教學目標：本章的目標是介紹集合、實數和極限。要求了解集合、實數與極限在微積分中的作用。了解我國數學家祖沖之在我國古代數學中所作出的杰出貢獻。教學重點：集合、實數與極限在微積分中的作用、鄰域的概念。教學難點：極限概念及其在微積分中的作用、鄰域的概念。教學時數：6學時。第一章微積分的基礎問題

——集合、實數、極限第一章微積分的基礎問題教學內容：

§1極限、實數與集合在微積分中的作用

§2實數系的建立及鄰域的概念

§3變量無限變化的數學模型——極限

數學家啟示錄

（一）數學之神——阿基米德（二）我國古代偉大數學家——祖沖之第一章微積分的基礎問題§1極限、實數與集合在微積分中的作用

微積分

極限理論

實數理論

自然數

集合論

從左到右，左邊的理論為右邊理論的基礎。第一章微積分的基礎問題§2實數系的建立及鄰域的概念

§2.1實數系的演變及性質

自然數集

實數集

有理數集

整數集（1）（2）（3）（1）是為了使在自然數范圍內減法運算也封閉。（2）是為了使在整數范圍內除法運算也封閉。（3）數軸上除了有理點之外的成為無理數，合稱為實數。

有理數集稠密，但不連續；實數集則連續。第一章微積分的基礎問題

§2.2刻畫極限的鄰域概念與點的距離小于的全體實數的集合稱為點的鄰域。記作：，稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。這一鄰域可用集合符號表示為。

如果點的鄰域不包括點，則稱為點的去心鄰域。第一章微積分的基礎問題

例題：用鄰域符號和區間符號分別表示不等式所確定的的范圍。解：第一章微積分的基礎問題§3變量無限變化的數學模型——極限

3.1數列極限（概念）以正整數為自變量的函數，當n依次取，稱為無窮數列，簡稱數列。數列中的各個數稱為數列的項，稱為數列的通項。數列常簡記為。

第一章微積分的基礎問題1.數列極限的定性描述

定義1：如果n無限增大時，數列的同項無限趨近于常數a，則稱該數列以a為極限，記作其中表示n無限增大，此時也稱為該數列收斂；如果時，不以任何常數為極限，則稱數列發散。第一章微積分的基礎問題

無窮小量：以零為極限的變量稱為無窮小量。

絕對值無限變大的變量稱為無窮大量。

常數列的極限仍是該常數。第一章微積分的基礎問題2.數列極限的定量描述

定義2：如果對于任意正數（無論它有多小），總存在相應的正整數N，使得滿足n>N的一切n，能使不等式恒成立，則稱數列以a為極限，記作：

第一章微積分的基礎問題例證明：證明：設為任意小的正數，由（不妨設）求N：取由前面的推導過程可知，則當n>N時，就有第一章微積分的基礎問題3.數列極限中蘊含的辨證思想

極限的取得是變化過程與變化結果的對立統一。

極限是有限與無限的對立統一。

極限的取得體現了近似與精確的對立統一。

第一章微積分的基礎問題3.2函數極限1.自變量無限趨進于有限數的情形定義1：設函數在點的近旁有定義（在點處可以無定義）。如果對于任意正數（不管它有多小），總存在相應的正數，使得滿足的一切能使恒成立，則稱函數當時以A極限，記作：，該定義又稱為“

”定義。

第一章微積分的基礎問題例：證明：

。

證明：對任意給定的

，要使

成立，只需取

，顯然當

時，

恒成立，所以原式成立。2.左極限和右極限（不作為講解內容）第一章微積分的基礎問題3.自變量的絕對值無限增大時的情形第一章微積分的基礎問題4.函數極限的性質第一章微積分的基礎問題第一章微積分的基礎問題第一章微積分的基礎問題3.3無窮小量1.無窮小量的概念（前面已介紹過）定理：函數f（x）在某個極限過程中以常數A為極限的充分必要條件是，函數f（x）能表示為常量A與無窮小量之和的形式，f（x）=A+。第一章微積分的基礎問題2.無窮小量的性質有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量。有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量與無窮小量的乘積仍是無窮小量。常量與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量（0除外）的倒數是無窮大量。無窮大量的倒數是無窮小量。第一章微積分的基礎問題3.無窮小量階的比較如果在某個極限過程中兩個無窮小量α與β之比的極限是非零常數，表明這兩個無窮小量趨近于0的速度處于同一個級別，則稱α與β是同階無窮小；特別地，當這個常數等于1時，則稱α與β是等價無窮小；如果這個常數是0，則α是較β高階的無窮小；如果比值趨于無窮，則α是較β低階的無窮小。

第一章微積分的基礎問題3.4極限的四則運算定理：有限個變量代數和的極限等于極限的代數和；定理：有限個變量之積的極限等于極限之積。推論：常數可以提到極限符號外。推論：正整指數冪的極限等于極限的冪。定理：當分母的極限不等于0時，兩個變量之商的極限定語極限之商。第一章微積分的基礎問題第一章微積分的基礎問題第一章微積分的基礎問題數學家啟示錄

數學之神——阿基米德阿基米德是古希臘大數學家、大物理學家，公元前287年生于西西里島的敘拉古，公元前212年被羅馬入侵者殺害。（1）阿基米德的主要成就是在純幾何方面；（2）阿基米德是一位運用科學知識抗擊敵人入侵的愛國主義者。第一章微積分的基礎問題

我國古代偉大數學家——祖沖之祖沖之（429—500），我國南北朝時期的偉大科學家、數學家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學。（1）在天文、歷法方面，祖沖之制定了“大明歷”；（2）在數學方面，祖沖之求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間。（3）在生產應用方面，祖沖之改造了指南車，制作了水推磨等。（4）祖沖之興趣廣泛，在哲學、音樂等方面均有很深的造詣。

第一章微積分的基礎問題

我國古代偉大數學家——祖沖之祖沖之（429—500），我國南北朝時期的偉大科學家、數學家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學。（