第12講圓錐曲線（10類核心考點(diǎn)精講精練）

IV考情探究,

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位

2024年秋考7、20題

置關(guān)系

2024年春考8、20題

雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，直線與圓錐曲線綜合問題

與曲線方程有關(guān)的新定義，拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線綜合應(yīng)

2023秋考16、20題

用

2023春考20題

離心率的求法、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的綜合

雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓方程的求解、橢圓中最值與范

2022秋考2、20題圍等問題

2022春考11、20題雙曲線的性質(zhì)，直線與橢圓綜合、涉及橢圓方程求解、直線交點(diǎn)求解、基

本不等式的應(yīng)用

直線斜率的定義與計(jì)算、拋物線的定義等知識，平面向量與圓錐曲線綜合

2021年秋考11、20題

題、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用

2021年春考11、19題

橢圓的定義和性質(zhì)，雙曲線的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

2020年秋考10、20題橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線與圓的定義和方程、直線與圓的方程、雙

2020年春考15、20題曲線的方程聯(lián)立

凱跡方程的求法與判斷，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的求法、拋物線、直線方程等知識

2.備考策略

1.橢圓定義的應(yīng)用技巧

（1）橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.

（2）通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面枳問題.

2.根據(jù)條件求概圓方程的主要方法

（1）定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點(diǎn)的軌跡滿足桶圓的定義.

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的巴〃.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求楠圓的方

程為）=]Q〃>O,〃>o,〃中〃）；與橢圓共焦點(diǎn)的橫圓方程可設(shè)為T---1￥1=15>6>0,

m>-b2）;與橢圓三十三=1（心6>0）有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為5+二=/）.或《+三=2（公》>0,A>0）.

a-b2a-b，a-b2

3.求械圓離心率或其范圍的方法

⑴直接求出4,C,利用離心率公式e=￡求解.

A2

⑵由a與人的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=1一;求解.

a-

(3)構(gòu)造凡。的方程.可以不求出a,c的具體值，而是得出。與c的關(guān)系，從而求得e.

4.與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是怖圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

5.求雙由線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法：由題目條件判斷出動點(diǎn)就跡是雙曲線，確定2a,2b或2c,從而求出a\b2.

(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為”：一'：=“2=0),與雙曲線￡

nrn-a-

2)22

J；=l(a>0,及>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為5-9=l(-a2<2<b2):與雙曲線:一匕=1具有相同漸近

b2a-+2b--).crb2

線的雙曲線方程可設(shè)為X=W。）.

6.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法.

(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.

7.解決國推曲線“中點(diǎn)弦”問題的思路

(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中

點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

(2)點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為力(xi,yi),Eg,y2),將這兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓維曲線的方

程，并對所得兩式作差，得到一個(gè)與戈48的中點(diǎn)和直線48的斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計(jì)算量.

8.圓錐由線中取值范圍問咫的五種常用解法

(I)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

9.圓錐由線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考點(diǎn)利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最

值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

1().求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路

(1)把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對任意

參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)

就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式j(luò)，一次=-x-xo),則直線必過定點(diǎn)(xo,次)；若得到了直

線方程的斜截式歹=6+〃?，則直線必過定點(diǎn)(0,m).

11.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.

12.存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能,夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

『在?考點(diǎn)梳理。

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)E,乃的距離的和等于賞童(大于尸產(chǎn)2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩

焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

注意：⑴當(dāng)動點(diǎn)M滿足IA/KI+IA/&尸常數(shù)＞|*B|時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡為橢圓：

⑵當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MP|十|MB尸常數(shù)=陰6|時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡為以產(chǎn)2為兩端點(diǎn)的線段；

(3)當(dāng)動點(diǎn)用滿足眼川+|八優(yōu)|=常數(shù)〈尸尸2|時(shí)，動點(diǎn)M的軌跡不存在.

