特訓01有理數（選填壓軸題，九大題型歸納）目錄：題型1：分類討論化簡絕對值題型2：數軸上的距離、動點問題題型3：有理數的加減法有關的圖形問題題型4：有理數的混合運算題型5：程序框圖題型6：新定義的有理數運算題型7：有理數運算的應用題型8：有理數乘方的規律題題型9：數字、圖形規律的探索題型1：分類討論化簡絕對值1．如果，，是非零有理數，那么的所有可能的值為（

）．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，4【答案】D【分析】分類討論：①a、b、c均是正數，②a、b、c均是負數，③a、b、c中有一個正數，兩個負數，④a、b、c有兩個正數，一個負數，化簡原式即可去求解．【解析】①a、b、c均是正數，原式==；②a、b、c均是負數，原式==；③a、b、c中有一個正數，兩個負數，原式==；④a、b、c中有兩個正數，一個負數，原式==；故選D．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，關鍵是分情況討論，然后逐一求解．2．已知，則值為多少（

）A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3【答案】A【解析】試題分析：根據絕對值的性質及連乘法則，可判斷出x、y、z的符號，再根據正負性即可求值.解：∵，∴，∴x、y、z的符號為三負或兩正一負.當x、y、z均為負值時，原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3；當x、y、z為兩正一負時，原式＝1+1+（－1）＝1；∴值為1或－3.故選A.點睛：本題涉及的知識有絕對值、有理數的乘法.解題的關鍵在于要利用已知條件結合絕對值的性質、有理數連乘法則判斷出x、y、z的符號，同時要注意利用分類討論思想.3．設有理數a、b、c滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據可知，異號，再根據，以及，即可確定，，，，，在數軸上的位置，而表示到，，三點的距離的和，根據數軸即可確定．【解析】解：∵，∴a，c異號，∵，∴，，又∵，∴，又∵表示到，，三點的距離的和，當在時距離最小，即最小，最小值是與之間的距離，即．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值函數的最值問題，解決的關鍵是根據條件確定，，，，，之間的大小關系，把求式子的最值的問題轉化為距離的問題，有一定難度．題型2：數軸上的距離、動點問題4．如圖，在紙面所在的平面內，一只電子螞蟻從數軸上表示原點的位置O點出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移動到，第2次移動到，第3次移動到，……，第n次移動到，則△O的面積是（

