題意列出方程，求出正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)牛奶一箱元，咖啡一箱元，由題意得：，（元），故答案為：1650；（2）解：①①設(shè)牛奶一箱元，咖啡一箱元，由題意得：，解得：，答：牛奶與咖啡每箱分別為30元、50元；②設(shè)牛奶與咖啡總箱數(shù)為，則打折的牛奶箱數(shù)為箱，打折牛奶價(jià)格為：（元，打折咖啡價(jià)格為：（元），即打折咖啡價(jià)格與牛奶原價(jià)相同，設(shè)原價(jià)咖啡為箱，則打折咖啡與原價(jià)牛奶共有箱，由題意得：，整理得：，∴、均為正整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴a必須是20的倍數(shù)，，或，，，，即此次按原價(jià)采購(gòu)的咖啡有6箱，故答案為：6．【經(jīng)典例題十一幾何問(wèn)題】【例11】（2023下·山東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示為兩個(gè)形狀、大小完全一樣的小長(zhǎng)方形拼接而成的圖形．已知，，則小長(zhǎng)方形的面積為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)圖形列出方程組進(jìn)行計(jì)算，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，依題意得：解得：，小長(zhǎng)方形的面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少4厘米，寬增加1厘米，就成為一個(gè)正方形，并且正方形的面積比原長(zhǎng)方形的面積少11平方厘米，則原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為．【答案】9厘米/9cm【分析】設(shè)原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，根據(jù)正方形的面積比原長(zhǎng)方形的面積少11平方厘米及長(zhǎng)寬的關(guān)系建立方程組求出其解即可．【詳解】解：設(shè)原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，由題意，得，解得：．所以原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為9厘米．故答案為：9厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了列二元二次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，二元二次方程組的解法的運(yùn)用，長(zhǎng)方形與正方形的面積關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)長(zhǎng)方形與正方形的邊長(zhǎng)及面積的關(guān)系建立方程組是關(guān)鍵．2．（2023下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形拼圖，白色部分均由長(zhǎng)為、寬為的小長(zhǎng)方形卡片拼成．

(1)如圖1，當(dāng)圖中最大長(zhǎng)方形的寬為時(shí)，分別求、的值；(2)如圖2，若大正方形的面積為81，每張卡片的面積為14，求小正方形的邊長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)兩個(gè)陰影部分（均為長(zhǎng)方形）面積差為定值時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)5(3)【分析】（1）根據(jù)圖形得出；，然后解方程組即可；（2）根據(jù)圖形得出；根據(jù)，得出，即可求出結(jié)果；（3）設(shè)最大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，得出，根據(jù)，整理得出，得出當(dāng)時(shí)，為定值，即可得出答案．【詳解】（1）解：由最大長(zhǎng)方形的寬可得：；由最大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)可得：，從而．

．

（2）解：小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的邊長(zhǎng)為，比較圖中正方形的面積可得：；當(dāng)時(shí)，．．（3）解：設(shè)最大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，則．∴，當(dāng)時(shí)，為定值．∴為定值時(shí)，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握完全平方公式．3．（2022上·安徽滁州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，如果點(diǎn)始終在點(diǎn)的左側(cè)，我們稱(chēng)作點(diǎn)是點(diǎn)的“追趕點(diǎn)”如圖，數(shù)軸上有個(gè)點(diǎn)A，，它們表示的數(shù)分別為，，已知點(diǎn)是點(diǎn)的“追趕點(diǎn)”，且，表示的數(shù)分別為，．

(1)由題意易知，點(diǎn)A是點(diǎn)的“追趕點(diǎn)”，表示線段的長(zhǎng)，以下相同；類(lèi)似的，______．(2)在A，，三點(diǎn)中，若其中一個(gè)點(diǎn)是另兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成線段的中點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式來(lái)表示．(3)若，，求和的值．【答案】(1)(2)①是A、的中點(diǎn)，；②A是、點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，；③N是、A的中點(diǎn)時(shí)，；(3)，或，或，【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)A是點(diǎn)的“追趕點(diǎn)”，表示線段的長(zhǎng)，以下相同”即可得到答案；（2）分三種情況進(jìn)行分析求解即可；（3）根據(jù)得到，由，得到，分別列出方程組進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，故答案為；（2）①是A、的中點(diǎn)，則，；②A是、點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，則，∴；③N是、A的中點(diǎn)時(shí)，則，；（3），，，，或或或，，或，或，或，，，，或，或，．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、線段中點(diǎn)的定義等知識(shí)，熟練掌握二元一次方程組的解法和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十二圖表信息題】【例12】（2023下·浙江寧波·七年級(jí)校考期末）如表格所示，在方格中做填字游戲，要求每行，每列及對(duì)角線上三個(gè)方格中的數(shù)字和都相等，則表格中x，y的值是（

