專題17立體幾何外接球與內切球必刷100題

任務一:和善模式(基礎)1-30題

一、單選題

1.已知正四棱錐的全部頂點都在球。的球面上，且正四棱錐尸-ABCD的底面面

積為6,側面積為65，則球。的體積為()

A.三B,匹兀C.$D.瀉

3344

【答案】A

【分析】

依據幾何體的性質，轉化為平面問題，利用勾股定理求解得出球的半徑即可求出球的體積

【詳解】

設底面邊長為。，側棱長為力，

因為底面面枳為6,所以“2=6,得

因為側面積為6",

所以4xgx卜二半x瓜=6幣,解得8=26，

連接AC,B。交于點。…連接PO.則可得PO|J?平面ABC。，，

所以四棱錐P-ABCD的高PO、=712^3=3,

點。在PQ上，連接。4,設球的半徑為R,則

/?2=(3-/?)2+(>/3)2,解得R=2,

所以球。的體積為g乃乃X23二誓，

故選：A

2.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉瞞，若三棱錐P-A8C為鱉嚅，

E4J_平面ABC,PA=BC=4,八8=3,A8_L8C,若三棱錐P—A8C的全部頂點都在球0

上，則球。的半徑為（）

A.叵B,-C.ID.-

2482

【答案】A

【分析】

將鱉喘補形為長方體，求出長方體的外接球的半徑即可.

【詳解】

由題意，將鱉嚅補形為長方體如圖，則三楂錐尸-A8c的外接球即為長方體的外接球.

外接球的半徑為

/?=ipC=-V42+32+42=->/41.

222

故選：A

3.已知AABC是以4C為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一點，且平面心€」平面4友?,

BC=3,PB=2五,PC=45,則三棱錐P-48c外接球的體積為（）

2

A.WTTB.如衛C.D.%酶

333

【答案】D

【分析】

由，ABC為直角三角形，可知8C中點M為;SAC外接圓的圓心，又平面P8CJ_平面A8C,

所以球心在過M與平面/8C垂直的直線上，且球心為P8C的外心.利用正余弦定理求出

PBC外接圓的半徑即為球的半徑，從而求出球的體積.

【詳解】

解：取AC中點用，過點M做直線/垂直BC,因為/WC為直角三角形，所以點M為，A3C

外接圓的圓心，又平面PBC_L平面A8C,所以/u平面A8C,依據球的性質，球心肯定在

垂線,上，且球心為P6C的外心.

在即rhPB2+BC2-PC2&

在<PBC中，cosNPBC=-----------------------=——，

2PBBC2

所以sin/PBC=4,則，外接圓的半徑為2拒2

2—

2

即外接球的半徑為巫，所以體積為丫=題三.

23

故選：D

4.三棱錐A-BCD中，ZABC=ZCBD=ZDBA=60°,BC=BD=\,AACD的面積為包,

4

則此三棱錐外接球的表面積為（）

3

A.4TTB.16%C.—7T1).7T

33

【答案】A

【分析】

利用三角形全等和三角形的面積公式求出高AE，求解宜角三角形得AC4O,利用余弦定

理得出/48=4￡＞區=90,可得4區為三棱錐外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.

【詳解】

8c=80=1,ZCBD=60°,:.CD=l,

又AB=A氏彳詛8C=DBA=60°、BC=BD,.-.VABC^VABD,則AC=AD,

取CO中點E,連接A￡,

乂由zMCO的面積為可得A4C。的高人七=包，

42

則可得AC=4O=G，

在，A/C中，由余弦定理AC^uA^+BC?—2A8ICas60"，

：.3=AB1+\-2xABx\x-解得AB=2,

2i

則AC2+3C2=A3，可得ZACB=90,.?.408=90,

ACLBC,AD1BDf

依據球的性質可得AB為三棱錐外接球的直徑，則半徑為1,

故外接球的表面積為4萬xF=4萬.

