2025北京四中初二（下）統練一數學一、選擇題1.斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．下列斐波那契螺旋線圖案中屬于軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.在電子顯微鏡下測得一個圓球體細胞的直徑是，用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.4.下列各式從左到右的變形，一定正確的是（）A. B. C. D.5.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A. B.C. D.6.徐老師到單位附近的加油站加油，如圖是所用的加油機加油過程中某一時刻的數據顯示，則其中的常量是（）A.金額 B.數量 C.金額和單價 D.單價7.如圖，在和中，B，E，C，F在同一條直線上．下面給出5個論斷：①，②，③，④，⑤．選其中3個作為條件，不能判定的是（）A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①②④8.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，且隨的增大而增大，則點的坐標可以是（）A. B. C. D.9.張老師出門散步時離家的距離與時間之間的關系圖象如圖所示，若用黑點表示張老師家的位置，則張老師散步行走的路線可能是（）A. B. C. D.10.如圖，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，，則的度數為（）A. B. C. D.二、填空題11.若分式有意義，則a的取值范圍是____________．12.計算：_______．13.如圖，在中，，是的垂直平分線，，，則_______．14.若直線經過第一二四象限，則直線經過第_______象限．15.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點，則_______，_______．16.已知關于的分式方程的解是正數，則的取值范圍是_______．17.小華從家出發沿筆直馬路勻速步行去圖書館聽講座，幾分鐘后，爸爸發現小華忘帶圖書館的出入卡，于是從家出發沿相同路線勻速跑步去追小華，爸爸追上小華后以原速度沿原路回家．小華拿到出入卡后以原速度的倍快步趕往圖書館，并在從家出發時到達圖書館（小華被爸爸追上時交流的時間忽略不計）．在整個過程中，小華與爸爸之間的距離y與小華離家的時間x的對應關系如圖所示．（1）小華從家出發____________時，爸追上小華；（2）圖書館離小華家____________．18.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點點Q在x軸的負半軸上分別以為腰，點C為直角頂點在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點，則的值為_______．三、解答題19.計算：（1）；（2）．20.因式分解：（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）21.（1）先化簡，再從中選擇合適的值代入求值．（2）解分式方程：．22.如圖所示，人教版八年級上冊數學教材/53數學活動中有這樣一段描述：如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．（1）試猜想箏形的對角線與有什么位置關系？并用全等三角形的知識證明你的猜想；（2）過點D作交于點E，若，，求的長．23.已知一次函數的圖象經過兩點．（1）畫出該一次函數的圖象，并求這個一次函數的表達式；（2）若y軸上存在點P，使得的面積是3，求點P的坐標．24.周末小天踏上了探索北京中軸線的旅程．上午他從正陽門-箭樓出發，騎行到達景山公園南門，在景山公園游覽了后，又從景山公園北門步行到鼓樓參觀打卡．如果小天騎行的平均速度是步行的平均速度的3倍，騎行比步行少用．請你判斷他能否在當日上午前到達鼓樓，并說明理由．25.八年級上學期我們學習了角平分線性質及其判定定理，課本的例同時運用了角平分線性質及其判定定理完成了該幾何問題的證明．例．已知：如圖，，分別是，的平分線，，，垂足分別為點，．求證：點在的平分線上．證明：過點作，垂足為點．，分別是，的平分線（已知）．，（已知），（所作），，（_______）（等量代換）．點在的平分線上（_______）【研究原圖形】（1）補全例的證明過程；（2）在例的圖中，分別連接，，．小婷發現和的內角之間存在一定的數量關系，若則_______．（用含的代數式表示）【解決新問題】為了方便研究，小婷同學把滿足例1條件的叫做的“內三角形”，點叫做“共心”．（3）已知是的“內三角形”，點是“共心”，點，，分別在邊，，上，且．先畫出符合條件的示意圖，再過點作于點，求證：點在直線上．