）05A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得，解二元一次方程組即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，根據(jù)題意列出二元一次方程組并利用加減消元法求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在第一個(gè)天平上，物塊A的質(zhì)量等于物塊B加上物塊C的質(zhì)量；如圖2，在第二個(gè)天平上，物塊A加上物塊B的質(zhì)量等于3個(gè)物塊C的質(zhì)量．已知物塊A的質(zhì)量為．請(qǐng)你判斷：1個(gè)物塊B的質(zhì)量是．

【答案】5【分析】設(shè)物塊B、C的質(zhì)量分別是x克，y克，根據(jù)題意列方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)物塊B、C的質(zhì)量分別是x克，y克，根據(jù)題意得，，得，解得，即1個(gè)物塊B的質(zhì)量是．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用加減消元法．2．（2022上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）張老師在某文體店購(gòu)買(mǎi)商品A、B若干次（每次A、B兩種商品都購(gòu)買(mǎi)，且A、B都只能購(gòu)買(mǎi)整數(shù)個(gè)），其中第一、二兩次購(gòu)買(mǎi)時(shí)，均按標(biāo)價(jià)購(gòu)買(mǎi)，兩次購(gòu)買(mǎi)商品A、B的數(shù)量和費(fèi)用如表所示：購(gòu)買(mǎi)商品A的數(shù)量/個(gè)購(gòu)買(mǎi)商品B的數(shù)量/個(gè)購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用/元第一次購(gòu)物65980第二次購(gòu)物37940(1)求商品A、B的標(biāo)價(jià)；(2)若張老師第三次購(gòu)物時(shí)，商品A、B同時(shí)打6折出售，這次購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為960元，則張老師有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？【答案】(1)商品A的標(biāo)價(jià)為80元/個(gè)，商品B的標(biāo)價(jià)為100元/個(gè)(2)張老師共有三種購(gòu)買(mǎi)方案，方案一：購(gòu)買(mǎi)15個(gè)商品A，4個(gè)商品B；方案二：購(gòu)買(mǎi)10個(gè)商品A，8個(gè)商品B；方案三：購(gòu)買(mǎi)5個(gè)商品A，12個(gè)商品B【分析】（1）設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元/個(gè)，商品B的標(biāo)價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)“表格信息”建立方程組，再解方程組即可；（2）設(shè)張老師購(gòu)買(mǎi)m個(gè)商品A，n個(gè)商品B，根據(jù)“這次購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整數(shù)解可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)商品A的標(biāo)價(jià)為x元/個(gè)，商品B的標(biāo)價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：商品A的標(biāo)價(jià)為80元/個(gè)，商品B的標(biāo)價(jià)為100元/個(gè)．（2）設(shè)張老師購(gòu)買(mǎi)m個(gè)商品A，n個(gè)商品B，根據(jù)題意得：，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．答：張老師共有三種購(gòu)買(mǎi)方案，方案一：購(gòu)買(mǎi)15個(gè)商品A，4個(gè)商品B；方案二：購(gòu)買(mǎi)10個(gè)商品A，8個(gè)商品B；方案三：購(gòu)買(mǎi)5個(gè)商品A，12個(gè)商品B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解的含義，理解題意，確定相等關(guān)系建立方程組或方程是解本題的關(guān)鍵．3．（2022下·湖南株洲·七年級(jí)校考期末）某電器超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇．如表所示是近2周的銷(xiāo)售情況：（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)貨成本）銷(xiāo)售時(shí)段銷(xiāo)售數(shù)量銷(xiāo)售收入A種型號(hào)B種型號(hào)第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)；(2)超市銷(xiāo)售完A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共25臺(tái)，能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)一家公司打算花費(fèi)4000元同時(shí)購(gòu)買(mǎi)A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇若干臺(tái)，請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)不同的購(gòu)買(mǎi)方案．【答案】(1)種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為250元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為200元(2)不能，理由見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為元，根據(jù)近2周的銷(xiāo)售情況表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)，設(shè)銷(xiāo)售臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，利用總利潤(rùn)每臺(tái)的銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售數(shù)量，結(jié)合銷(xiāo)售完、兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共25臺(tái)且共獲得1200元利潤(rùn)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，結(jié)合，需為正整數(shù)，即可得出不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)；（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買(mǎi)方案．【詳解】（1）解：設(shè)種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為元，依題意得：，解得：．答：種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為250元，種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)為200元．（2）不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)，理由如下：設(shè)銷(xiāo)售臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，依題意得：，解得：，又，均為正整數(shù)，不符合題意，舍去，即不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1200元的目標(biāo)．（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，依題意得：，，又，均為正整數(shù)，或或，該公司共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，方案1：購(gòu)買(mǎi)4臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，15臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇；方案2：購(gòu)買(mǎi)8臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，10臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇；方案3：購(gòu)買(mǎi)12臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇，5臺(tái)種型號(hào)電風(fēng)扇．