故選：A.

4

5.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉膈(biendo).已知在

鱉嚅M-A8C中，M4J_平面ABC,M4=/W=4C=4,則該鱉脯的外接球的表面積為()

A.12點B.244C.48〃D.96兀

【答案】C

【分析】

將問題轉化為棱長為4的衛方體的外接球的求解問題，依據正方體外接球半徑為體對角線長

一半可得所求外接球半徑，依據球的表面積公式可求得結果.

【詳解】

如圖所示，鱉脯M-A8c的外接球即為棱長為4的正方體的外接球，

,該鱉瞄的外接球半徑R=1>/42+42+42=2G,

該外接球表面積S=44A2=48萬.

故選：C.

5

6.已知三棱錐8-ACQ中，AB=BC=AC=2,CD=BD=y[2,AC的中點為￡施的中

點恰好為點力在平面B⑦上的射影，則該三棱錐外接球半徑的平方為（）

【答案】D

【分析】

如圖，設點4在面BCD上的射影為點片依據題意和勾股定理求出/"‘、”,

設球心到平面砥9的距離為力，利用勾股定理求出力，進而可得出結果.

【詳解】

由題意知，如圖，△8C。為等腰直角三角形，￡是外接圓的圓心，

設點力在面BCD上的射影為點E則點產為然的中點，

所以BF=JBE2+EF2=J1/=些,

所以AF=戶2=」4—之=叵

設球心到平?面仇〃的距離為方，由/狹4Z在對ZXBOE和A/AOM中,

可得]+/?2J+（姮_a）2,解得心名叵，所以r=1+力2=工

421111

故選：1）

6

7.如圖，把兩個完全相同的直三角尺SAC,SAC斜邊重合，沿其斜邊SC折疊形成一個120°

的二面角，其中SA=SA=2,且A8=6，則空間四邊形SABC外接球的表面積為（）

B.殍D*

A.4萬C.3幾

【答案】B

【分析】

過點*作BO_LSC于。，連接。A,證得N8DA為二面角8—SC-A的平面角，進而求出SC

的長度，然后取SC的中點0,證得。為空間四邊形5ABe外接球的球心，從而可知SC為球

直徑，從而結合球的表面積的公式即可求出結果.

【詳解】

過點B作BD工SC于D，連接DA，由于必△MC和心△SAC全等，所以ADA.SC,AD=BD，

所以/8D4為二面角5-SC-A的平面角，即/8D4=I2O,在△A3。中，結合余弦定理得

7

AB-=BD2+AD2-2BDADcosABDA，即3=BD-+BD2-280?80因此3=3BD。，

因為3。＞0，所以40=1,

在RfASBD中,sin=1從而=在Rt2SBC中,cosZ^SD=^=—,

262SC

又因為SB=2,所以5。=逑，取SC的中點。，連接。8,04,由于SC是用八^。和

3

&△SA。的斜邊，所以O8=Q4=OS=OC,故。為空間四邊形SA8C外接球的球心，SC為

球直徑，所以空間四邊形SA8C外接球的半徑為空，所以空間四邊形88c外接球的表面

3

枳為4獷［攣］=粵，

I3J3

故選：B.

8.已知直三棱柱的各棱長都相等，三棱柱的全部頂點都在球。的表面上，若球。的表面積

為28%則該三棱柱的體積為（）

A.6B.18C.12&D.16G

【答案】B

【分析】

依據球的表面積求出外接球的半徑，設出三棱柱的棱長，確認球心位置，結合勾股定理列出

方程，解之即可求出結果.

【詳解】

設球。的半徑為，則44尸=28萬，則r=",

設三棱柱ABC-AB.C.的接長為〃，

連接uABC,_4B|G的外心。2,?,則的中點。即為球心，

8

B

且o、c二—a,OO.=~,

~3■2

則無+f-l=r2,貝ija=2石.

I3）⑴

V=^-a2xa==18?

