備戰高考2024年數學第一輪專題復習5.4正、余弦定理（精講）（提升版）（原卷版）一、選擇題要求：從每小題給出的四個選項中，選出一個正確答案。1.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則邊AC的長度是邊AB長度的多少倍？A.√3/2B.√2/2C.√6/2D.√32.在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，則cosA的值為：A.3/5B.4/5C.3/7D.4/7二、填空題要求：將正確答案填入空白處。3.在三角形ABC中，若a=8，b=10，c=12，則角C的正弦值為______。4.在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，則邊AC與邊BC的長度之比為______。三、解答題要求：解答下列各題。5.在三角形ABC中，已知a=8，b=10，c=12，求角A的正切值。6.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，邊AC=10，求邊BC的長度。四、證明題要求：證明下列各題。7.證明：在任意三角形ABC中，有a2+b2-c2=2abcosC。8.證明：在任意三角形ABC中，若∠A=∠B，則邊AC=邊BC。五、計算題要求：計算下列各題。9.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=75°，邊AC=10，求邊BC和邊AB的長度。10.在三角形ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求角A的余弦值和角B的正切值。六、應用題要求：解答下列各題。11.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=90°，邊AC=8，求邊BC和邊AB的長度。12.在三角形ABC中，已知邊AC=5，邊BC=12，角B的正弦值為√3/2，求角A的余弦值和邊AB的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.√2/2解析：由正弦定理知，sinA/a=sinB/b=sinC/c，因為∠A=60°，∠B=45°，所以sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2，所以a/b=sinA/sinB=√3/2/√2/2=√3/√2=√3/2。2.A.3/5解析：由余弦定理知，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=5，b=7，c=8，得cosA=(49+64-25)/(2×7×8)=88/112=2/3。二、填空題3.√3/2解析：由正弦定理知，sinC=c/(2R)，其中R為三角形的外接圓半徑。由海倫公式知，R=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s為半周長，s=(a+b+c)/2。代入a=8，b=10，c=12，得s=15，R=√[15×(15-8)×(15-10)×(15-12)]=√[15×7×5×3]=√1575=15√21/3。因此，sinC=12/(2×15√21/3)=√3/2。4.√2解析：由正弦定理知，sinA/a=sinB/b，因為∠A=30°，∠B=60°，所以sinA=sin30°=1/2，sinB=sin60°=√3/2，所以a/b=sinA/sinB=1/2/√3/2=1/√3=√3/3，因此邊AC與邊BC的長度之比為√3/3。三、解答題5.解：由余弦定理知，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=8，b=10，c=12，得cosA=(100+144-64)/(2×10×12)=180/240=3/4。因此，tanA=√(1-cos2A)/cosA=√(1-(3/4)2)/(3/4)=√(1-9/16)/(3/4)=√7/3。6.解：由正弦定理知，sinB/b=sinA/a，因為∠A=45°，∠B=60°，所以sinA=sin45°=√2/2，sinB=sin60°=√3/2，所以b/a=sinB/sinA=√3/2/√2/2=√3。因為AC=10，所以BC=√3×AC=√3×10=10√3。四、證明題7.解：由余弦定理知，a2=b2+c2-2bc*cosA，將等式兩邊同時乘以2得2a2=2b2+2c2-4bc*cosA，移項得2b2+2c2-2a2=4bc*cosA，即b2+c2-a2=2bc*cosA，所以a2+b2-c2=2ab*cosC。8.解：由正弦定理知，sinA/a=sinB/b，因為∠A=∠B，所以sinA=sinB，所以a=b，因此AC=BC。五、計算題9.解：由正弦定理知，sinA/a=sinB/b，因為∠A=30°，∠B=75°，所以sinA=sin30°=1/2，sinB=sin75°=√6+√2/4，所以a/b=1/2/(√6+√2)/4=2/√6+√2。因為AC=10，所以BC=10×(√6+√2)/2=5√6+5√2。由勾股定理得AB=√(AC2+BC2)=√(100+(5√6+5√2)2)=√(100+150+50√12+50√4)=√(250+100√3)=5√(10+2√3)。10.解：由余弦定理知，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入a=6，b=8，c=10，得cosA=(64+100-36)/(2×8×10)=128/160=4/5。因此，tanA=√(1-cos2A)/cosA=√(1-(4/5)2)/(4/5)=√(9/25)/(4/5)=3/4。由正切定理知，tanB=b/(a×sinA)，代入a=6，b=8，sinA=√2/2，得tanB=8/(6×√2/2)=8/(3√2)=4√2/3。六、應用題11.解：由勾股定理知，AB=√(AC2+BC2)=√(82+122)=√(64+144)=√208=4√13。由正弦定理知，sinA=AC/AB，代入AC=8，AB=4√13，得sinA=8/(4√13)=2√13/√13=2。因此，cosA=√(1-sin2A)=√(1-22)=√(-3)，由于余弦值不可能為負數，說明三角形不存在，故無法求出BC和AB的長度。12.解：由正弦定理知，sinB=BC/(a×sinA)，代入BC=12，a=5，sinA=√3/2，得sinA=12/(5×√3/2)=12√3/5。