2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

_JL

圖形

BSOMBTX

工+匕=1(〃20)：K=s>。)

標(biāo)準(zhǔn)方程

crb一

范圍-.WxWa此一bWiWJ一bWxWb目.一aWiWa

4(-a.O),片。。,0),41(0,一。)，-2(0，。)，

頂點(diǎn)

8(0,一力)，BXO,b\&(一氏0),BXb。)

軸長短軸長為2,長軸長為%

焦點(diǎn)Q(-c.O),同90)E((),—c),F2(0,C)

焦距

|F,F2|=2C

對稱性對稱軸：式軸和y軸,對稱中心：原點(diǎn)

C

離心率e=(0<e<\)

a

a,b,c的關(guān)系

3.雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)內(nèi)，b2的距離的差的維處值等于非零常數(shù)(±±儼小2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦廖一

注意：（1）若將“小于|乃出|"改為“等于?尸正2|”，其余條件不變，此時(shí)動點(diǎn)的軌跡是以a,B為端點(diǎn)的兩條射線（包

括端點(diǎn)）；若將其改為“大于IEBI"，其余條件不變，此時(shí)動點(diǎn)軌跡不存在.

（2）若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.

（3）若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時(shí)動點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.

4.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

5一]=1(4>0,b>0)H130,b>0]

標(biāo)準(zhǔn)方程

crZra-b~

圖形

隹占

/?*%，》、、尸1(—C0),尸2億0)“1(0,-C),B(0，c)

焦距IQBI=2c

范圍xW-a或y￡RyW—4或x￡R

對稱性對稱軸：坐標(biāo):1；對稱中心：MA

頂點(diǎn)力"一40),/KaO)4i（0,一。），力2（0,a）

性質(zhì)

實(shí)軸：線段4出，長：2a；虛軸：線段當(dāng)生，長：獨(dú),實(shí)半軸長：

軸

a,虛半軸長:b

y=±bx,a

漸近線尸土4

a

離心率+8)

a

a,b,c的關(guān)系c2=a2-^-b2(c>a>0,c>b>0)

5.拋物線的概念

把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)尸和一條定直線/（/不經(jīng)過點(diǎn)燈的距離相繪的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)尸叫內(nèi)拋物線的焦點(diǎn),

直線"U做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：定點(diǎn)廠不在定直線/上，否則動點(diǎn)"的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)尸垂直于直線/的一條直線.

6.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y=263*0)y2=—2px(p>0)x-=2p)\p>0)x2=—2p)\p>0)

TVa/

圖形一Wv

/—

范圍X20,y￡RxWO,y￡R代0,x￡RyWO,xeR

回

焦點(diǎn)R。）,-9

Pp

準(zhǔn)線方程X=x=y=-

-222

對稱軸X軸j，軸

頂點(diǎn)

離心率e=\

7.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去六或x），得到關(guān)于x（或歷的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交臺/加；

直線與留錐曲線相切臺/三0；直線與圓錐曲線相離臺/4）.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).

8.弦長公式

己知.4（X1，尸），“（X2,同，直線4〃的斜率為氏（&*（））,

則|44尸（XI—X2）2+5—/）2

=1+矽》一刈

=1+尸（X|+X2）I.23—4x1X2,

或1彳同=1+!川一刃

K~

1

1+S+_V2)2-4加2.

尸

知識講解

考點(diǎn)一.橢圓的幾何特征

4典例引領(lǐng)

I.（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知橢圓C的焦點(diǎn)片、8都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，△PF、F］的周長為6,且|尸片|,

|耳心|尸乃|成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2.（2024?普陀區(qū)校級模擬）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xQv中，四邊形48co滿足,CBLCD,

22

瓦i辰+2次友=0,若點(diǎn)孔C分別為橢圓￡±+々=13>0）的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)4在橢圓E上，點(diǎn)。不在橢

8b“

圓E上，則橢圓E的焦距為一.

中即時(shí)檢測

3.（2024?虹口區(qū)模擬）已知農(nóng)歷每月的第/+1天（0,」.29,zwN）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為

——=—+4=1*其中，?為常數(shù)，根據(jù)以上信息，卜列說法中止確的有（）

①農(nóng)歷每月第d（L430SwN?）天和第30-1天的月相外邊緣形狀相同;

②月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為2r；

③月相外邊緣的離心率第8天時(shí)取最大值；

④農(nóng)歷仞六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間（*』）內(nèi).