44

故選：B.

9.己知邊長為2的等邊三角形ABC,。為8c的中點，以AD為折痕進行折疊，使折后的

4BDC=%,則過A,B,C,。四點的球的表面積為（）

A.34B.4%C.51D.67r

【答案】C

【分析】

首先對平面圖形進行轉換，進一步求出外接球的半徑，最終帶入表面積公式求解.

【詳解】

邊長為2的等邊三角形ABC,。為BC的中點，以為折痕進行折疊，使折后的=

構成以〃為頂點的三棱錐，且三條側棱相互垂直，可構迨以其為長寬高的長方體，其對角線

即為球的直徑，三條棱長分別為1,1,G,所以2R=X/1TT73=&，球面積S=4乃（且尸=5萬，

9

故選:D.

10.已知正四面體ABC。的表面積為26，且A、B、C,。四點都在球。的球面上，則球

。的體積為（）

A.2氐B.直%C.—7cD.3兀

42

【答案】C

【分析】

由正四面體的性質特征，可知它的各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為〃，則

依據正四面體ABCZ）的表面積即可得出〃=血,從而得出對應的正方體的棱長為1,而正方

體的外接球即為該止四面體的外接球，由正方體的外接球性質可得出外接球的半徑為立，

2

最終依據球的體積公式即可得出結果.

【詳解】

解：正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為

所以該正四面體的表面積為S=4x；xax卜2_圖-=島2=26,

所以〃=正，又正方體的面對角線可構成正四面體，

若正四面體棱長為正,可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，

所以外接球的直徑為石，半徑為乎，所以球。的體積為g萬=專式.

故選：C.

11.在四棱錐夕-A8CQ中，底面是邊長為4的正方形，且PA=2,PB=PD=2>5,則四棱

錐外接球的表面枳為（）

A.4萬B.8乃C.36用D.144乃

【答案】C

10

【分析】

利用勾股定理推斷Q4_L平面A8CD,過正方形A8CO的中心。作垂線，再過附中點作此

乖線的乖線，交點。即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.

【詳解】

由題意可知尸片十人于二尸8?，P^+AD1=PD1

所以P4_LA8,PALAD,

又A8cAD=A,

所以R4L平面A3C。，

過正方形A8C。的中心O,作垂線，

再過處中點作此垂線的垂淺，交點為0，

A§

此點即為外接球的球心，

則外接球半徑R=OA=Jr+僅⑹2=3,

所以四楂錐外接球的表面積S=44尿=36乃.

故選：C

12.三棱錐）力比中，AB-DOZ,AODB-2,AC工CD,/I員.則三棱錐止力比外接球的表面

積是（）.

11

D

A.9兀B.134C.36^D.524

【答案】B

【分析】

由題可得球心為A。的中點，即求.

【詳解】

取4。的中點為0,連接。。,。8,因為/1￡1故ABLDB

D

.?.OC==。。=08即。為棱錐AABC外接球的球心,

又力代以三3,月俏〃廬2,

?*-AD=V22+32=713?

???三棱錐）4%外接球的表面積為13乃.

故選：B.

12

13.已知-一個圓錐的母線長為26，側面綻開圖是圓心角為空巴的扇形，則該圓錐的外接

3

球的體積為（）

A.36萬B.48乃C.36I）.24五

【答案】A

【分析】

先利用圓錐的側面綻開圖為扇形求出圓錐的底面半徑r和圓錐的高力，設該圓錐的外接球的

球心為。，半徑為先利用勾股定理求出4,即可求出球的體積.

【詳解】

設圓錐的底面半徑為八由側面綻開圖是圓心角為名旦的扇形得：

3

24r=2+"x2瓜,解得：r=25/2.

3

作出圓錐的軸截面如圖所示：

設I員I錐的高為h,則力=J（2灰）—0夜）=4.

