2.2平行四邊形第2章四邊形第3課時湘教版八年級下學期課件1.經歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會類比思想及探究圖形判定的一般思路；（重點）2.掌握平行四邊形的判定定理1和2，能根據不同條件靈活選取適當的判定定理進行推理論證.（難點）數學來源于生活，高鐵被外媒譽為我國新四大發明之一，我們知道鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，那么鐵路工人是怎樣的確保它們平行的呢？情景引入只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長相等就可以了那這是為什么呢？會不會跟我們學過的平行四邊形有關呢？問題我們知道，兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？猜想1：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形一等腰梯形不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.猜想2：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.梯形的上下底平行，但不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.BA

活動如圖，將線段AB向右平移BC長度后得到線段DC，連接AD，BC，由此你能猜想四邊形ABCD的形狀嗎？DC四邊形ABCD是平行四邊形猜想3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.你能證明嗎？ABCD證明思路作對角線構造全等三角形一組對應邊相等兩組對邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證一證ABCD21證明：連接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.在△ABC和△CDA中,AB=CD，

AC=CA，∠1=∠2，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴BC=DA

.又∵AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形.幾何語言：平行四邊形判定定理1BDCA總結歸納典例精析

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，FD=CD，∴EB=FD．∴四邊形EBFD是平行四邊形．

例1如圖

，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

例2如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求證：四邊形BFCE是平行四邊形．證明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△DBF中，AC＝DB,∠A＝∠D,

AE＝DF

,∴△ACE≌△DBF(SAS)，∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形．

【變式題】

如圖，點C是AB的中點，AD=CE，CD=BE．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）求證：四邊形CBED是平行四邊形．證明：（1）∵點C是AB的中點，∴AC=BC.在△ADC與△CEB中，AD＝CE

,

CD＝BE,

AC＝CB,∴△ADC≌△CEB（SSS），（2）∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.又∵CD=BE，∴四邊形CBED是平行四邊形．練一練1.已知四邊形ABCD中有四個條件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，從中任選兩個，不能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法是（）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥AD

C．AB∥CD，BC=AD

D．AB=CD，BC=ADC猜想

將兩長兩短的四根細木條用小釘固定在一起,任意拉動，所得的四邊形是平行四邊形嗎?兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形二

你能根據平行四邊形的定義證明它們嗎？已知：四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.ABCD連接AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共邊)，∴△ABC≌△CDA(SSS)∴∠1=∠4,∠2=∠3，∴AB∥

CD,AD∥

BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.證明：1423證一證兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形.幾何語言：平行四邊形判定定理2BDCA總結歸納例3

如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．證明：Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四邊形PONM是平行四邊形．典例精析例4

如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形．如圖,

AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形．練一練ABCDEF證明：∵四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，∴AD∥EF，AD=EF，EF∥

BC，EF=BC.∴AD∥

BC，AD=BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.2.四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.1.如圖所示，△ABC是等邊三角形，P是其內任意一點，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF=

.

AFBDCEP

82.已知AD//BC

，要使這個四邊形ABCD為平行四邊形，需要增加條件_____

.

AD=BC或AB//CD

3.已知：如圖，E,F分別是平行四邊形ABCD的邊AD,BC的中點.求證：BE=DF.DFECBA證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BCAD=BC∵E,F分別是AD,BC的中點，∴ED=BF,即EDBF.∥﹦∴四邊形EBFD是平行四邊形（一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形）.∴BE=DF(平行四邊形的對邊分別相等).4.如圖，已知E，F，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．5.現有一塊等腰直角三角形鐵板，要求切割一次,焊接成一個含有45°角的平行四邊形(不能有余料),請你設計一種方案，并說明該方案正確的理由.ABC能力提升CABFEDDCABEABCFDE6.電視劇《人民的名義》中有一位退休好干部叫陳巖石，他有一塊平行四邊形菜園地，夏季到來了，院子里瓜果飄香.有一天突然下起了暴雨，將菜園地的一部分沖垮，陳老的菜園地與鄰居家的菜園地之間的界限看不清了，巧的是，剛好保留了頂點A和C.（1）如圖，若你只有一把直尺和一個圓規，你能將圖形補全嗎？若能，請補全圖形（不寫作法，只保留作圖痕跡），并證明四邊形ABCD是平行四邊形.ABC（2）若E是BC邊上的一點，只用一把無刻度的直尺在AD邊上作點F，使得DF=BE,①作出滿足題意的點F，簡要說明作圖過程.

②依據你的作圖，證明：DF=BE.ABC★EABCDOF

從平移把直線變成與它平行的直線受到啟發，你能不能從一條線段AB

出發，畫出一個平行四邊形呢？圖2-20合作探究

如圖2-20，把線段AB平移到某一位置，得到線段DC，則可知AB∥DC，且AB=DC.由于點A，B的對應點分別是點D，C，連接AD，BC，由平移的性質:兩組對應點的連線平行且相等，即AD∥BC.由平行四邊形的定義可知四邊形ABCD是平行四邊形.圖2-20

實際上，上述問題抽象出來就是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？如圖2-21，已知AB∥DC，且AB=DC，如果連接AC，也可證明四邊形ABCD是平行四邊形，請你完成這個證明過程.圖2-21結論由此得到平行四邊形的判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.舉例

已知：如圖，在□ABCD的邊BC，AD

上分別取一個點E，F，使得，

.連結BF，DE.

求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC.因此BE=FD.又BE∥FD，∴四邊形BEDF是平行四邊形.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.)例1

如圖2-23，用兩支同樣長的鉛筆和兩支同樣長的鋼筆能擺成一個平行四邊形的形狀嗎？把上述問題抽象出來就是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形嗎？圖2-23∴∠1=∠2.下面我們來證明這個結論.如圖2-24，在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，連接AC.∵

AB=CD，BC=DA，AC=CA

，∴△ABC≌△CDA.∴

四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的

四邊形是平行四邊形）.則

AD∥BC.圖2-24結論由此得到平行四邊形的判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△CDA.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.例2∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=DC

，AD=BC.證明：∵△ABC≌△CDA，舉例如圖，在□ABCD中，AE=CF.

求證：四邊形EBFD