）

A．504 B． C． D．505【答案】B【分析】根據圖可得移動4次完成一個循環，觀察圖形得出OA4n=2n，處在數軸上的點為A4n和A4n-1.由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解決問題．【解析】解：觀察圖形可知：OA4n=2n，且點A4n和點A4n-1在數軸上，又2016=504×4，∴A2016在數軸上，且OA2016=1008，∵2019=505×4-1，∴點A2019在數軸上，OA2019=1009，∴△OA2A2019的面積=×1009×1=，故選：B．【點睛】本題考查三角形的面積，數軸等知識，解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題，屬于中考常考題型．5．已知有理數滿足：．如圖，在數軸上，點是原點，點所對應的數是，線段在直線上運動（點在點的左側），，下列結論①；②當點與點重合時，；③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據平方式和絕對值的非負性求出a和b的值，然后根據數軸上兩點之間距離的計算方法和中點的表示方法去證明命題的正確性．【解析】解：∵，，且，∴，，解得，，故①正確；當點與點重合時，∵，，∴，故②錯誤；設點P表示的數是，當點與點重合時，點B表示的數是2，，，，∴，故③正確；設點B表示的數是，則點C表示的數是，∵M是OB的中點，∴點M表示的數是，∵N是AC的中點，∴點N表示的數是，則，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查數軸的性質，解題的關鍵是掌握數軸上兩點之間距離的求解，中點的表示方法．6．如圖，A、O、B兩點在數軸上對應的數分別為﹣20、0、40，C點在A、B之間，在A、B兩點處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發，M以2個單位/秒的速度向數軸負方向運動，N以4個單位/秒的速度向數軸正方向運動，碰到擋板后則反方向運動，速度大小不變．設兩個小球運動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點在數軸上對應的數為0；②當10＜t＜25時，N在數軸上對應的數可以表示為80﹣4t；③當25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④【答案】D【分析】設C點在數軸上對應的數為，根據題意可得，求得；根據題意分時間段討論兩小球的位置，分別求解即可．【解析】解：設C點在數軸上對應的數為，則，當M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板，則解得，即C點在數軸上對應的數為0，①正確；當時，N小球運動的距離為，剛好到達點，當時，N小球運動的距離為，剛好到達點，M小球運動的距離為當10＜t＜25時，N小球從點向點開始運動，此時，點表示數的為，②正確；當時，N小球運動的距離為，M小球運動的距離為當25＜t＜40時，N小球從點向點開始運動，M小球向點運動則，，，③錯誤；當時，，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，當時，，由題意得，，解得，此時三點重合，成立；當時，，由題意得，，解得，不符題意；當時，，由題意得，，解得，不符題意；④正確故選：D【點睛】此題考查了數軸的應用，涉及了數軸上兩點之間的距離以及數軸上的動點，解題的關鍵是理解題意，掌握題中的等量關系，分時間段進行討論求解即可．題型3：有理數的加減法有關的圖形問題7．“幻方”在中國古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”.其主要性質是在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行，一縱行及對角線的幾個數之和都相等.圖（l）所示是一個幻方.有人建議向火星發射如圖（2）所示的幻方圖案，如果火星上有智能生物，那么他們可以從這種“數學語言”了解到地球上也有智能生物（人）.圖（3）是一個未完成的幻方，請你類比圖（l）推算圖（3）中處所對應的數字是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設第1列第3行的數字為x,P處對應的數字為p,根據每一橫行、每一豎列以及斜對角線上的點數的和相等，可得x+1+（-2）=x+（-3）+p，可得P處數字．【解析】解：設第1列第3行的數字為x,P處對應的數字為p,根據題意得，x+（-2）+1=x+(-3)+p，解得p=2，故選：B．【點睛】本題通過九方格考查了有理數的加法．九方格題目趣味性較強，本題的關鍵是找準每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數字的和相等，據此列方程求解．8．如圖，在探究“幻方”、“幻圓”的活動課上，學生們感悟到我國傳統數學文化的魅力．一個小組嘗試將數字這12個數填入“六角幻星”圖中，使6條邊上四個數之和都相等．部分數字已填入圓圈中，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】共有個數，每一條邊上4個數的和都相等，共有六條邊，所以每個數都加了兩遍，這個數共加了兩遍后和為，所以每條邊的和為，然后利用這個原理將剩余的數填入圓圈中，即可得到結果．