設該圓錐的外接球的球心為0,半徑為吊則有/?=府萬彳,

即/?=J（4-R）2+（2&『,解得：廬3,

所以該圓錐的外接球的體積為坦￡=坦一36萬.

33

故選：A.

13

14.已知三棱柱/WC-44G的6個頂點全部在球。的表面上，AB=AC,NB4C=120。,

三棱柱48C-A4G的側面積為8+46，則球。表面積的最小值是（）

16)

A.4不B.16萬L*?

3

【答案】B

【分析】

設三棱柱4BC-AMG的高為人A3=AC=。，依據題意得出Rz=4,設aA3c的外接圓半

徑為「、球0的半徑為R,依據勾股定理得出配的表達式，結合基本不等式即可得出結果.

【詳解】

設三棱柱ABC-ABC的高為〃，AB=AC=a.

因為N3AC=120。，

所以8。=伍，

則該三棱柱的側面積為（2+>/3）R?=8+4G,故ah=4.

設的外接圓半徑為「，則y得%=。

一+展*》4（當且僅當〃=2應時，等號成

設球。的半徑為R,則配=一+

2>

立）,

故球。的表面積為4/FR2之16乃.

故選：B

15.三棱錐A8c的頂點均在一個半徑為4的球面上，A8C為等邊三角形且其邊長為6,

則三棱錐P-A4C體積的最大值為（）

A.12x/3B.186C.24N/3D.546

【答案】B

【分析】

14

依據球的性質，結合線面垂直的性質、三棱錐的體積公式進行求解即可.

【詳解】

如圖所示:

點J/為三角形月8。的中心，￡為〃'中點，

當PM_L平面A8C時，三棱錐P-A8C體積最大,

此時，OP=OB=R=4,

因為A8=6,所以S,限=乎其4=9百，

???點."為三角形月比'的中心，

8M=：BE=|小:一(gx6)2=，

中,有OM=tOB，-BM2=2,

..PM=OP+PM=4+2=6,

???(%板)2=$96x6=186,

故選：B.

15

第11卷（非選擇題）

二、填空題

16.已知。，E分別是邊長為2的等邊.AAC邊AB,的中點，現將一相底沿OE翻折

使得平面AZM_L平面4CQE,則棱錐A-4CDE外接球的表面積為.

【答案】蔡13乃

【分析】

取8C的中點G,連接/為，￡6,可得G為等腰梯形BCE■。的外接圓的圓心，再過折起后的

的外心作平面物的垂線，得出兩垂線的交點。為棱錐A-8CDE外接球的球心，求

出半徑，利用球的表面積公式即可求解.

【詳解】

取BC的中點G,連接力C，EG,可知DG=EG=BG=CG,

則G為等腰梯形BCED的外接圓的圓心，

過G作平面BCED的垂線，

再過折起后的一ADE的外心作平面ADE的垂線，

設兩垂線的交點為。，

則。為四棱錐A-BCDE外接球的球心，

“IDE的邊長為1,/.OG=HK=—,

16

則四棱錐A-BCDE外接球的半徑OB=

13

二?四棱錐A-8CQE外接球的表面積為4ix—冗

3

13

故答案為：

17.如圖，矩形"C。中，歷為4c的中點，A8=8W=1,將,.A6M沿直線AM翻折成力用”

（用不在平面AMC。內，連結4。，N為片。的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確

的是.

Bi

①CV〃平面八趺M：②存在某個位置，使得CA/IA/）：③當三棱錐用-/lM。的體積最大時，

三棱錐片-AM。的外接球的表面積是4兀.

【答案】①③

【分析】

取Ae中點，可推斷①；通過4。，用/）不成立，可推斷②；當平面平面AOM時,

體積最大.此時/U）中點為外接球球心.可推斷③.

