專題02平方根重難點題型專訓（9大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個數(shù)的平方根題型七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應用【知識梳理】知識點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).特別說明：當式子有意義時，一定表示一個非負數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.知識點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．特別說明：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識點三、平方根的性質(zhì)知識點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【經(jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】【例1】（2023上·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（）A．0.2是的算術(shù)平方根 B．是25的平方根C．的算術(shù)平方根是9 D．16的平方根是4【變式訓練】1．（2022下·江西南昌·七年級江西師范大學附屬外國語學校校考期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，則關(guān)于的方程的解是（

）．A． B． C．或 D．或2．（2023春·河北邢臺·七年級校考期中）若2023的兩個平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．40463．（2022秋·浙江·七年級期中）若x是最大的負整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．4．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學習過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們在華東師大版八年級上冊，學習了平方根的意義和兩個乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學習片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個公式還可得出：______，______．進一步綜合變形推導可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為______．步驟三：遷移運用，提升能力若，，請運用“步驟二”中推導出的變形公式，求，，的值．【經(jīng)典例題二求一個數(shù)的算術(shù)平方根】【例2】（2023下·七年級課時練習）下列說法正確的是（

）A．4的平方根是2 B．25的算術(shù)平方根是5C．的平方根是±9 D．－36的算術(shù)平方根是6【變式訓練】1．（2023上·吉林·八年級吉林省第二實驗學校校考階段練習）按如圖所示程序框圖計算，若輸入的值為，則輸出結(jié)果為（

）A． B． C．3 D．2．（2023春·湖南湘西·七年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（

）A．的平方根是2 B．的算術(shù)平方根是2C．1的平方根是1 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是03．（2023春·山西呂梁·七年級校考期中）若與的和是單項式，則的算術(shù)平方根是．4．（2023春·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中為有理數(shù)．為無理數(shù)，那么，運用上述知識解決下列問題：(1)如果，其中為有理數(shù)，求和的值；(2)如果，其中為有理數(shù)，求的立方根；(3)若均為有理數(shù)，且，求的算術(shù)平方根．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負性解題】【例3】（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）若a，b為實數(shù)，且，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【變式訓練】1．（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）已知非零實數(shù)a，b，滿足，則等于(

)A．﹣1 B．9 C．1 D．22．（2022春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期中）若，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·八年級課時練習）若，則分式的值為．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】【例4】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【變式訓練】8．（2022下·廣東珠海·七年級統(tǒng)考期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．463．（2023春·四川涼山·七年級校考階段練習）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．4．（2023春·全國·七年級專題練習）的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則.【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】【例5】（2022下·貴州遵義·七年級統(tǒng)考期末）如下表，被開方數(shù)a和它的算術(shù)平方根的小數(shù)點位置移動符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，【變式訓練】1．（2023上·北京門頭溝·八年級大峪中學校考期中）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．1042．（2023春·全國·七年級專題練習）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．1043．（2023春·北京豐臺·七年級北京豐臺二中校考期中）數(shù)學解密：若第一個式子是，第二個式子是，第三個式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個式子是．【經(jīng)典例題六求一個數(shù)的平方根】【例6】1（2023上·山東濟寧·七年級濟寧市第十五中學校考階段練習）若滿足，則的平方根是（

）A． B． C．3 D．【變式訓練】1．（2023上·四川達州·八年級校考期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤2．（2023春·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）若則的值為（）A． B． C． D．3．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級校考階段練習）已知，則的平方根是．【經(jīng)典例題七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)】【例7】（2023下·山東菏澤·八年級校考階段練習）已知和是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（