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十三古代問(wèn)題】【例13】（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書(shū)中有一道題“今有五雀六燕，集稱(chēng)之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問(wèn)：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤(古時(shí)1斤=16兩)．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問(wèn)：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組()A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等量關(guān)系“五只雀、六只燕，共重1斤(古時(shí)1斤=16兩)”和“雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組即可解答．【詳解】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤(古時(shí)1斤=16兩)，∴，∵雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，∴，即，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列二元一次方程組，根據(jù)題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問(wèn)題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳，甲云得乙九只羊，乙說(shuō)得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，畫(huà)地算了半晌”其大意為：甲、乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，問(wèn)：甲乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程組為．【答案】【分析】設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，根據(jù)如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只．∵如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍，∴；∵如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，∴．聯(lián)立兩方程組成方程組．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《算法統(tǒng)宗》中有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“九百九十九文錢(qián)，甜果苦果買(mǎi)一千，四文錢(qián)買(mǎi)苦果七，十一文錢(qián)九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？請(qǐng)君布算莫遲疑！”大意是說(shuō)：“用九百九十九文錢(qián)共買(mǎi)了一千個(gè)甜果和苦果，其中四文錢(qián)可以買(mǎi)苦果七個(gè)，十一文錢(qián)可以買(mǎi)甜果九個(gè)，請(qǐng)問(wèn)究竟甜、苦果各有幾個(gè)？”試求甜果，苦果的個(gè)數(shù)．【答案】苦果買(mǎi)343個(gè)，甜果買(mǎi)657個(gè)【分析】設(shè)苦果買(mǎi)x個(gè)，甜果買(mǎi)y個(gè)，根據(jù)用999文錢(qián)可以買(mǎi)甜果和苦果共1000個(gè)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，再解方程組即可．【詳解】解：設(shè)苦果買(mǎi)x個(gè)，甜果買(mǎi)y個(gè)，根據(jù)題意，得，解得答：苦果買(mǎi)343個(gè)，甜果買(mǎi)657個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3、（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期中）閱讀下列材料，解決問(wèn)題．《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問(wèn)題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個(gè)在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問(wèn)題，通常稱(chēng)為“百雞問(wèn)題”：“今有雞母一值錢(qián)三，雞翁一值錢(qián)五，雞雛三值錢(qián)一．凡百錢(qián)買(mǎi)雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢(qián)，每一只公雞值五文錢(qián)，每三只小雞值一文錢(qián)．現(xiàn)在用一百文錢(qián)買(mǎi)一百只雞，問(wèn)這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？(1)[嘗試]若設(shè)母雞有x只，公雞有y只，①小雞有_______只，買(mǎi)小雞一共花費(fèi)_____文錢(qián)（用含x，y的式子表示）；②根據(jù)題意，列出一個(gè)含有x，y的方程__________；(2)[探索]小軍對(duì)“百雞問(wèn)題”增加一個(gè)條件：“母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，”求此時(shí)公雞?母雞?小雞的只數(shù)；(3)[拓展]小明對(duì)“百雞問(wèn)題”增加兩個(gè)條件：“若買(mǎi)得公雞和母雞之和不超過(guò)20只，且買(mǎi)得公雞數(shù)不低于母雞數(shù)，”求此時(shí)公雞?母雞?小雞的只數(shù)．【答案】(1)①；②(2)公雞有4只，母雞有18只，小雞有78只(3)公雞有12只，母雞有4只，小雞有84只【分析】（1）①根據(jù)共買(mǎi)雞100只，即可求出小雞購(gòu)買(mǎi)的只數(shù)，結(jié)合小雞的價(jià)格即可求出購(gòu)買(mǎi)小雞的總花費(fèi)；②根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量結(jié)合用一百文錢(qián)買(mǎi)一百只雞，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程；（2）根據(jù)（1）中②的結(jié)論結(jié)合“母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)求出x，y之間的關(guān)系，然后結(jié)合“若買(mǎi)得公雞和母雞之和不超過(guò)20只，且買(mǎi)得公雞數(shù)不低于母雞數(shù)，”討論，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）①∵要買(mǎi)100只雞，且小雞每三只值一文錢(qián)，∴買(mǎi)了只小雞，買(mǎi)小雞花了文錢(qián)．故答案為：；．②根據(jù)題意得：．故答案為：．（2）由題意得，解得，∴只．答：公雞有4只，母雞有18只，小雞有78只；（3）根據(jù)題意得：，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍去）．又因?yàn)椋遥詢(xún)H有，符合題意，此時(shí)．答：公雞有12只，母雞有4只，小雞有84只．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，以及二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十四其他問(wèn)題】【例14】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）某車(chē)間35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)．一個(gè)螺栓要配兩個(gè)螺母，問(wèn)應(yīng)該分配（

