函數的單調性

〔一〕教學目標

1.知識與技能

（1）理解函數單調性的定義、明確增函數、減函數的圖象特征.

（2）能利用函數圖象劃分函數的單調區間，并能利用定義進行證明.

2.過程與方法

由一元一次函數、一元二次函數的圖象，讓學生從圖象獲得'‘上升""下降”的整體認

識.利用函數對應的表格，用自然語言描述圖象特征"上升""下降〃最后運用數學符號將

自然語言的描述提升到形式化的定義，從而構造函數單調性的概念.

3.情感、態度與價格觀

在形與數的結合中感知數學的內在美，在圖形語言、自然語言、數學語言的轉化中感知

數學的嚴謹美.

（二〕教學重點和難點

重點：理解增函數、減函數的概念；難點：單調性概念的形成與應用.

〔三〕教學方法

討論式教學法.在老師的引導下，學生在回憶舊知，細心觀察、認真分析、嚴謹論證的

學習過程中生疑與析疑，合作與交流，歸納與總結的過程中獲得新知，從而形成概念，掌握

方法.

〔四〕教學過程

教學

教學內容師生互動設計意圖

環節

觀察一次函數_/。）=*的圖象：

師：引導學生觀察圖象的升降.在函

生：看圖.并說出自己對圖象數圖象的

提出的直觀認識.觀察中獲

問題師：函數值是由自變量的增大而增取函數單

大，或由自變量的增大而減小，這種調性的直

函數/（X）=X的圖象特征由左到右變化規律即函數的單調性.觀認識.

是上升的.

觀察二次函數/（x）=/的圖象：師：不同函數，其圖象上升、下降規

體會

律不同.且同一函數在不同區間上

同一函數

的變化規律也不同.這是“形”的方

在不同區

面，從“數”的方面如何反映.

間上的變

生：函數作圖時列表描點過程中，從

化差異.

列表的數據變化可知自變量由-4

引導學

引入深到0變化，函數值隨著變小；而自變

生從“形

題函數/（x）=『在y軸左側是下降的，量由0到4變化，函數值隨著自變量

變”過渡

在），軸右側是上升的.的變大而變大.

到“數

列表：師：表格數值變化的一般規隨是：自

變”.從

X-3變量x增大，函數值y也增大，函數

-4-2-10定性分析

圖象上升，稱函數為增函數；自變量

f(X)=F169410到定量分

x增大，函數值y反而減少，函數圖

析.

象下降.稱函數為減函數.

234

14916

XG(_8,0用寸，X增大，/㈤減少，

圖象下降.

XG(O,+8)時，X增大，/(X)也增大，

圖象上升.

函數單調性的概念

一般地，設函數/(X)的定義域為/:

如果對于定義域/內的某個區間。上

的任意兩個自變量的值XI，X2.當X|<X2

時，都有/3)</(及)，那么就說函數f(x)

在區間D上是增函數(increasing

function)；

師：增函數、減函數的函數值隨自變

y=fMy\

量的變化而變化怎么用數學符號表

示呢？由實例探

師生合作：究規律從

形成概1X2X

對于函數/(x)=f在區間(0,+而獲得定

念

如果對于定義域/內某個區間。上的8)上.任取X]、X2.假設X1<X2，則義的數學

任意兩個自變量的值XI、X2,當汨<及時，/'(Xi)<f(.X2)，即X|2<%22.符號表示.

師：稱/(X)=*在(0,+8)上為增函

都有/(X|)>/(X2),那么就說函數/(X)在區

間。上是減函數(decreasingfunction).數.

。XiX2x

例1如圖是定義在區間[-5,5]上的師：投影例1.

掌握

函數y=f(x),根據圖象說出函數的單調生：合作交流完成例1.

利用圖象

區間，以及在每一單調區間上，它是增函師：引導學生完成教材P36練習的第

劃分函數

數還是減函數？1題、第2題.

單調區間

師：投影訓練題1

的方法.

生：學生通過合作交流自主完

應用掌握單調

成.

舉例性證明步

例1【解】：y=f(x)的單調區間有

驟及原理.

[-5,-2),[-2,1),[1,3],[3,5].

內化定義,

其中y=f(x)在區間[-5,-2),[1,3)

強化劃分

訓練題1：上是減函數，在區間[-2,1),[3,5]

單調區間

(1)請根據下列圖描述某裝配線的上是增函數.

的方法.

生產率與生產線上工人數量間的關系.訓練題1答案：(1)在一定范

圍內，生產效率隨著工人數的增加而

提高，當工人數到達某個數量時，生

產效率到達最大值，而超過這個數量

時，生產效率又隨著工人的增加而降

低.由此可見，并非是工人越多，生

產效率就越高.

(2)整個上午(8：00-12:00)天(2)

氣越來越暖，中午時分(12:00-13:00)

一場暴風雨使天氣驟然涼爽了許多.暴

風雨過后，天氣轉暖，直到太陽落山(18：

00)才又開始轉涼.畫出這一天8：00~增區間為［8,12］,［13,18］；減

20:00期間氣溫作為時間函數的一個可區間為：［12,13］,［18,20］.

能的圖象，并說出所畫函數的單調區間.(3.1函數在［-1,0］上是減函數,

在［0,2］上是增函數，在［2,4］上是

(3)根據下列圖說出函數單調區間，減函數，在［4,5］是增函數.

以及在每一單調區間上，函數是增函數還師：打出例2,請學生說明應用

是減函數.定義證明(判定)并總結證明單調性

的根本步驟.

生：學生代表板書證明過程，教師點

評.

r體會函數單調性概念的形成過

反思回憶

程.師生合作：回憶單調性概念的形式與

歸納整理知

2°單調性定義.開展.

小結識,提升能

3°利用圖象劃分單調區間.