2025年英國數學競賽BMO模擬試卷（數論與幾何綜合）——競賽備考秘籍一、數論基礎要求：運用數論的基本概念和性質，解決以下問題。1.已知正整數a、b、c滿足a^2+b^2=c^2，證明a、b、c成等差數列。A.a=b+d，b=c-d，c=dB.a=b+d，b=c+d，c=dC.a=b-d，b=c+d，c=dD.a=b-d，b=c-d，c=d2.若正整數n滿足n^2+1能被p整除，其中p是奇素數，求n的最小值。A.1B.2C.3D.43.設正整數n，若n^2-1能被8整除，求n的最小值。A.2B.3C.4D.5二、幾何綜合要求：運用幾何圖形的性質和定理，解決以下問題。1.在直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(-1,-2)構成一個三角形，求該三角形的面積。A.2B.3C.4D.52.在平面直角坐標系中，點P(2,3)關于直線y=x的對稱點為Q，求點Q的坐標。A.(3,2)B.(2,3)C.(1,4)D.(4,1)3.在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(-1,-2)構成一個三角形，求該三角形的外接圓半徑。A.1B.2C.3D.4三、數論與幾何結合要求：運用數論和幾何的知識，解決以下問題。1.在平面直角坐標系中，點P(a,b)關于直線y=x的對稱點為Q，若PQ的長度為10，求a^2+b^2的最小值。A.50B.100C.150D.2002.已知正整數n，若n^2-1能被8整除，求以原點為圓心，半徑為n的圓與直線y=x相交的弦長。A.2√2B.2√3C.2√4D.2√53.在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(-1,-2)構成一個三角形，求該三角形內切圓半徑。A.1B.2C.3D.4四、數論應用要求：運用數論知識解決實際問題。1.一個密碼鎖由四位數字組成，每位數字可以是0到9之間的任意整數。若密碼鎖的密碼是四個連續的整數，求這樣的密碼有多少種可能。A.9B.10C.11D.122.在一個等差數列中，第一項是2，公差是3，求這個數列的前10項的和。A.155B.160C.165D.1703.一個正整數可以表示為兩個正整數的和，且這兩個正整數的最大公約數是1。求這樣的正整數有多少個。五、幾何證明要求：運用幾何定理和性質證明以下命題。1.證明：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。A.正確B.錯誤2.證明：在等腰三角形中，底邊上的高也是底邊的中線。A.正確B.錯誤3.證明：在一個圓中，直徑所對的圓周角是直角。六、數論與幾何綜合題要求：結合數論和幾何知識解決以下問題。1.在一個等邊三角形中，內切圓的半徑是r，求該三角形的邊長。A.2√3rB.3√3rC.4√3rD.5√3r2.已知正整數n，若n^2-1能被8整除，求以原點為圓心，半徑為n的圓與直線y=x相交的交點個數。A.1B.2C.3D.43.在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(-1,-2)構成一個三角形，求該三角形內切圓的圓心坐標。本次試卷答案如下：一、數論基礎1.D解析：根據勾股定理，a^2+b^2=c^2，若a、b、c成等差數列，則b=a+d，c=a+2d。代入勾股定理得a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2，化簡后得d=0，因此a=b=c，即a、b、c相等，所以它們成等差數列。2.B解析：因為p是奇素數，所以n^2+1=(n+1)(n-1)。由于p是素數，所以n+1和n-1中必有一個是p的倍數。當n+1=p時，n=p-1，此時n^2+1=(p-1)^2+1=p^2-2p+2，因為p是奇數，所以p^2-2p+2是偶數，所以p^2-2p+2能被8整除。當n-1=p時，n=p+1，此時n^2+1=(p+1)^2+1=p^2+2p+2，這也是偶數，所以p^2+2p+2能被8整除。因此，n的最小值是p-1。3.A解析：因為n^2-1=(n-1)(n+1)，所以n^2-1能被8整除當且僅當n-1或n+1能被8整除。由于n是正整數，n-1和n+1相差2，而8是偶數，所以n-1和n+1中必有一個是偶數。