崇川區2024-2025學年高二年級下學期期末數學試題解析（導數技巧點撥）一、選擇題要求：從下列各題給出的四個選項中，選出正確的一項。1.設函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的極值點為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=22.若函數f(x)=ax^2+bx+c的導數f'(x)=2ax+b，則a、b、c之間的關系為（）A.a=0，b≠0，c≠0B.a≠0，b=0，c≠0C.a≠0，b≠0，c=0D.a=0，b=0，c=03.設函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的零點為（）A.x=-1，x=0，x=1B.x=-1，x=0，x=2C.x=-1，x=1，x=2D.x=0，x=1，x=24.設函數f(x)=x^3-3x+2，則f(x)在區間[-1,2]上的最大值為（）A.2B.3C.4D.55.設函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的對稱軸為（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.設函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的導數為__________。7.若函數f(x)=ax^2+bx+c的導數f'(x)=2ax+b，則a、b、c之間的關系為__________。8.設函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的零點為__________。9.設函數f(x)=x^3-3x+2，則f(x)在區間[-1,2]上的最大值為__________。10.設函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，則f(x)的對稱軸為__________。三、解答題要求：解答下列各題。11.已知函數f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的極值點及極值。12.已知函數f(x)=ax^2+bx+c的導數f'(x)=2ax+b，求a、b、c之間的關系。13.已知函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，求f(x)的零點及對稱軸。14.已知函數f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在區間[-1,2]上的最大值。四、證明題要求：證明下列各題。15.證明：若函數f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的導數f'(x)=3ax^2+2bx+c，則a≠0。五、應用題要求：解答下列各題，并給出解題步驟。16.已知函數f(x)=x^3-9x+6，求f(x)的單調區間及極值點。17.已知函數f(x)=(x-1)^2(x+2)，求f(x)的導數f'(x)，并分析f(x)的增減性及凹凸性。六、綜合題要求：解答下列各題，綜合運用所學知識。18.設函數f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的導數f'(x)，并分析f(x)的增減性、凹凸性及極值點。19.設函數f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，已知f'(x)=2ax+b，求f(x)的單調區間及極值點。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.x=-1解析：對函數f(x)=x^3-3x+1求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1。當x<-1時，f'(x)>0，函數單調遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數單調遞減；當x>1時，f'(x)>0，函數單調遞增。因此，x=-1是極大值點。2.B.a≠0，b=0，c≠0解析：由導數f'(x)=2ax+b，得f'(0)=b=0。又因為f'(x)是二次函數，故a≠0。由于a≠0，函數f(x)為二次函數，因此c≠0。3.C.x=-1，x=1，x=2解析：令f(x)=0，即(x-1)^2(x+2)=0，解得x=-2或x=1。因為(x-1)^2=0時，x=1，所以f(x)的零點為x=-1，x=1，x=2。4.D.5解析：對函數f(x)=x^3-3x+2求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1。當x<-1時，f'(x)>0，函數單調遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數單調遞減；當x>1時，f'(x)>0，函數單調遞增。因此，x=-1是極大值點，x=1是極小值點。計算f(-1)=-2，f(1)=0，f(2)=5，所以最大值為5。5.C.x=1解析：函數f(x)=(x-1)^2(x+2)的對稱軸為頂點的x坐標，即x=1。二、填空題6.f'(x)=3x^2-3解析：對函數f(x)=x^3-3x+1求導得f'(x)=3x^2-3。7.a≠0，b=0，c≠0解析：同選擇題第2題解析。8.x=-1，x=1，x=2解析：同選擇題第3題解析。9.5解析：同選擇題第4題解析。10.x=1解析：同選擇題第5題解析。三、解答題11.極值點：x=-1，極值：f(-1)=-2解析：同選擇題第1題解析。12.a≠0，b=0，c≠0解析：同選擇題第2題解析。13.零點：x=-1，x=1，對稱軸：x=1解析：同選擇題第3題解析。14.最大值：5解析：同選擇題第4題解析。四、證明題15.證明：若函數f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的導數f'(x)=3ax^2+2bx+c，則a≠0。解析：由f'(x)=3ax^2+2bx+c，得f'(0)=c=0。又因為f'(x)是二次函數，故a≠0。五、應用題16.單調遞增區間：(-∞,-3)和(1,+∞)，單調遞減區間：(-3,1)，極值點：x=-3和x=1解析：對函數f(x)=x^3-9x+6求導得f'(x)=3x^2-9，令f'(x)=0，解得x=-3或x=3。當x<-3時，f'(x)>0，函數單調遞增；當-3<x<3時，f'(x)<0，函數單調遞減；當x>3時，f'(x)>0，函數單調遞增。17.導數f'(x)=3x^2+4x-2，增減性：單調遞增區間：(-∞,-2)和(2/3,+∞)，單調遞減區間：(-2,2/3)，凹凸性：凹區間：(-∞,-2)和(2/3,+∞)，凸區間：(-2,2/3)解析：對函數f(x)=(x-1)^2(x+2)求導得f'(x)=3x^2+4x-2。令f'(x)=0，解得x=-2或x=2/3。當x<-2時，f''(x)>0，函數凹；當-2<x<2/3時，f''(x)<0，函數凸；當x>2/3時，f''(x)>0，函數凹。六、綜合題18.導數f'(x)=3x^2-3，增減性：單調遞增區間：(-∞,-1)和(1,+∞)，單調遞減區間：(-1,1)，凹凸性：凹區間：(-∞,-1)和(1,+∞)，凸區間：(-1,1)，極值點：x=-1和x=1解析：同選擇題第1題解析。19.單