PAGEPAGE81．2類比推理類比推理三角形有下面兩特性質(zhì)：(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積等于高與底乘積的eq\f(1,2).問題1：你能由三角形的這兩特性質(zhì)推想空間四面體的性質(zhì)嗎？試寫出來．提示：(1)四面體隨意三個面的面積之和大于第四個面的面積；(2)四面體的體積等于底面積與高乘積的eq\f(1,3).問題2：由三角形的性質(zhì)推想四面體的性質(zhì)體現(xiàn)了什么？提示：由一類事物的特征推斷另一類事物的類似特征，即由特別到特別．定義特征由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，把這種推理過程稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理.合情推理合情推理的含義(1)合情推理是依據(jù)試驗和實踐的結(jié)果、個人的閱歷和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推想出某些結(jié)果的推理方式．(2)歸納推理和類比推理是最常見的合情推理．1．類比推理是從人們已經(jīng)駕馭了的事物特征，推想正在被探討中的事物的特征．所以類比推理的結(jié)果具有揣測性，不肯定牢靠；2．類比推理以舊的學(xué)問作為基礎(chǔ)，推想新的結(jié)果，具有發(fā)覺功能．平面圖形與空間幾何體的類比[例1]找出圓與球的相像性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)．(1)圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的兩弦長相等；(3)圓的周長C＝πd(d是直徑)；(4)圓的面積S＝πr2.[思路點撥]先找出相像的性質(zhì)再類比，一般是點類比線、線類比面、面積類比體積．[精解詳析]圓與球有下列相像的性質(zhì)：(1)圓是平面上到肯定點的距離等于定長的全部點構(gòu)成的集合；球面是空間中到肯定點的距離等于定長的全部點構(gòu)成的集合．(2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形．通過與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推想球的有關(guān)性質(zhì).圓球圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與截面(不經(jīng)過球心的小圓面)圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩條弦長相等與球心距離相等的兩個截面的面積相等圓的周長C＝πd球的表面積S＝πd2圓的面積S＝πr2球的體積V＝eq\f(4,3)πr3[一點通]解決此類問題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點如下：平面圖形立體圖形點點、線直線直線、平面邊長棱長、面積面積體積三角形四面體線線角面面角平行四邊形平行六面體圓球1．下面類比結(jié)論錯誤的是()A．由“若△ABC一邊長為a，此邊上的高為h，則此三角形的面積S＝eq\f(1,2)ah”類比得出“若一個扇形的弧長為l，半徑為R，則此扇形的面積S＝eq\f(1,2)lR”B．由“平行于同一條直線的兩條直線平行”類比得出“平行于同一個平面的兩個平面平行”C．由“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”類比得出“在空間中，垂直于同一個平面的兩個平面平行”D．由“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比得出“凸四邊形的三邊之和大于第四邊”解析：選C只有C中結(jié)論錯誤，因為兩個平面還有可能相交．2.如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖所示，在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小．我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.定義、定理與性質(zhì)的類比[例2]類比實數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相像的運算性質(zhì)．[精解詳析]①兩實數(shù)相加后，結(jié)果是一個實數(shù)，兩向量相加后，結(jié)果仍是向量；②從運算律的角度考慮，它們都滿意交換律和結(jié)合律，即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③從逆運算的角度考慮，二者都有逆運算，即減法運算，即a＋x＝0與a＋x＝0都有唯一解，x＝－a與x＝－a；④在實數(shù)加法中，隨意實數(shù)與0相加都不變更大小，即a＋0＝a.在向量加法中，隨意向量與零向量相加，既不變更該向量的大小，也不變更該向量的方向，即a＋0＝a.[一點通]運用類比推理經(jīng)常先要找尋合適的類比對象，本例中實數(shù)加法的對象為實數(shù)，向量加法的對象為向量，且都滿意交換律與結(jié)合律，都存在逆運算，而且實數(shù)0與零向量0分別在實數(shù)加法和向量加法中占有特別的地位．因此我們可以從這四個方面進行類比．3．試依據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)并填寫下表.等式不等式a＝b?a＋c＝b＋c①a＝b?ac＝bc②a＝b?a2＝b2③答案：①a>b?a＋c>b＋c②a>b?ac>bc(c>0)③a>b>0?a2>b2(說明：“>”也可改為“<”)4．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，am，an是{an}的隨意兩項(n≠m)，則d＝eq\f(an－am,n－m)，類比上述性質(zhì)，已知等比數(shù)列{bn}的公比為q，bn，bm是{bn}的隨意兩項(n≠m)，則q＝________.解析：∵an＝amqn－m，∴q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,am))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,am)))1．類比推理先要找尋合適的類比對象，假如類比的兩類對象的相像性越多，相像的性質(zhì)與推想的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越牢靠．2．歸納推理與類比推理都是合情推理．歸納推理是從特別過渡到一般的思想方法，類比推理是由此及彼和由彼及此的聯(lián)想方法，歸納和類比離不開視察、分析、對比、聯(lián)想，很多數(shù)學(xué)學(xué)問都是通過歸納與類比發(fā)覺的．1．下列哪個平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對象較合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形解析：選C從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對象較為合適．2．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個結(jié)論可知：四面體P-ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P-ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：選C設(shè)內(nèi)切球的球心為O，所以可將四面體P-ABC分為四個小的三棱錐，即O-ABC，O-PAB，O-PAC，O-PBC，而四個小三棱錐的底面積分別是四面體P-ABC的四個面的面積，高是內(nèi)切球的半徑，所以V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).3．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：選D類比等比數(shù)列{bn}中b1b2b3…b9＝beq\o\al(9,5)，可得在等差數(shù)列{an}中a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2.4．類比三角形中的性質(zhì)：①兩邊之和大于第三邊；②中位線長等于底邊長的一半；③三內(nèi)角平分線交于一點．可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：①隨意三個面的面積之和大于第四個面的面積；②過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的eq\f(1,4)；③四面體的六個二面角的平分面交于一點．其中類比推理方法正確的有()A．① B．①②C．①②③ D．都不對解析：選C以上類比推理方法都正確，需留意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不肯定正確．5．在△ABC中，D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))))，將命題類比到四面體中去，得到一個命題為：______________________________________.．解析：平面中線段的中點類比到空間為四面體中面的重心，頂點與中點的連線類比頂點和重心的連線．答案：在四面體A-BCD中，G是△BCD的重心，則eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))))6．運用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：假如與一條固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡潔圖形①②中體會這個原理．現(xiàn)在圖③中的兩個曲線方程分別是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與x2＋y2＝a2，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為__________．解析：由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b,a)，所以橢圓面積S＝πa2·eq\f(b,a)＝πab.答案：πab7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結(jié)論類比到四面體P-A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P-A′B′C′中，若三個側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩相互垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.8．在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．(1)寫出相應(yīng)的結(jié)論，推斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫出該結(jié)論一個更為一般的情形(不必證明)．解：(1)在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和，則數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的．證明如下：∵等差數(shù)列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋eq\o(10d,\s\do4())＝100d＝300，10個同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.(2)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和，則對于隨意k∈N＋，數(shù)列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k也成等差數(shù)列，且公差為k2d.9．先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2x2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2).因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))≤0，所以aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結(jié)論的推廣式；(2)類比上述證法，對你推廣的結(jié)論加以證明．解：(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求證：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).(2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1