【詳解】

取人用中點尸，連接PM，PN,故PN//A。，PNIJMC,四邊形PMCN為平?行四邊形，

故NCUPM,即CN〃平面48也，①正確；

17

Bi

由底面ABC。為矩形，可知人O_LC。，若CN工AD,則需AOJLBQ,由已知可得A。J.耳。

不成立，故②錯誤：

當平面訓M_L平面ADM時，體積最大,此時AD中點。為外接球球心，則該球的半徑「=1,

表面積S==4/r，故③正確；

5

故答案為：①③.

18.如圖，半球內有一內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體的邊長為

2,則半球的表面積為.

18

【答案】187r

【分析】

過正方體與半球底面垂直的對角面作截面。，將問題轉化為半圓與矩形的內接問題，進而求

出半球的半徑「，再利用球的表面積公式進行求解.

【詳解】

設該半球的半徑為，

過正方體與半球底面垂直的對角面作截面。，

則面a截半球面得半圓，截正方體得一個矩形，

且矩形內接于半圓（如圖所示），

在矩形ABC。中，A8=2,BC=CAB=26,

則r=y/AB2+OB2=J4+2=,6,

所以半球的表面積為S=2口2+=3口2=18兀.

故答案為：18九

19.已知球面上有四個點4B,C,D,球心為點。，。在⑦上，若三棱錐A-8co的體積

的最大值為g,則該球。的體積為.

【答案】爭32

【分析】

易知。。為該球的直徑，由頂點A在底面的射影為球心。，且底面BC。為等腰直角三角物時,

三棱錐A-8CO體積最大求解.

19

【詳解】

如圖所示:

因為球心0在CD上,

所以CO為該球的直徑，

由此易知，當頂點A在底面的射影為球心O時，

且底面為等腰更角三角形時，三棱錐A-BCD體積最大，

11Q

所以±X-.2RRXR=2,

323

解得火=2,

4Q9

故所求球。的體積為s=;乃內=￥乃.

J3

故答案為:守32.

20.圓臺的上、下底面的圓周都在一個直徑為6的球面上，上、下底面半徑分別為1和3,則

該圓臺的體積為.

【答案】也3

3

【分析】

由題意首先確定幾何體的空間結構特征，求得圓臺的高，然后利用圓臺的體積公式即可求得

其體積.

【詳解】

20

圓臺的下底面半徑為3,故下底面在外接球的大圓上,

如圖所示，設球的球心為。，圓臺上底面的圓心為。'，

則圓臺的高。0=JOQ2-O，Q2=732-12=2五,

據此可得圓臺的體積：V=l^x2>/2x(32+3xl+l2)=^2^.

3173

故答案為：如色我.

3

21.已知三棱錐片力8c中，SLL平面月8a且必=4,AB=AC=2f/%。=120。，則三棱錐

的外接球的表面積為.

【答案】32%

【分析】

把三棱錐a力腹中補形成一個直三棱柱，找出球心，求出球的半徑即可求解.

【詳解】

21

如圖，把三棱錐64昭中補形成一個直三棱柱，設上、下底面外接圓的圓心分別為

球的半徑為R,則外接球的球心。為。的中點，

2

由正弦定理2aA=丁丁=4，-03=2,

sin30

又；00\=；SA=2,:.OA=400；+06=26=R,

則其夕、接球的表面積為=4乃（2夜）2=32萬.

故答案為：32九

22.一個正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的備為2,底面邊長為2,則該球的表

面積為_________.

【答案】9萬

【分析】

易知球心。在正四棱錐的高OPI.,可利用勾股定理構造出關于外接球的半徑R,解方程求

得R后，利用球的表面積公式可得結果.

【詳解】

如圖所示，。為底面正方形的中心，

22

p

則OP=2,AB=2,則正四棱錐的外接球的球心O'在。P上，

則外接球的半徑R滿意（2-a2+（應了=*,解得：/?=|,

?1.該球的表面積S=4兀R?=9兀.

故答案為：6r.

23.已知在四面體A8CD中，AB=CD=2叵,AD=AC=BC=BD=4,則四面體A8CO的

外接球表面積為______.