26.我們約定：關于x的代數式A，B，若不論x為何值，都有（m為常數），則稱代數式A，B互為“差值代數式”，m為“差值”例如：，因為，所以A，B互為“差值代數式”，“差值”為2．根據該約定，解答下列問題．（1）判斷下列各式是否互為“差值代數式”．若是，則在括號中的劃“√”，若不是，則劃“×”．①與（）②與（）③與（）（2）已知關于x的整式，若M，N互為“差值代數式”，且“差值”為4，求a的值；（3）已知關于x的整式，若S，T互為“差值代數式”，且滿足．①求b，c，d的值；②求代數式的最小值．27.如圖，在等邊中，D為上一點，連接，E為線段上一點（），將線段繞點C順時針旋轉得到線段，連接．（1）求證：；（2）點G為延長線上一點，連接交于點M．若M為的中點，用等式表示線段之間的數量關系，并證明.選做題28.如圖，在平面直角坐標系中有、兩點，請在軸上找一點，將沿翻折，使點的對應點恰好落在軸上．利用無刻度的直尺和圓規在圖中找出所有符合條件的點．（不寫作法，保留作圖痕跡）29.在平面直角坐標系中，對于點和線段給出如下定義：若點滿足最小，且，則稱點為線段的美好點．（1）若點的坐標是，點的坐標是，線段的美好點的坐標是_____．（2）若點為軸上一動點，點為軸上一動點，①在圖1中畫出線段的所有美好點；②當點的坐標為，點在軸正半軸時，的值為_____．（3）如圖2，點和點的坐標分別是，，點為線段上的動點，點的坐標是，以點為中心，各邊分別與坐標軸平行且邊長為的正方形上存在線段的美好點，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】A二、填空題11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】一、三、四15.【答案】①.3②.16.【答案】且17.【答案】①.10②.176018.【答案】10三、解答題19.(1)．(2)解：．20.解：(1)原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2(2)原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．21.解：（1）原式，要使原式有意義，則且，∴且，∴，原式．（2）兩邊同時乘以得：，整理得：，解得：，檢驗：當時,，∴是原方程的根．22.(1)解：，證明：在和中，，，，，，．(2)，，，，，，，∴∴．23.(1)解：如圖，在圖中描出點，連接即可得出函數圖象，設一次函數解析式為：，，解得：，一次函數解析式為：；(2)設，，，或，或．24.解：能，理由如下：設小天的步行平均速度，則騎行的平均速度為，則有，解得：，經檢驗：是所列方程的根，且符合實際意義；小天的步行平均速度，則騎行的平均速度為，總共所需時間為：（），到達鐘鼓樓的時間為，故能在當日上午前到達鼓樓．25.（1）證明：過點作，垂足為點．，分別是，的平分線（已知）．，（已知），（所作），，（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）（等量代換）．點在的平分線上（在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）；故答案為：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上（2）如圖，連接、，，延長交于點，，，，，，，，，，，，即，，故答案為：（3）示意圖如下，，，，由(2)可知，，，，可得點在的垂直平分線上，，，，，，，可知是的垂直平分線，點在直線上；26.解：(1)∵，∴①與互為“差值代數式”，∵，∴②與不互為“差值代數式”，∵，∴③與互為“差值代數式”，故答案為：①√②×③√；(2)由題可知，∴或，∴或，綜上所述或；(3)①，，，，，互為“差整值代數式”，，②，，，的最小值為．27.(1)證明：∵為等邊三角形，∴；∵線段繞點C順時針旋轉得到線段，∴，∴，∴，∴，∴；(2)解：；證明如下：如圖，過點A作，交的延長線于點H；∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；∵M為的中點，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．選做題28.解：以為圓心，為半徑畫圓交軸于，，作，的平分線交軸于，，點，即為所求；29.(1)解：點滿足最小，且，∴，即是等腰直角三角形，且是斜邊；∵，，且，如圖所示，線段的美好點的坐標是或，故答案為：或；(2)①如圖所示，直線即為所求理由如下，如圖所示，設，過點作軸，過點作于點，∵，，則是的美好點；又，∴，∴，∴，∵，∴,∴∴∴即點在第二象限的平分線上，如圖所示，當在的另一側時，同理可得，∴∵，∴∴∴∴，即點在第一象限的平分線上，如圖所示，同理可得在第三、四象限的平分線上，綜上所述，線段的所有美好點組成的圖形為象限平分線；②如圖所示，由①可得，∴∴∴，∴∴又∵點的坐標為，∴∴故答案為