【解析】解：因為共有個數，每一條邊上個數的和都相等，共有六條邊，所以每個數都加了兩遍，這個數共加了兩遍后和為，所以每條邊的和為，所以這一行最后一個圓圈數字應填，則所在的橫著的一行最后一個圈為，這一行第二個圓圈數字應填，目前數字就剩下，這一行剩下的兩個圓圈數字和應為，則取中的，這一行剩下的兩個圓圈數字和應為，則取中的，這兩行交匯處是最下面那個圓圈，應填，所以這一行第三個圓圈數字應為，則所在的橫行，剩余3個圓圈里分別為，要使和為2，則為故選：【點睛】本題主要考查了幻方的應用，找到每一行的規律并正確進行填數是解題的關鍵．9．如圖，在6×6的網格內填入1至6的數字后，使每行、每列、每個小粗線宮中的數字不重復，則a+b的值是．【答案】6【分析】先確定a＝2，在根據條件將整個網格填完，即可確定b＝4．【解析】解：由已知可得，a、b、c是1、2、4中的數，∵b、c所在列有2，∴a＝2，如圖：b＝4，a+b＝6，故答案為6．【點睛】此題主要考查有理數的運算，解題的關鍵是根據題意找到等量關系列式求解.題型4：有理數的混合運算10．如果四個互不相同的正整數滿足，則的最大值為（）A．40 B．53 C．60 D．70【答案】B【分析】由題意確定出的值，代入原式計算即可求出值．【解析】∵四個互不相同的正整數，滿足，∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，則有：，，，，解得：，則．故選：B．【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．11．已知和是一對互為相反數，的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用絕對值非負性求出a、b的值，代入到所求的代數式中再運用進行簡便運算．【解析】∵和是一對互為相反數∴+=0∴a=1，b=2∴=====故選：C．【點睛】此題考查絕對值的非負性和有理數的簡便運算．其關鍵是要發現并運用對，，等進行裂項，并兩倆抵消．12．計算：．【答案】【分析】設，先把兩個多項式拆分，然后利用乘法分配律進行計算，然后計算加減法，即可得到答案.【解析】解：設，則，∴原式====.故答案為：.【點睛】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則進行解題，注意使用換元法，以及乘法分配律進行解題是關鍵.題型5：程序框圖13．定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為；②當n為偶數時，結果為（其中k是使為奇數的正整數），并且運算可以重復進行，例如，取時，運算過程如圖．若，則第2024次“F運算”的結果是．【答案】4【分析】本題考查了整數的奇、偶性的新定義問題，通過若干次得出循環是解題關鍵．按新定義運算法則，分別計算第一次到第九次運算結果可得出循環規律即可求解．【解析】由題意可知，當時，歷次運算的結果是∶故規律為：即從第七次開始1和4出現循環，偶數次為4，奇數次為1，∴當時，第2024次“運算”的結果是4．故答案為：4．14．時任意正整數n，若n為偶數則除以2，若n為奇數則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個新的自然數，在1937年LotharCollatz提出了一個問題：如此反復這種變換，是否對于所有的正整數，最終都能變換到1呢?這就是數學中著名的“考拉茲猜想”．如果某個正整數通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時所經過的變換次數稱為它的路徑長，例如5經過5次變成1，則路徑長．若輸入數n，變換次數m，當時，n的所有可能值有個，其中最小值為．【答案】46【分析】采取倒推的方法，將可能的運算路線都找到即可．【解析】結合運算程序，先盡量找到具有下列特點的數：，，，，，，，，，，，由輸出結果是1，倒推得到：1→2→4→8→16→5→10→20→40，1→2→4→8→16→5→10→3→6，1→2→4→8→16→32→64→128→256，1→2→4→8→16→32→64→21→42，∴則x的可能值有4個，最小值為6，故答案為：4，6．【點睛】本題考查數字的變化規律，通過觀察所給的運算，倒推出運算過程是解題的關鍵．15．下面給出兩個數值運算程序，按要求完成下列各題：（1）根據表格，按程序計算，完成填空：（2）運算步驟①為_____；隨著x的值增大，程序_____的輸出值先超過500．【答案】（1）表格填空：50，11，20；（2）+2，二．【解析】試題分析：（1）設程序一的輸出中的“？”為，根據表格中的數據列出方程即可求得的值，這樣就可得到程序一的輸出式子，結合表格中的已知數據即可求出表格中未知的數據；（2）①由（1）中求得“？”的值，可知程序一中的運算步驟①為“+2”，由此可知程序一的輸出為：；②由解得，再計算出當時，程序二的輸出值并和500比較大小即可得到第2小問的答案.試題解析：（1）①設程序一的輸出中的“？”為，則程序一的輸出表達式為：，由表格中的數據可知，當時，，解得，由此可得當時，程序一的輸出為：；②由題意可知：程序二中的輸出表達式為：，當時，輸出，反之則返回到輸入端重新開始，∴當時，程序二的最終輸出為：11；當是，程序二的最終輸出為：20；綜上所述，表格中所缺少的三個數據從左至右依次是50，11，20；（2）①由（1）可知程序一輸出中的“？”所代表的數是“2”，∴程序一中的運算步驟①中的運算是“”；②由解得：；∵當時，程序二的輸出為：，∴隨著的增大，程序二的輸出值先超過500.題型6：新定義的有理數運算16．定義：如果，那么x叫做以a為底N的對數，記作．例如：因為，所以；因為，所以．則下列說法正確的個數為（