最小的偶數是2，所以n-1=2或n+1=2，解得n=3。二、幾何綜合1.A解析：三角形的面積可以通過底乘以高除以2來計算。在這個例子中，底是AB的長度，即3-1=2，高是C點到AB的垂直距離，即2-(-2)=4。所以面積是2*4/2=4。2.A解析：點P(2,3)關于直線y=x的對稱點Q的坐標可以通過交換x和y的值來得到，所以Q的坐標是(3,2)。3.A解析：外接圓的半徑可以通過使用海倫公式來計算。首先計算三角形的三邊長，AB=√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2，AC=√((-1-1)^2+(-2-2)^2)=√(4+16)=√20=2√5，BC=√((-1-3)^2+(-2-4)^2)=√(16+36)=√52=2√13。使用海倫公式計算半周長s=(AB+AC+BC)/2=(2√2+2√5+2√13)/2。然后計算面積A=√(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))。最后，外接圓半徑R=ABC/A。三、數論與幾何結合1.A解析：點P(a,b)關于直線y=x的對稱點Q的坐標是(b,a)。由于PQ的長度是10，根據距離公式，我們有√((a-b)^2+(b-a)^2)=10，化簡得2√(a-b)^2=10，所以(a-b)^2=25。因為a^2+b^2是最小值，所以a和b的差的絕對值最小，即a-b=5或a-b=-5。因此，a^2+b^2的最小值是25。2.A解析：由于n^2-1能被8整除，所以n^2-1=8k，其中k是整數。這意味著n^2=8k+1。因為n是正整數，所以n^2至少是1，所以8k+1至少是1，這意味著k至少是0。所以n^2=8k+1至少是1，這意味著n至少是1。但是，n^2是奇數，所以n也是奇數。因此，n^2-1是偶數，所以n^2-1=8k+1能被4整除。這意味著k至少是1。所以n^2=8k+1至少是9，這意味著n至少是3。因此，n的最小值是3。3.A解析：內切圓的半徑可以通過使用三角形的面積和半周長來計算。三角形的面積A可以通過海倫公式計算，半周長s是三邊長之和的一半。然后，內切圓半徑r=A/s。四、數論應用1.A解析：四個連續的整數可以表示為n,n+1,n+2,n+3。由于每位數字可以是0到9之間的任意整數，所以n,n+1,n+2,n+3的每一位數字都不同。因此，第一個數字有9種可能（1到9），第二個數字有9種可能（0到9但不包括第一個數字），第三個數字有8種可能（0到9但不包括前兩個數字），第四個數字有7種可能。所以總共有9*9*8*7=4536種可能，但是這包括了重復的情況，因為數字可以以不同的順序排列。由于數字是連續的，所以實際上只有9種不同的排列（1234,2341,3412,4123,4321,3214,2143,1432,1324）。因此，這樣的密碼有9種可能。2.A解析：等差數列的前n項和可以用公式S_n=n/2*(a_1+a_n)來計算，其中a_1是首項，a_n是第n項。在這個例子中，首項a_1是2，公差是3，所以第10項a_10是2+9*3=29。因此，前10項的和S_10=10/2*(2+29)=5*31=155。3.B解析：一個正整數可以表示為兩個正整數的和，且這兩個正整數的最大公約數是1，意味著這兩個數是互質的。互質的兩個數的乘積是唯一的，所以這樣的正整數是所有素數的乘積。素數的個數是無限的，所以這樣的正整數也是無限的。五、幾何證明1.A解析：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。這是因為中線將直角三角形分成兩個全等的直角三角形，每個三角形的斜邊是原三角形斜邊的一半。2.A解析：在等腰三角形中，底邊上的高也是底邊的中線。這是因為等腰三角形的底邊和高相互垂直，所以高也是底邊的中線。3.A解析：在一個圓中，直徑所對的圓周角是直角。這是因為圓周角是圓心角的一半，而直徑所對的圓心角是180度，所以圓周角是90度。六、數論與幾何綜合題1.A解析：在一個等邊三角形中，內切圓的半徑r可以通過邊長a和內切圓半徑r的關系來計算，即r=a/(√3*2)。所以邊長a=r*(√3*2)。2.A解析：以原點為圓心，半徑為n的圓與直線y=x相交的交點個數取決于n與圓的半徑r的關系。如果n=r，則交點個數為2；如果n<r，則交點個數為1；如果n>r，則交點個數為0。由于n^2-1能被8整除，所以