【答案】9兀

【分析】

把四面休48c力補成為一個長方休，利用長方休求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.

【詳解】

對于四面體ABCD^,因為A8=C。=2&,AD=AC=BC=BD=逐,

所以可以把四面體A8CO還原為一個長方體，如圖：

設從同一個頂點動身的三條邊長分別為人八z,則有:

23

x2+y2=8fx=2

?X2+Z2=5,解得：.y=2

y2+z2=5z=1

點力、B、a〃均為長、寬、高分別為2,2,1的長方體的頂點,

且四面體A8CQ的外接球即為該長方體的外接球，

廠是K方體的體對角線即為外接球的直徑，

不妨設外接球的半徑為R.2/?=V22+22+l2=3，

???外接球的表面積為4TTR2=兀(2R)2=9限

故答案為：9限

24.已知四面體力a刀的四個頂點都在球。的表面上，A8_L平面形力，又

A8=3,8c=2,80=4,.且ZC8D=60，則球。的體積為

【答案］粵

o

【分析】

由題可證4?，平面38,8。_18,因此可把四面體/瞅力放入氏方體中，則易求其外接球

的體積.

【詳解】

???四面體4笫9的四個頂點都在球。的表面上，平面BCD,

乂A8=3,8c=2,BD=4,RZCBD=60,

?**CD=J16+4-2x4x2xcos60=26，

/.BC2+CD2=RD2,

：.A4_L平面BCD,BC1CD,

24

Ans

???以AC、CD、人笈為長方體的長、寬、高構造長方體，則球。的半徑為空==,

22

???球0的體積為生乂倍］:上區.

3⑴6

故答案為：牛.

6

25.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉膈.已知在鱉脯A-3C。

中，滿意A8_L平面8CD,且有BO1CRAB=BO=2,CO=1,則此時它外接球的體積為

【答案】支9

【分析】

依據題意，將圖形還原成長方體，進而求該長方體外接球的體積即可.

【詳解】

因為力aL平面及力，所以力員L。，AB_LBD,乂皿CD,即仍BD,而三條直線兩兩垂直,

如圖，

25

A

將鱉嚅還原為長方體8MC。-AMC",則問題轉化為求該長方體外接球的體積.

設外接球的半徑為R,WIJ2R=V22+22+I2=3=>R=|.

所以外接球的體枳v=/圖E兀.

9

故答案為：3冗.

26.已知S,A,B,。是球。表面上的點，ABC,AB±BC,SA=AB=\,BC=y/2,

則球。的表面積是:

【答案】4廣

【分析】

先確定外接球的球心，再依據勾股定理得到半徑，進而計算表面積得到答案.

【詳解】

如圖，取AC中點”，則以為AA3C的外接圓的圓心

易知球心。在點〃的上方，且。”=；,

此時球的半徑/=。。=>/。42+。“2=+!!]=3

vl2J⑴

...S球=4^r=4九\

26

o

故笞案為；4兀

27.一個正四面體表面積為』，其內切球表面積為S.則今=.

【答案】迪

n

【分析】

設正四面體的棱長為a,用&表示正四面體表面積為S，求得正四面體的高，再利用等體枳

法求得其內切球的半徑為r即可.

【詳解】

如圖所示：

設正四面體的棱長為a,

因為正四面體表面積為S，

所以S|=4xgx等/=島2,正四面體的高為〃=/停￡)聾a,

設正四面體的內切球的半徑為人

22

則正四面體的體積為V=Lx—ax—a=4x-x—axr,

34334

27

解得「二逅〃，

12

所以S?=4萬產=~~~，

S、J3a26x/3

所以S?Tea2兀

故答案為：巫

71

28.已知四面體力仇力中，AB=AD=^,47=4,CD=2屈,16_1_平面力切，則四面體，毗刀

外接球的表面積為.

【答案】88n.

