2.7正方形第2章四邊形湘教版八年級下學期課件1.探索并證明正方形的性質，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區別；(重點、難點)2．探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區別；(重點、難點)3．會運用正方形的性質及判定條件進行有關的論證和計算.(難點)觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？問題引入正方形的性質一正方形問題2菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發現？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：

有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AD

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：性質：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結

正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：知識要點ABCD

例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO

≌△CDO≌△DAO.典例精析例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠CDE=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大小．解：當等邊△ADE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當等邊△ADE在正方形ABCD內部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯提醒：因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內部．【變式題2】如圖，在正方形ABCD內有一點P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求證：∠BAP=2∠PAC．

例3如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,BD垂直平分AC,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質，角平分線性質，等腰三角形等來說明.歸納1.正方形具有而矩形不一定具有的性質是()A.四個角相等B.對角線互相垂直平分

C.對角互補D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等BD練一練2.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點O，AO＝2，求正方形的周長與面積．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝，面積為AD2＝8.正方形的判定二活動1準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直已知：如圖,在矩形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線互相垂直的矩形是正方形.活動2把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線相等的菱形是正方形.正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，總結歸納對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內角是直角在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC練一練CABCDO例4在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形EDFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形EDFC是正方形.例5如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥BC.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG例6如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACDOEHGF例7

如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF

,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∴∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．思考前面學菱形時我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH2.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直且相等A當堂練習3．在正方形ABCD中,∠ADB=

,∠DAC=

,∠BOC=

.4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3題圖第4題圖45°5.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請添加一個條件____________________，可得出該四邊形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是_________________（只填寫序號）．②③或①④7.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm．8.

如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點,且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE延長BE交DF于點M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°,∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM9.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點,過點P作PM

AD

,

PN

CD

,垂足分別為M、N.(1)求證：

ADB=

CDB;(2)若

ADC=90

,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是正方形.10.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．①試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．②連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形；②AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠FAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE.∴平行四邊形AEDF為菱形.③在②的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由．解：當△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時，四邊形AEDF為正方形.理由如下：∵∠BAC=90°，∴菱形AEDF為正方形．裝修房子鋪地板的磚（如下圖）大都是正方形的形狀，它是什么樣的四邊形呢？它與平行四邊形、矩形、菱形有什么關系？矩形呢？圖2-57合作探究

我們把有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.有一個角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等有一個角是直角平行四邊形菱形正方形矩形圖2-58

正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.

正方形既是矩形又是菱形.結論正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.正方形的對角線相等，且互相垂直平分.可以知道：

正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：結論如圖2-59，點E是正方形ABCD的邊AB上任意一點，過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F.求證：DE=DF.舉例例1∴AD=CD，

∠A=∠DCF=90°.證明∵四邊形ABCD為正方形，∵DF⊥DE，∴

∠EDF