2025年高考數學模擬檢測卷（創新題型）專項訓練與實戰演練一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知函數f(x)=x^3-3x+2，下列說法正確的是：A.f(x)在x=1處有極大值B.f(x)在x=1處有極小值C.f(x)在x=1處無極值D.f(x)在x=1處無拐點2.若函數y=log_a(x)（a>0，a≠1）的圖象過點P(2,3)，則a的值為：A.2B.3C.1/2D.1/33.若數列{an}的通項公式為an=2n-1，則數列的前10項和S10為：A.90B.100C.110D.1204.已知復數z=1+i，下列說法正確的是：A.z的模為0B.z的模為1C.z的輻角為0D.z的輻角為π/25.已知直線l：2x-3y+6=0，點A(1,2)關于直線l的對稱點為B，則B的坐標為：A.(3,4)B.(4,3)C.(2,5)D.(5,2)6.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=25，S10=55，則數列的公差d為：A.1B.2C.3D.47.若函數y=e^x在區間[0,1]上的圖象與直線y=kx+b有唯一交點，則k的取值范圍是：A.k∈(0,1)B.k∈(1,∞)C.k∈(0,∞)D.k∈(0,1)∪(1,∞)8.若向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為：A.1/5B.2/5C.3/5D.4/59.已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q，若a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=12，則a1的值為：A.1B.2C.3D.410.若函數y=sin(x)的圖象上存在兩點A、B，使得OA=OB=1，其中O為原點，則∠AOB的度數為：A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在題中的橫線上。）11.若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則數列的前n項和Sn=________。12.若函數y=log_a(x)（a>0，a≠1）的圖象過點P(2,3)，則a的值為________。13.若復數z=1+i，則z的模為________，z的輻角為________。14.若直線l：2x-3y+6=0，點A(1,2)關于直線l的對稱點為B，則B的坐標為________。15.若函數y=e^x在區間[0,1]上的圖象與直線y=kx+b有唯一交點，則k的取值范圍是________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（15分）已知函數f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的單調區間。17.（15分）已知數列{an}的通項公式為an=2n-1，求證數列的前n項和Sn=n^2。18.（15分）已知復數z=1+i，求z的模和輻角。19.（15分）已知直線l：2x-3y+6=0，點A(1,2)關于直線l的對稱點為B，求B的坐標。20.（15分）已知函數y=e^x在區間[0,1]上的圖象與直線y=kx+b有唯一交點，求k的取值范圍。四、計算題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.已知數列{an}滿足遞推關系an=3an-1-2，且a1=1，求：（1）數列的前n項和Sn；（2）數列的通項公式an。22.已知函數f(x)=x^2-4x+4，求：（1）函數的對稱軸方程；（2）函數在區間[1,3]上的最大值和最小值。23.已知復數z=3-4i，求：（1）復數z的模；（2）復數z的輻角；（3）復數z的共軛復數。五、應用題（本大題共2小題，每小題20分，共40分。解答時應結合實際情況進行分析，并寫出相應的數學模型。）24.一輛汽車從A地出發，以60千米/小時的速度勻速行駛，到達B地后，以80千米/小時的速度勻速行駛返回A地。若A、B兩地相距300千米，求：（1）汽車從A地出發到返回A地所需的總時間；（2）汽車從A地出發到返回A地的平均速度。25.某商品原價為200元，商店決定進行打折銷售。已知打折后的售價與原價的比例為x，則打折后的售價為200x元。若商店希望打折后的售價為原價的0.8倍，求x的值。六、證明題（本大題共1小題，共20分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.證明：對于任意的實數a和b，有(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：對函數f(x)求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，當x=1時，f'(x)由負變正，故x=1為極大值點。2.答案：B解析：由題意知，a^2=3，解得a=√3或a=-√3，因為a>0，所以a=√3。3.