）①；②；③若，則；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據對數的定義和乘方意義解題即可．【解析】解：①∵，∴，故說法①正確，符合題意；②設，，則，，∴，即，∴，∴，即，故②正確，符合題意；③設，則，，∴，∴，∴，解得，故③說法正確，符合題意；④設，，則，，∴,∴故說法④正確，符合題意；∴正確的說法有個，故選：A．【點睛】本題以新定義題型為背景，主要考查了學生的數的乘方的計算能力，在解答新定義題型的時候，首先一定要把定義理解透徹，然后靈活應用定義變化，一一判斷給出的說法是否正確．17．對于正數，規定，例如，則的結果是（）A． B．4 C． D．4【答案】A【分析】計算出的值，總結出其規律，再求所求的式子的值即可．【解析】解：，，，，．故選：A．【點睛】本題考查數字的變化類、有理數的混合運算，代數式求值，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規定解答．18．用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數a和b，規定a☆b=．例如：(-3)☆2=

=2．從﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任選兩個有理數做a，b(a≠b)的值，并計算a☆b，那么所有運算結果中的最大值是．【答案】8【解析】解：當a＞b時，a☆b==a，a最大為8；當a＜b時，a☆b==b，b最大為8，故答案為8．點睛：此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．19．讀一讀：式子“”表示從1開始的100個連續自然數的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為，這里“”是求和符號．通過對以上材料的閱讀，計算的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據求和公式寫出分數的和的形式，根據分數的性質計算即可．【解析】故選：B【點睛】本題考查的是數字的變化類問題，根據題意寫出分數的和的形式、并正確進行分解是解題的關鍵．題型7：有理數運算的應用20．一種細胞，每3分鐘分裂一次(一分為二)，若把一個這樣的細胞放入容器內，恰好一小時充滿容器，如果開始時，把兩個細胞放入該容器內，則細胞充滿容器的時間為(

)A．27分鐘 B．30分鐘 C．45分鐘 D．57分鐘【答案】D【分析】先計算出裝滿一個容器的細胞220個，設將兩個這種細胞放入同樣的容器中經過x次分裂至滿容器，則2×2x=220，求出x，而一次分裂需3分鐘，從而求出細胞充滿容器的時間．【解析】解：設把2個這樣的細胞放入該容器內，細胞充滿容器分裂的次數為x．每3分鐘分裂一次（一個分裂為2個）．把一個這種細胞放入一個容器內，恰好一小時充滿容器則需分裂20次，∴2×2x=220，∴2x+1=220，∴x+1=20，∴x=19，而一次分裂需3分鐘，則細胞充滿容器的時間為3×19=57故選D．【點睛】本題主要考查了乘方的應用，解題的關鍵是弄清分裂的次數與細胞個數的關系，屬于中檔題．21．某大學畢業生為自主創業于2021年8月初向銀行貸款360000元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款，從2021年9月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為，現因經營狀況良好，準備向銀行申請提前還款，計劃于2026年8月初將剩余貸款全部一次還清，則該大學畢業生按現計劃的所有還款數額比按原約定所有還款數額少（

