1.4角平分線的性質第1章直角三角形第2課時湘教版八年級下學期課件1.理解角平分線性質定理的逆定理.(難點）2.掌握角平分線性質定理的逆定理的證明方法并應用其解題.（重點）3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.復習回顧ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質定理不必再證全等E2.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.角平分線的性質定理的逆定理一PAOBCDE角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質中的條件和結論，你能得到什么命題，這個新命題正確嗎？角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個命題正確嗎？已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.證明：作射線OP，

∴點P在∠AOB

的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP證明猜想溫馨提示:這個結論又是經常用來證明點在直線上(或直線經過某一點)的根據之一.角平分線性質定理的逆定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.知識總結典例精析

例1：如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路的距離相等，并且離公路與鐵路交叉處距離為500米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點撥：根據角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據要求取點.典例精析例2

已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

P

N

M

D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？點P在∠A的平分線上.這說明三角形的三條角平分線相交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.1.如圖，某個居民小區C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區CPAOBMN2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED活動1分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？三角形的內角平分線二發現：三角形的三條角平分線相交于一點活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發現了什么？發現：過交點作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個結論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證一證證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條內角平分線有什么關系？點P在∠A的平分線上.

結論：三角形的三條內角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

MENABCPOD變式1：如圖，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求點O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構造應用12解：連接OC，過O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分別為N，E.MENABCPOD變式1：如圖，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC,OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.2.聯系角平分線性質：距離面積周長知識與方法1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題條件例2如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O是三條內角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.

由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是三條內角平分線的交點，再利用三角形內角和定理即可求出∠BOC的度數．方法總結歸納總結角的平分線的性質圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定1.如圖，某個居民小區C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區CPAOBMN2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

3.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.證明：∵OD平分∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD與△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.4.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED拓展思維5.如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P1P2P3P4l1l2l31、已知：如圖，∠C=∠C′=90°，AC=AC′求證（1）∠ABC=

∠ABC

′；（2）BC=BC′

（要求不用三角形全等的判定）BCAC′例題講解我們利用折紙和尺規作圖的方法都發現三角形的三條角平分線相交于一點，你能證明這個結論嗎？2、如圖，設△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，你能證明點P在∠BAC的平分線上嗎？CABDFEPNM證明:過點P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E，F，D，∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）同理，PE=PF，∴PD=PF∴點P在△BAC的平分線上（在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）。∴△ABC三條角平分線相交于點P。3.已知：如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F。求證：點F在∠DAE的平分線上。CDABFE你會嗎？OQP4.如圖，直線l1、l2、

l3表示三條互相交叉的公路，現要造一個垃圾中轉站，要求它到這三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A1處B2處C3處D4處l3l1l2

5、已知，如圖，∠B=∠C=，M是BC的中點，DM平分∠ADC。求證：AM平分∠DAB。AMDCB證明：過M作ME⊥AD于EE∵∠B=∠C=∴MC⊥DC，MB⊥AB又∵DM平分∠ADC∴ME=MC∵MC=MB∴ME=MB∴AM平分∠DAB（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）6.已知：如圖，O是三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周長為15，求則S△ABC。ABCOMNGD7、如圖，AD是△AB