了解菱形的概念及其與平行四邊形的關系.探索并證明菱形的性質定理.應用菱形的性質定理解決相關計算或證明問題.平行四邊形有哪些性質？邊角對角線對稱性平行四邊形對邊平行且相等對角相等鄰角互補對角線互相平分中心對稱圖形前面我們學習了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個角是直角時,成為什么圖形?(矩形,由角變化得到)

如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,又會得到什么特殊的四邊形呢?情境引入

在平行四邊形中，如果內角大小保持不變，僅改變邊的長度，請仔細觀察和思考，在這變化過程中，哪些關系沒變？哪些關系變了？平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.菱形鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.下列哪個圖形能夠反映四邊形、平行四邊形、菱形的關系的是（）DC四邊形菱形平行四邊形四邊形菱形平行四邊形四邊形菱形平行四邊形平行四邊形菱形四邊形ABC生活中的實例有同學是這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.你知道其中的道理嗎？如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？BDAC菱形是軸對稱圖形(2)從圖中你能得到哪些結論?并說明理由.提示:從邊、角、對角線、面積等方面來探討.

(1)觀察得到的菱形,它是中心對稱圖形嗎?它是軸對稱圖形嗎?如果是，有幾條對稱軸?對稱軸之間有什么位置關系?菱形是中心對稱圖形由于平行四邊形的對邊相等，而菱形的鄰邊相等，故：菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質.菱形的性質1：菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD已知：菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，如下圖，證明：∵四邊形ABCD是菱形ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO∴AB=AD（菱形的四條邊都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC求證：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC命題：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.菱形的性質2：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADCABCDO如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O.（2）有哪些特殊的三角形？（1）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？相等的線段：相等的角：等腰三角形：直角三角形：全等三角形：已知四邊形ABCD是菱形.AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°

∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACD問題1菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積嗎?ABCD思考

前面我們已經學習了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢?能.過點A作AE⊥BC于點E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E問題2如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發現？菱形的面積=

底×高=

對角線乘積的一半例1：四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，已知AB=5cm，AO=4cm，求對角線BD的長.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∴OB=3∴BD=2OB=6cm543有關菱形問題可轉化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決.已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1).對角線AC的長度;(2).菱形的面積解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE例2如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.【點睛】菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角線平分一組對角．例3如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.ABCDOE證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.例4如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形兩組對邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.【點睛】菱形的面積計算有如下方法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對角線長度乘積的一半．1.菱形兩條對角線長為6和8，菱形的邊長為

，面積為

.2.菱形ABCD的面積為96，對角線AC長為16，此菱形的邊長為

.3.菱形對角線的平方和等于一邊平方的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍5410C4.已知菱形的周長是12cm，那么它的邊長是______.3cm5.菱形ABCD中∠ABC＝60度，則∠BAC＝_______.60度6.菱形的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是（）CA.10cmB.7cmC.5cmD.4cmABCDO347.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分別為BC，CD的中點，那么∠EAF的度數是（）A.75°B.60°C.45°D.30°B8.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠BAD＝120°。對角線AC、BD相交于點O，求這個菱形的對角線長和面積.∴∠BAC＝60°∴△BAC是等邊三角形∴AC＝AB=

4cm

解：∵四邊形ABCD為菱形∵∠BA