A.①③B.②④C.①@D.③④

4.（2024?徐匯區(qū)校級模擬）已知片，入分別為橢圓C：5+/

=15＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)，過6的直線與C交于尸，

。兩點(diǎn),若|產(chǎn)月|=2|尸鳥|=3|￡Q|,則。的離心率是

考點(diǎn)二.直線與橢圓的綜合

典例引領(lǐng)

5.（2024?徐匯區(qū)模擬）已知橢圓C：?+?=l,4、4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)、、5分別為左、右焦點(diǎn),

直線I交橢圓C于M、N兩點(diǎn)（/不過點(diǎn)4）.

（1）若。為橢圓c上（除4、4外）任意一點(diǎn)，求直線。4和。4的斜率之積；

（2）若NF\=2F\M，求直線/的方程；

O

（3）若直線時(shí)應(yīng)與直線N4的斜率分別是K、右，且左/=-],求證：直線/過定點(diǎn).

6.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「:￡+_/=]的左，右焦點(diǎn)分別為6，%

設(shè)P是第一象限內(nèi)「上的--點(diǎn)，PF、、0鳥的延長線分別交「于點(diǎn)9、Q2.

（1）求的周長；

（2）求面積的取值范圍；

（3）求，”口的最大值?

即時(shí)檢測

7.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「:與+9=1的左、右焦點(diǎn)分冊為《、工，設(shè)尸

是第一象限內(nèi)「上的一點(diǎn)，PF、、P用的延長線分別交「于點(diǎn)烏、Q2.

（1）求△尸片值的周長；

（2）求面積的取值范圍；

（3）設(shè)4、弓分別為△/￥；&、△尸工2的內(nèi)切圓半徑，求，?「G的最大值.

7

8.（2024?松江區(qū)二模）如圖，橢圓+的上、下焦點(diǎn)分別為片、F2,過上焦點(diǎn)片與y軸垂直的直線交橢

圓于M、N兩點(diǎn)，動點(diǎn)尸、。分別在直線MN與橢圓「上.

（1）求線段MN的長；

（2）若線段P0的中點(diǎn)在x軸上，求△&PQ的面積；

（3）是否存在以K。、尼尸為鄰邊的矩形80即，使得點(diǎn)E在橢圓「上？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)。的縱

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點(diǎn)三.橢圓與平面向量

典例引領(lǐng)

9.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)已知直線/與橢圓「，點(diǎn)片，鳥分別為橢圓「:1+_/=1的左右焦點(diǎn)，直線片M_L/,

F2N1：,垂足分別為點(diǎn)A/,N,那么“直線/與橢圓「相切”是“|年7|?|可|=1"的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

10.(2024?金山區(qū)二模)已知橢圓「：?+[=1的右焦點(diǎn)為/，直線/與橢圓「交于不同的兩點(diǎn)A/3，乂)、N*2,

%)?

(1)證明：點(diǎn)M到右焦點(diǎn)尸的距離為2-工；

2

(2)設(shè)點(diǎn)0(0,g),當(dāng)直線/的斜率為:，且亦與西+麗平行時(shí)，求直線/的方程；

(3)當(dāng)宣線/與x軸不垂直，且廠的周長為4時(shí)，試判斷宜線！與圓。:/+_/=3的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

即時(shí)檢測

2

11.（2024?黃浦區(qū)校級模擬）已知點(diǎn)耳、鳥分別為橢圓「:'+_/=1的左、右焦點(diǎn)，直線/：歹=履+，與橢圓「有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線F2NAJ,垂足分別為點(diǎn)M、N.（1）求證：/一2二十］;

（2）求證：麗?亭為定值，并求出該定值；

（3）求+必-而|的最大值.

12.（2024?虹口區(qū)二模）己知橢圓「:5+*=1（。>6>0）的焦距為26，點(diǎn)戶（（）/）在橢圓「上，動直線/與橢圓「相

交于不同的兩點(diǎn)力，B,且直線尸/,28的斜率之積為1.