【分析】

首先四面體補體為長方體，借助長方體求外接球的半徑，求四面體的外接球的表面積.

【詳解】

解：因為力。=6,AC=4,CD=2y/13?所以AQ?+AC?=a)2,

所以A。_LAC乂因為AH\平而ACl),

由題意可知幾何體是長方體的一部分，如圖，

長方體的對角線的長為/=，心+心+6=J6+甲+6?=屈，就是外接球的直徑，

所以外接球的直徑為樨，

所以球的表面積為：4為［嬰］=884.

28

故答案為：88不

29.設體積為86的正三棱錐P-A8C外接球的球心為0,其中。在三棱錐尸-A8C內部.若

R

球。的半徑為凡且球心。究竟面A8C的距離為則球。的半徑/?=.

【答案】3

【分析】

依據等邊三角形的性質，結合球的幾何性質、楂錐的體現公式進行求解即可.

【詳解】

取「ABC的中心G.連接PG,則PG_L平面A8C旦球心。在PG上.由條件知，OG=g

娃接OA,AG,則AG=x/W-。G2=2R,設等邊-A6c的邊長為4，

3

所以等邊-ABC的高為：\"乙尸=旦,

V22

因此===所以有〃=

32633

于是［ABC的邊長為蛀R.又OP=R,

3

I4

故三棱錐P—A8C的高是：R+qR=，R,

33

2

所以％ABC=--(—a)--R=—-R^R=—^=s43^得R=3.

33439327

故答案為：3

29

30.在邊長為6的菱形ABC。中，Z44c=60。，將菱形48CQ沿對角線AC折起成直二面

角，則所得三棱錐外接球的表面積等于.

【答案】60萬

【分析】

過》8c的外心。|作平面A8C的垂線，過ADC的外心。2作平面AOC的垂線，兩垂線交

廣。，則點。為三棱錐O-A3C外接球的球心，然后依據已知的數據求出球的半徑，從而

可求得球的表面積

【詳解】

解：如圖，取AC的中點E,連接8￡,。￡,

因為邊長為6的菱形ABC。中，NA4c=60。，所以.4?C和.AOC均為正三角形，

所以4E_LAC,OE_LAC,

因為二面角4一人(7-。為直二面角，所以比T_LO￡,

設。一Q分別是4人3。和,MOC的外心，過Q作平面若8c的垂線，過。2作平面ADC的垂

線，兩垂線交于。，則。到A，B,C,。的距離相等，所以點。為三棱錐O-A3c外接球的球

心，

因為殷=。1七=。七』立x6=GDO,=-D￡=-x^x6=2A/3.

“332’332

所以OO="OO；+DO；=&可+(2百丫=V15，

30

所以三棱錐D-ABC外接球的表面枳為4不（而）一=60九,

故答案為：60萬

任務二:中立模式（中檔）1-50題

一、單選題

1.已知球。是正三棱錐上四9（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接

31

球，於3,/步=2百，點￡在線段劭上，AB23BE.過點？作球。的截面，則所得截窗面

積的最小值是（）

【答案】A

【分析】

如圖，”是力在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理

求出。后1,當截面垂直于數時，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.

【詳解】

解：如圖，。是力在底面的射影，由正弦定理得，△Ban勺外接圓半徑/；=一4^'!=6：

sin602

D

由勾股定理得棱錐的高Aa=J（262—疔=3；

設球〃的半徑為吊則R2=（3-R）2+JT,

解得H=2,所以約二1；

32

在△陽E中,由余弦定理得《爐=1+3-2xlx6x/=l,

所以a后1；所以在△(?比中，o拄叵;

當截面垂直于施時，截面面積最小，此時半徑為，R、OE2=畫,截面面積為2萬.