答案：A解析：數列的前n項和為Sn=n(a1+an)/2=n(2+2n-1)/2=n^2。4.答案：B解析：復數z的模為|z|=√(1^2+1^2)=√2，因為實部為1，虛部為1，所以輻角為π/4。5.答案：D解析：根據對稱點坐標公式，設B點坐標為(x,y)，則有x=2*(2-(-3)*(1/2))-1=4，y=2*(1-2)+2=1，所以B點坐標為(5,2)。6.答案：C解析：由等差數列的性質，S10-S5=5d，所以d=(55-25)/5=3。7.答案：C解析：由于y=e^x是指數函數，其圖象在[0,1]區間上單調遞增，要使得y=e^x與y=kx+b有唯一交點，k必須小于e的值，所以k∈(0,∞)。8.答案：D解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值為cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1*2+2*(-1))/(√(1^2+2^2)*√(2^2+(-1)^2))=4/5。9.答案：B解析：由等比數列的性質，a1q^2+a1q+a1=6，a1q^3+a1q^2+a1q=12，兩式相除得q=2，所以a1=2^3/3=4。10.答案：A解析：由于sin(π/2)=1，且OA=OB=1，所以∠AOB的度數為30°。二、填空題11.答案：n(a1+an)/2解析：等差數列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2。12.答案：√3解析：由題意知，a^2=3，解得a=√3或a=-√3，因為a>0，所以a=√3。13.答案：√2，π/4解析：復數z的模為|z|=√(1^2+1^2)=√2，輻角為π/4。14.答案：(5,2)解析：根據對稱點坐標公式，設B點坐標為(x,y)，則有x=2*(2-(-3)*(1/2))-1=4，y=2*(1-2)+2=1，所以B點坐標為(5,2)。15.答案：(0,∞)解析：由于y=e^x是指數函數，其圖象在[0,1]區間上單調遞增，要使得y=e^x與y=kx+b有唯一交點，k必須小于e的值，所以k∈(0,∞)。三、解答題16.答案：（1）f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增；（2）極大值點為x=1，極大值為f(1)=2。解析：（1）對f(x)求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，當x=1時，f'(x)由負變正，故x=1為極大值點。（2）將x=1代入f(x)得極大值為f(1)=2。17.答案：（1）Sn=n^2；（2）an=2n-1。解析：（1）數列的前n項和為Sn=n(a1+an)/2=n(2+2n-1)/2=n^2。（2）數列的通項公式為an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。18.答案：（1）|z|=√2；（2）輻角為π/4；（3）共軛復數為1-i。解析：（1）復數z的模為|z|=√(1^2+1^2)=√2。（2）因為實部為1，虛部為1，所以輻角為π/4。（3）共軛復數為實部不變，虛部取相反數，所以為1-i。19.答案：（1）B點坐標為(5,2)；（2）點B在直線l的下方，距離為1/|k|，所以B點坐標為(5,2-1/|k|)。解析：（1）根據對稱點坐標公式，設B點坐標為(x,y)，則有x=2*(2-(-3)*(1/2))-1=4，y=2*(1-2)+2=1，所以B點坐標為(5,2)。（2）點B在直線l的下方，距離為1/|k|，所以B點坐標為(5,2-1/|k|)。20.答案：（1）k∈(0,∞)；（2）唯一交點為x=0，此時k=1。解析：（1）由于y=e^x是指數函數，其圖象在[0,1]區間上單調遞增，要使得y=e^x與y=kx+b有唯一交點，k必須小于e的值，所以k∈(0,∞)。（2）將x=0代入y=kx+b得b=1，所以唯一交點為x=0，此時k=1。四、計算題21.答案：（1）Sn=2^n-1；（2）an=2^n-1。解析：（1）由遞推關系an=3an-1-2，得a2=3a1-2，a3=3a2-2，以此類推，可得Sn=2^n-1。（2）由遞推關系an=3an-1-2，得an=2^n-1。22.答案：（1）對稱軸方程為x=2；（2）最大值為f(2)=0，最小值為f(3)=-5。解析：（1）函數的對稱軸方程為x=-b/2a，代入得x=2。（2）函數在區間[1,3]上的最大值和最小值分別在對稱軸兩側取得，代入得f(2)=0，f(3)=-5。23.答案：（1）|z|=5；（2）輻角為3π/4；（3）共軛復數為3+4i。解析：（1）復數z的模為|z|=√(3^2+4^2)=5。（2）因為實部為負，虛部為正，所以輻角為3π/4。（3）共軛復數為實部不變，虛部取相反數，所以為3+4i。五、應用題24.答案：（1）總時間為5小時；（2）平均速度為60千米/小時。解析：（1）汽車從A地到B地所需時間為300/60=5小時，從B地返回A地所需時間為300/80=3.75小時，總時間為5+3.75=8.75小時。（2）總路程為600千米，平均速度為600/8.75≈68.57千米/小時，約為60千米/小時。25.答案