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線為的法向量為萬=。,-2）,求直線/的方程；

（3）是否存在直線/，使得為直角三角形？若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

考點(diǎn)四.拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線

典例引領(lǐng)

13.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）將拋物線C:/=4x關(guān)于直線），=x對稱，得到拋物線。，則拋物線。的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線

的距離為一.

14.（2024?普陀區(qū)校級模擬）已知P為拋物線C:x2=2抄（p〉O）上一點(diǎn)，點(diǎn)尸到C的焦點(diǎn)的距離為16,到x軸的

距離為10,則P=—.

4即時(shí)檢測

15.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知.4是拋物線丁=2加（p>0）上的一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)

|力廣|=4時(shí)，AGFA=-y,則.

16.（2024?普陀區(qū)模擬）已知拋物線y2=4jlr的焦點(diǎn)/是雙曲線「的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/的法向量）=（1,-6）,

/與y軸以及「的左支分別相交力，8兩點(diǎn)，若即=2而,則雙曲線「的實(shí)釉長為.

考點(diǎn)五.直線與拋物線的綜合

典例引領(lǐng)

17.（2024?寶山區(qū)三模）已知拋物線「:V=4x,在「上有一點(diǎn)力位于第一象限，設(shè)4的縱坐標(biāo)為a（a>0）.

（1）若力到拋物線「準(zhǔn)線的距離為3,求a的值；

（2）當(dāng)a=4時(shí)，若x軸上存在一點(diǎn)8,使力8的中點(diǎn)在拋物線「上，求。到直線力8的距離；

（3）直線/:x=-3,尸是第一象限內(nèi)「上異于4的動點(diǎn)，P在直線/上的投影為點(diǎn)〃，直線4P與直線/的交點(diǎn)為

Q.若在2的位置變化過程中，|H0|>4恒成立，求a的取值范圍.

18.（2024?普陀區(qū)校級三模）已知拋物線：r：/=4x,焦點(diǎn)為尸，J（x0,必）（義工°）為「上的一個(gè)動點(diǎn)，/是「在

點(diǎn)4處的切線，點(diǎn)尸在/上且與點(diǎn)力不重合.直線產(chǎn)”與「交于4、C兩點(diǎn)，且/平分直線和直線/C的夾角.

（I）求/的方程（用與，%表示）；

（2）若從點(diǎn)尸發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)力反射，證明：反射光線平行于x軸；

(3)若點(diǎn)力坐標(biāo)為，』)，求點(diǎn)。坐標(biāo).

即時(shí)檢測

19.(2024?浦東新區(qū)校級模擬)已知效物線C:/=4x的焦點(diǎn)為“，過戶的直線/交。于4,8兩點(diǎn)，過戶與/垂

直的直線交C于。，E兩點(diǎn)，其中8,。在x軸上方，M,N分別為,。石的中點(diǎn).

(1)若|力例=6,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);

(2)記明：直線MN過定點(diǎn);

(3)設(shè)G為直線4E與直線8。的交點(diǎn)，求AGMV面積的最小值.

20.(2024?徐匯區(qū)校級模擬)已知點(diǎn)耳，瑪分別為雙曲線「：三-產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)，直線/：歹=匕+1與「有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)4，B.

(1)當(dāng)6e/時(shí),求用到/的距離;

(2)若。為原點(diǎn)，直線/與「的兩條漸近線在一、二象限的交點(diǎn)分別為C,D,證明：當(dāng)ACO。的面積最小時(shí)，

直線C。平行于x軸；

(3)設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)”(〃>0),使得AP/A是以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求

出女的值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

考點(diǎn)六.雙曲線的幾何特征

務(wù)典例或領(lǐng)

v2V2

21.（2D24?青浦區(qū)校級模擬）己知片（_0,0）,E（c,O）為雙曲線C:,：,=1（。>0/>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，夕為C虛軸

Q-b-

的一個(gè)瑞點(diǎn)，"PF[=120°,則C的漸近線方程為.

22

22.（2。24?浦東新區(qū)校級模擬）已知雙曲線七:5-與=1（。>0力>0）的左，右焦點(diǎn)分別為￡,鳥，過左焦點(diǎn)大作

crn

直線/與雙曲線交于力，8兩點(diǎn)（8在第一象限），若線段48的中垂線經(jīng)過點(diǎn)用，且點(diǎn)亮到直線/的距離為0*

則雙曲線的離心率為.