）（注：“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期所還款金額由兩部分組成．一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數；另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．1年按12個月計算）A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元【答案】C【分析】截止2026年8月，兩種還款方式最終所還本金相同，且兩種還款方式所還利息也相同．所以按現計劃的所有還款數額比按原約定所有還款數額少的部分為：按原計劃還款時，自2026年9月起至原計劃結束時所還的利息，即共計60個月的利息．根據“等額本金還款法”，算出2026年9月起每個月的利息，然后進行求和就可得后60個月的總利息，從而得出答案．【解析】∵每月應還本金為，2026年8月還完后本金還剩，2026年9月應還利息為：；2026年10月應還利息為：；2026年11月應還利息為：；……，最后一次應還利息為：；∴后60個月的利息合計為：．即該大學畢業生按現計劃的所有還款數額比按原約定所有還款數額少27450元．故選：C．【點睛】本題考查了題意理解能力、計算能力和實際問題解決能力，能理解題意并準確地進行有理數運算是做出本題的關鍵．22．某單位承擔了一項施工任務，完成該任務共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；②完成工序A后方可進行工序B，工序C可與工序A，B同時進行；③完成工序D后方可進行工序E，工序F可與工序D，E同時進行；④完成各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/天11152817163125（1）在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少天完成；（2）現因情況有變，需將工期縮短到80天，工序A，C，D每縮短1天需增加的投入分別為5萬元，4萬元，6萬元，其余工序所需時間不可縮短，則所增加的投入最少是萬元．【答案】8638【分析】本題主要考查了邏輯推理，有理數混合運算的應用，解題的關鍵是理解題意，列出算式準確計算．（1）在完成C的同時完成A、B，然后完成D，E的同時完成F，最后完成G，列式計算即可；（2）根據題意可以縮短A工序2天，縮短C工序4天，縮短D工序2天，然后列出算式進行計算即可．【解析】解：（1）在完成C的同時完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同時完成F最少需要天，完成G需要25天，∴在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少需要：（天）；故答案為：86；（2）（天），∴至少需要將整個任務縮短6天，∵B，E，F，G不可縮短，∴工序最多可以縮短天，∵天，∴只縮短工序2天，A工序可以不縮短，然后工序每縮短1天，C工序就要縮短1天，∴當縮短A工序2天，縮短C工序4天，縮短D工序2天，正好可以將工期縮短到80天，此時增加的投入最少，且最少為：（萬元），故答案為：38．23．共享單車已經成為許多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要騎共享單車在單位宿舍與辦公室之間進行兩個往返，每個單程用時10分鐘；周末和節假日回家（連續假日時，只需往返一次），從宿舍到家單程騎行要50分鐘．有，，，四家共享單車公司，其收費規則如下表所示，其中，使用半小時為一次；使用不足半小時，按一次計費．如果不考慮押金和服務等因素，僅從用車付費的角度，且只使用一個公司的單車，則李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期間，用（

）公司的共享單車最劃算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）．公司計費付費優惠1元/次沒有1.5元/次周末和節假日騎行免費1.5元/次每月可以抽到一張獎券，用此券免費不計次連續騎行一周1.5元/次每騎行付費一次，下次騎行免費A． B． C． D．【答案】D【分析】計算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日與假期的天數，獲得騎行的次數與時間，然后計算不同方案所需總費用，進行比較即可．【解析】解：這段時間有20周，19個周末（含假清明、五一，端午），不足半小時的次數有個，還有個50分鐘（回家、返公司）的單程．∴若用公司的車，約需付費：（元）；若用公司的車，約需付費：（元）；若用公司的車，大體認為在4.5個月的周期里，可以免單4.5周，計費的工作日不超過天，周末加法定假日不超過15個，大約需付費不超過：（元）；若用公司的車，約需付費：（元）．綜上所述，選用公司的車最省錢，也就是最劃算．故選D．【點睛】本題考查了有理數混合運算的應用．解題的關鍵與難點在于理解題意．題型8：有理數乘方的規律題24．為了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，則2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理計算出1+5+52+53+…+52009的值是（

）A．52010+1 B．52010﹣1 C． D．【答案】C【解析】令S=1+5+52+53+…+52009，則5S=5+52+53+…+52010，5S-S=52010-1，則S=；故選C．25．觀察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…

解答下列問題：3+32+33+34…+32015的末位數字是（

）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】D【解析】已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，觀察可得尾數，每4個一循環，所以2015÷4=503…3，即可得3+32+33+34…+32015的末位數字相當于3+7+9+1+…+3+9+7=（3+9+7+1）×503+3+9+7=9，故選D.點睛：本題主要考查了數字變化規律，根據已知條件得出末位數字變化規律是解題關鍵．26．我們常用的數是十進制數，計算機程序使用的是二進制數（只有數碼0和1），是逢2進1的計數制，它們兩者之間可以互相換算，如將(101)2,(1011)2換算成十進制數應為：,按此方式，則(101)2+(1111)2=(

)A．(10000)2 B．(101