）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當(dāng)天的螺栓和螺母剛好配套？A．13人 B．14人 C．15人 D．16人【答案】C【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，根據(jù)每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，1個(gè)螺栓配2個(gè)螺母剛好配套，列出方程組，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，由題意得，解得，即應(yīng)分配15人生產(chǎn)螺栓，20人生產(chǎn)螺母．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程組．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品．已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)B種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買(mǎi)5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)B種獎(jiǎng)品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備用160元全部購(gòu)買(mǎi)A，B兩種獎(jiǎng)品若干個(gè)，那么可以購(gòu)買(mǎi)B種獎(jiǎng)品個(gè)．【答案】4或8【分析】設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)B種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買(mǎi)5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)B種獎(jiǎng)品共需130元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之可得出兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)，設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品m個(gè)，B種獎(jiǎng)品n個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出n的值．【詳解】解：設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：，解得：，∴A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元．設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品m個(gè)，B種獎(jiǎng)品n個(gè)，根據(jù)題意得：，∴，∵m，n均為正整數(shù)，∴或，∴可以購(gòu)買(mǎi)B種獎(jiǎng)品4或8個(gè)．故答案為：4或8．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·福建廈門(mén)·七年級(jí)校考期中）某市為提升山海健康步道夜景效果，在兩條筆直平行的景觀道，上安裝旋轉(zhuǎn)燈，旋轉(zhuǎn)燈A的光射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈B的光射線自旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈A為激光燈，燈B為燈，分為兩種型號(hào)，型號(hào)一每秒轉(zhuǎn)，型號(hào)二每秒轉(zhuǎn)，這兩種型號(hào)的燈購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用如下表：購(gòu)買(mǎi)型號(hào)一數(shù)量（個(gè)）購(gòu)買(mǎi)型號(hào)二數(shù)量（個(gè)）總價(jià)（元）1214534335

(1)如圖1，若燈A的光射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，光線與交于C點(diǎn)，D為上一點(diǎn)，且，求．(2)如圖2，若燈A每秒轉(zhuǎn)，其先轉(zhuǎn)20秒后燈B開(kāi)始轉(zhuǎn)40秒后，兩燈的光束的夾角為．請(qǐng)你判斷所安裝的是哪個(gè)型號(hào)的燈，并求該型號(hào)燈單個(gè)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用．(3)如圖3，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，若某一時(shí)刻兩燈的光束交于點(diǎn)O，此時(shí)點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)F，求和的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)50(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知，，根據(jù)平角的定義和平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）設(shè)兩燈的光束交于點(diǎn)，過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，則，根據(jù)題意得，進(jìn)而算出，根據(jù)“轉(zhuǎn)速二轉(zhuǎn)過(guò)的角度時(shí)間”列出算式計(jì)算，設(shè)設(shè)型號(hào)一的燈單價(jià)為元，型號(hào)二的燈單價(jià)為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，再求解即可；（3）設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得，以此化簡(jiǎn)即可解答．【詳解】（1）解：∵燈的光射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，光線與交于點(diǎn)，（2）解：設(shè)兩燈的光束交于點(diǎn)，過(guò)作，由題意可得，∴，∴，∴燈的旋轉(zhuǎn)速度為(度/秒)∴安裝的是型號(hào)二的燈，設(shè)型號(hào)一的燈單價(jià)為元，型號(hào)二的燈單價(jià)為元，根據(jù)題意得：，解得∶，型號(hào)一的燈單價(jià)為45元，型號(hào)二的燈單價(jià)為50元，∴該型號(hào)燈單個(gè)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)為50元；（3）解：