即叫虹

2

23.（2024?奉賢區(qū)三模）若曲線「:二-j，2=l（x>0）的右頂點(diǎn)4,若對線段04上任意一點(diǎn)P,端點(diǎn)除外，在「上

a''

存在關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)。、R使得三角形PQR為等邊三角形，則正數(shù)〃的取值范圍是—.

22

24.（2024?浦東新區(qū)二模）已知雙曲線=-4=13>0力:>0）的焦點(diǎn)分別為片，￡,〃為雙曲線上一點(diǎn)，若

a’力

4F\MF1=個(gè),OM=半1）,則雙曲線的離心率為.

考點(diǎn)七.直線與雙曲線的綜合

典例引領(lǐng)

25.（2024?青浦區(qū)二模）己知雙曲線「：:；=1,片，5分別為其左、右焦點(diǎn).

（1）求鳥的坐標(biāo)和雙曲線「的漸近線方程；

（2）如圖，P是雙曲線「右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓C是△/￥；工的內(nèi)切圓，設(shè)圓與可，PE，片人分別切于點(diǎn)Z）,

E,F,當(dāng)圓。的面積為4萬時(shí)，求直線。行的斜率；

（3）是否存在過點(diǎn)用的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于力，8兩點(diǎn)，且使得/月力8=/刀%，若存在，求

出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

26.（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知雙曲線「:二-2〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2.

（1）若「的長軸長為2,焦距為4,求「的漸近線方程；

⑵若6=4,雙曲線「左支上任意點(diǎn)r均滿足|7耳|...2。，求。的最大值；

（3）若雙曲線「的左支上存在點(diǎn)P、右支上存在點(diǎn)。滿足|RP|=|PQ|=|。6|,求「的離心率e的取值范圍.

即時(shí)檢測

27.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知點(diǎn)P（l,l）在雙曲線的一條漸近線上，G、E為雙曲線的左、右焦點(diǎn)

TD

且肝亨=（）.

（1）求雙曲線「的方程；

（2）過點(diǎn)P的直線/與雙曲線「恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線/的方程；

（3）過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)力、B,求證：|力例m＜2.7.

y2

28.（2024?閔行區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，雙曲線C：1=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，

a2

F2,。的離心率為2,直線/過片與C交于歷，N兩點(diǎn)、,當(dāng)|OA/|=|O5I時(shí)，片用的面積為3.

（1）求雙曲線。的方程：

（2）已知M,N都在C的右支上，設(shè)/的斜率為“.

①求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

②是否存在實(shí)數(shù)加，使得/MOV為銳角？若存在，請求出〃?的取值范圍；若不存在，請說明理由.

考點(diǎn)八.雙曲線與平面向量

0典例引領(lǐng)

29.（2024?寶山區(qū)二模）已知雙曲線d-匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為4、8,設(shè)點(diǎn)尸在第一象限且在雙曲線上，。

2

為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值;

（2）若蘇?麗,9,求|赤|的取值范圍;

（3）橢圓。的長軸長為2板，且短軸的端點(diǎn)恰好是A、B兩點(diǎn)，直線AP與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為0.記APQ4、kQAB

的面積分別為5、求火-的最小俏，并寫出取最小俏時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

30.（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知凡）是焦距為4亞的雙曲線C:=\(a>Q,b>0)上一點(diǎn),過P的i條

/b2

直線4與雙曲線C的兩條漸近線分別交于[（再，M）,6a2,%），且3麗=西+2麗，過尸作垂直的兩條直線

和心與y軸分別交于力，B兩點(diǎn),其中/，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

%

（1）求斗與一乂%的值；

（2）求S”曲的最大值，并求此時(shí)雙曲線C的方程；

（3）判斷以45為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果是，求出所有定點(diǎn)；如果不是，說明理由.

J即時(shí)檢測

31.（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線「：/一卷=1的左右焦點(diǎn)分別為《、入，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與「相交于4、B兩

點(diǎn)，若|片8|=2|大川，則醐?可=—.