）A．3 B．64 C．3或 D．64或【變式訓練】1．（2022下·福建福州·七年級福建省福州第十六中學校考期中）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為；x的平方根為，y的立方根為86.9，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·廣東肇慶·七年級統(tǒng)考期中）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則這個正數(shù)是．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知一個正數(shù)m的兩個不相等的平方根是與．(1)求這個正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．【經(jīng)典例題八利用平方根解方程】【例8】（2022下·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）已知表示取三個數(shù)中最小的那個數(shù)，例加：，當時，則x的值為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023下·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）問題：在一塊面積為的正方形紙片上，沿著邊的方向裁出一塊面積為，且長寬之比為：的長方形紙片不拼接，能裁出嗎？對于上述問題的解決，嘉嘉和琪琪進行如下對話：嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出①琪琪：別著急，一定能在一塊大紙片上裁出一塊面積小的紙片②嘉嘉：你是如何計算裁出的長寬分別是多少呢？說說思路．琪琪：設(shè)長是，寬是，則：，，，，舍去長是，寬是③嘉嘉：可是不符合實際情況啊正方形紙片的面積為，則邊長為，即邊長為．，，，又不能拼接，所以裁不出④對于嘉嘉和琪琪的對話，你認為下面哪個選項是正確的()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④2．（2023春·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或33．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）設(shè)示是一個兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（），例如，當時，表示的兩位數(shù)是45．觀察以下等式：①當時，；②當時，；③當時，；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題(1)寫出第六個等式：______(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并證明：(3)運用：若與的差為2525．求的值．【經(jīng)典例題九平方根的應用】【例9】17．（2023下·湖北省直轄縣級單位·八年級校考階段練習）若正方形的面積與長為4，寬為3的長方形面積相等，則該正方形的邊長為（

）A．6 B． C．4 D．【變式訓練】1．（2023下·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）電流通過導線時會產(chǎn)生熱量，滿足，其中Q為產(chǎn)生的熱量（單位：J），I為電流（單位：A），R為導線電阻（單位：Ω），t為通電時間（單位：s）．若導線電阻為，時間導線產(chǎn)生的熱量，則通過的電流I為（

）A．2.4A B． C．4.8A D．2．（2023春·全國·七年級專題練習）交通事故統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每年的汽車追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車距離把握不當，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車距離s與車速v的關(guān)系式是s＝（其中），當剎車距離增加一倍時，車速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍3．（2023春·浙江·七年級期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．【拓展培優(yōu)】1．（2023上·河南駐馬店·八年級校考階段練習）如圖、每個小正方形的邊長為1，可以得到每個小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長是（

）A．2 B．3 C． D．42．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知，則的平方根是（

）A． B． C． D．3．（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）若，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）已知，，且，則的值為（

）A．或 B．或5 C．或1 D．1或55．（2023下·湖北恩施·七年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學校考階段練習）已知實數(shù)滿足，且,則的值為．7．（2023上·江西九江·八年級統(tǒng)考階段練習）最強大腦的幻圓項目充分體現(xiàn)了數(shù)學的魅力，如圖，這是一個二階幻圓的模型，規(guī)則：①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和相等，則的平方根是．8．（2023上·北京石景山·八年級校考期中）小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.下面有四個推斷：①②一定有個整數(shù)的算術(shù)平方根在之間③對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號是.9．（2023上·浙江溫州·七年級校考期中）中國古代有一種求算數(shù)平方根的方法，稱為開方術(shù)，該方法的原理是利用二項式定理，對根式逐位估值．假設(shè)N為被開方數(shù)，a為首根，b為次根，若將根記為，則．以為例：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點為基準，每兩位分一節(jié)得7，89，61；（2）估首根a：考慮被開方數(shù)的首節(jié)7，由于，故首根為2，由于，故繼續(xù)開方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)389，考慮，嘗試估出次根；（4）重復如上操作．則的算術(shù)平方根為．10．（2023上·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，一個邊長為6的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個直角三角形分別沿著正方形四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．（1）若陰影小正方形的邊長為1，則圖2中大正方形的面積為．（2）若圖2中大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長為．11．（2023上·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學校考周測）(1)計算：．(2)求的值：．12．（2023上·浙江衢州·七年級校聯(lián)考期中）設(shè)x，y都表示有理數(shù)，定義一