故選：A

2.在三棱錐尸一A8C中，平面尸A8_L平面48C,ABA.BC,PA=BC=2,A8=4,APAB

的面積為26,則三棱錐尸-A8C的外接球體積為()

A4兀32乃20&/河

A.-B.萬―C.——--Dn.4。3兀

【答案】C

【分析】

取AC的中點。，過。作PDJ.AS于。，連接O。，則由已知條件可得。為三棱錐尸-A8C

的外接球的球心，則A0為半徑，從而可求出三棱錐尸-A8c的外接球體積

【詳解】

取人C的中點。，則。為“3C的外心，過尸作Q￡)_LAB于。，連接0。，

在，A3c中，AB工BC,BC=2,A8=4,

所以AC=〃6，+叱=」16+4=2石,

所以AO=CO=—AC=石，cosNBAC=――=—產,

2AC2/5

因為平面QA4_L平面ABC,平面PA/3C平面八PDA.AB,

所以尸￡>J_平面A8C,

因為OQu平面ABC,所以POJ.OQ,

因為△P4B的面枳為26，Q4=2,A8=4,

所以gPDAB=2石，得PD=6,所以A。=JPA2-PD2=1，

33

在公。。中由余弦定理得,

__L4

0D2=AO2+AD2-2AO-ADCOSN84C=5+l-2V5xlx—==2,

2V5

所以O尸=/>￡>2+002=5,所以0。=石，

所以OA=OC=O8=OP=x/^,

所以O為三棱錐P-ABC的外接球的球心，且球的半徑為逐

所以三棱錐P-A8C的外接球體積為9兀（6丫=型等，

故選：C

3.球。的表面積為32乃，三棱柱八8。-4與&的頂點在球面上，且三角形ABC是邊長為26

的正三角形，則A%所在直線與平面四CG所成角的正弦值為（）

A,五B.五C.9D.也

147147

【答案】C

【分析】

求出球半徑和A8C外接圓半徑，即可求出球心到平面ABC的距離，得出側棱長，取8c中

點〃，連接人。心。，可得乙44。即為A4所在直線與平面88QG所成角，干脆求解即可.

【詳解】

設球的半價為R,則4乃卡=論r,解得R=2啦,

34

設三角形ABC的外接圓半徑為，則2r=2^=4,解得r=2,

sin600

則球心到平面ABC的距離d=JR?—尸=2,

因為三棱柱ABC-A&G的頂點在球面上，則三棱柱ABC-A4G為直三棱柱，則側棱長為

4,

取6c中點、〃,連接A。出D,

因為，八3C為等邊三角形，所以AD_L8C,

因為M_L平面ABC,ADu平面八BC,所以BB11AD,

因為331ABe=3,所以A0_L平面88CC，

所以NABQ即為A4所在直線與平面BB.CC.所成角，

因為AZ)=3,AB1=?2々3)+4?=2@,所以sin乙48］一=^^=.萬=f.

故選：C.

4.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉膈(bienao).已知在鱉

嚅M—A8C中，MA_L平面ABC,M4=A4=4C=4,則該鱉嚅的內切球的表面積為()

A.(48-32&)乃B.(48—16&)乃C.48乃D.(24-16夜)不

【答案】A

【分析】

35

依據題意可得NABC=90。，ZAMB=90°,AC=4&，必8=4人，求出一八3C和的

面積，再依據M4_L平面A8C結合勾股定理，推出NM4C=9O。，/MBC=90。,從而可求

出△MAC和△M4C的面積，然后依據等體積法即可求得該鱉嚅的內切球的半徑，從而得解.

【詳解】

???何一43。四個面都為宜角三角形，MA=AB=BC=4,

ZABC=90°,ZAM/?=90°.貝i」AC=40，MB=4y[i,

**?^AABC=-x4x4=8,SMAB=-x4x4=8,

:M4_L平面ABC，八Cu平面ABC,

：.MA±AC,即NM4C=90。，則知。=46，SAMC=1x4x4>/2=872,

VMB2+BC2=（472）2+42=48./WC2=48，

222

MB+BC=MC，即/