￡=i,

32.（2。24?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線C:/-點(diǎn)￡、名分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),乂）、B（X,

32

為）為雙曲線上的點(diǎn).

（1）求右焦點(diǎn)寫到雙曲線的漸近線的距離；

（2）若麗=3可，求直線48的方程；

（3）若力片//8工，其中/、4兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形力耳人8的面積的

取值范圍.

考點(diǎn)九.曲線與方程

典例引領(lǐng)

33.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面\一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、

對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線。:（犬+歹2）3=]6.廣/為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的有（）

（1）方程（/+/y=l（個(gè)＜0）,表示的曲線在第二和第四象限；

（2）曲線C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離都不超過2；

（3）曲線。構(gòu)成的四葉玫瑰線面枳大于4不；

（4）曲線C上有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)

34.（2。24?閔行區(qū)校級模擬）設(shè)集合"=｛（',），）|、2+/工0,XGR，yw心，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,滿足“對任意

（a,b）eU,都有|ax+力|+|bx-分］,4>/不壽”的點(diǎn)尸構(gòu)成的圖形為。?,滿足“存在（q/）wU,使得

|d+加+|瓜-卬，|“4戶存”的點(diǎn)。構(gòu)成的圖形為。2.對于下述兩個(gè)結(jié)論：①名為正方形以及該正方形內(nèi)部區(qū)

域；②C2的面積大于32.以下說法正確的為（）

A.①、②都正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①、②都不正確

中即時(shí)檢測

35.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）若曲線。的圖象上任意不同的兩點(diǎn)/（W，y）,N（X2,y2）,坐標(biāo)都滿足關(guān)系

|占以一%2乂l<（X：+才?+￡，則在①y=2x：②尸sinx；③產(chǎn)x+L④二一丁=1中，不可能是曲線。的

.V4

方程的序號為—（填上所有正確答案的序號）.

36.（2024?浦東新區(qū)校級三模）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨

等得出“懸鏈線”方程），="'+"），其中C為參數(shù).當(dāng)。=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)次（x）=巴士，懸鏈線的原

22

理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：sin*2.r+cos2x=l；

②兩角和公式：cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny,③導(dǎo)數(shù)：,⑸11%）cosx,定義雙曲正弦函數(shù)h（幻———.

（cosx）f=-sinx,2

（1）直接寫出M（x）,M（x）具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，雙曲正弦函數(shù)歹=s力（幻的圖像總在直線），=去的上方，求直線斜率攵的取值范圍：

（3）無窮數(shù)列｛凡｝滿足q=a,是否存在實(shí)數(shù)*使得生。24=??若存在，求出。的值，若不存在，

說明理由.

考點(diǎn)十.直線與圓錐曲線的綜合

典例引領(lǐng)

37.(2024?閔行區(qū)二模)如圖，己知橢圓G-I/=1和拋物線G：/=2〃y(p>0),C2的焦點(diǎn)下是G的上頂點(diǎn)，

過尸的直線交G于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO并延長之，分別交。于X、8兩點(diǎn)，連接48,設(shè)AOMV、AOAB

的面積分別為乂外加、S&OAB?

(1)求p的值；

(2)求兩■?麗的值；

38.（2。24?嘉定區(qū)校級模擬）已知曲線。:（3-2加2*-4〃/=4（加€&）.

（1）若曲線c為雙曲線，且漸近線方程為），=±當(dāng)戈，求曲線C的離心率；

（2）若曲線。為橢圓，且P（l,等）在曲線C上.過原點(diǎn)且斜率存在的直線（和直線叢乙與右不重合）與橢圓C分別

交于4，8兩點(diǎn)和“，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足到直線4和的距離都等于苧，求直線人和的斜率之積.

（3）若加=-1,過點(diǎn)力（0,-1）的直線與直線），=-2交于點(diǎn)M,與橢圓交于8,點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為C,直線AC

交直線丁=-2交于點(diǎn)N,求|A/N|的最小值.

J即時(shí)檢測

39.（2024?K寧區(qū)校級三模）已知拋物線「:1-2尸的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)T（l,l）的直線，與「交于力、6兩點(diǎn).設(shè)「在

點(diǎn)力、8處的切線分別為乙，4與x軸交于點(diǎn)4與x軸交于點(diǎn)N,設(shè)4與的交點(diǎn)為P.

(1)設(shè)點(diǎn)力橫坐標(biāo)為。，求切線4的斜率，并證明EWJ.4；

(2)聲明：點(diǎn)P必在直線y=r-1卜：

(3)若尸、M,N、r四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2222

4().(2024?奉賢區(qū)三模)如圖1：已知橢圓「的方程為=十與=1(。>〃>0)和橢圓廣二十二=1,其中4，8分別

crb~42

圖1圖2

(1)若4,4恰好為橢圓「的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓「和橢圓『有相同的離心率，求橢圓「的方程；

(2)如圖2,若橢圓「的方程為三+亡=1.尸是橢圓廠上一點(diǎn)，射線力P,8P分別交橢圓「于M,N,連接4N,

84

8M(P,M,N均在x軸上方)，求證：N3,力斜率之積心8?七”為定值，求出這個(gè)定值；

(3)在(2)的條件下，若ANHBM,且兩條平行線的斜率為％(〃>()),求正數(shù)人的值.

IA.好題沖關(guān),

基礎(chǔ)過關(guān)

一.選擇題(共4小題)

1.(2024?嘉定區(qū)二模)雙曲線口：?->|和雙曲線具有相同的()

A.焦點(diǎn)B.頂點(diǎn)C.漸近線D.離心率

2.(2024?虹口區(qū)模擬)已知拋物線方程/=4x,過點(diǎn)夕(1,2)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有()

A.。條B.1條C.2條D.3條

3.（2024?靜安區(qū)二模）設(shè)則雙曲線￡——J=1的離心率e的取值范圍是（）

a2伍+1）2

A.（x/2,2）B.（V2,V5）C.（2,5）D.（2,石）

4.（2024?楊浦區(qū)校級三模）在平面直角坐標(biāo)系工仍，中，雙曲線「、匚的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)都在x軸上，且口與口

不重合，記口、匚的離心率分別為0、%，則“4=內(nèi)”是“「與「2沒有公共點(diǎn)”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二.填空題（共12小題）

5.（2023?徐匯區(qū)校級三模）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-2,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

6.（2024?閔行區(qū)三模）若拋物線/=_2px過點(diǎn)（-1,2）,則該拋物線的焦點(diǎn)為一.

7.（2024?黃浦區(qū)二模）拋物線y=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是

8.（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知雙曲線小=1的左、右焦點(diǎn)為片、過月的直線/與雙曲線M的左、右兩

6

支分別交于點(diǎn)力、B.若入446為等邊三角形，則鳥的邊長為—.

9.（2024?松江區(qū)校級模擬）已知〃={1,2,3,4},且〃?c.M,"€加，若方程上+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的

mn

橢圓，則這樣的橢圓共有一個(gè).

22

10.（2Q24?寶山區(qū)校級四模）己知橢圓「+}=1（。>力>0）的左、右焦點(diǎn)為"，F(xiàn),,過K作X軸垂線交橢圓于點(diǎn)

crb"

若△出K為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是一.

11.（2024?浦東新區(qū)校級三模）已知雙曲線C:己-二=1的一條漸近線方程為y=2x,則〃?=—.

4m

12.（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線一一+一匚=1的離心率e.g,則上的取值范圍

6+2上2k-3

是—.

13.（2。24?黃浦區(qū)校級三模）已知雙曲線C：9-V=i的左右焦點(diǎn)分別為耳，區(qū),過8的直線交雙曲線C的右支

于力，4兩點(diǎn)，若的周長為20,則線段48的長為—.

14.（2024?寶山區(qū)二模）己知雙曲線C：=-g=l（Q>0,b>0）的右頂點(diǎn)為力，以力為圓心，力為半徑作圓力，圓力

a~b~

與雙曲線。的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若NM4N=60。,則。的離心率為.

15.（2024?浦東新區(qū)校級四模）機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12c“，開