PAGE1-正弦定理和余弦定理及其應用【選題明細表】學問點、方法題號利用正、余弦定理解三角形1,2,7與三角形面積有關的計算6,8三角形形態的推斷3幾何計算問題12,13實際問題與綜合問題4,5,9,10,11,14基礎鞏固(時間:30分鐘)1.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,則b等于(D)(A) (B) (C)2 (D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,選D.2.在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sinA等于(D)(A) (B) (C) (D)解析:如圖,設BC邊上的高為AD,因為B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故選D.3.(2024·杭州模擬)在△ABC中,cos=,則△ABC肯定是(A)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)無法確定解析:由cos=得2cos2-1=cosA=cosB,所以A=B,故選A.4.(2024·通遼模擬)海面上有A,B,C三個燈塔,AB=10nmile,從A望C和B成60°視角,從B望C和A成75°視角,則BC等于(D)(A)10nmile (B)nmile(C)5nmile (D)5nmile解析:由題意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2024·南寧模擬)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是(C)(A)(0,］ (B)［,π)(C)(0,］ (D)［,π)解析:由正弦定理角化邊,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cosA=≥,所以0<A≤.6.(2024·淄博一模)南宋時期的數學家秦九韶獨立發覺的計算三角形面積的“三斜求積術”,與聞名的海倫公式等價,其求法是“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減小,余四約之,為實.一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=.現有周長為2+的△ABC滿意:sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶∶(+1).試用“三斜求積術”求得△ABC的面積為(A)(A) (B) (C) (D)解析:因為sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因為a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故選A.7.(2024·全國Ⅲ卷)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=.

解析:由正弦定理=得=,所以sinB=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2024·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cos∠BDC=.

解析:依題意作出圖形,如圖所示.則sin∠DBC=sin∠ABC.由題意知AB=AC=4,BC=BD=2,則cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因為cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:實力提升(時間:15分鐘)9.(2024·寧波模擬)在△ABC中,a,b,c分別是內角A,B,C所對的邊,且cos2B+3cos(A+C)+2=0,b=,則c∶sinC等于(D)(A)3∶1 (B)∶1(C)∶1 (D)2∶1解析:由cos2B+3cos(A+C)+2=0,得2cos2B-3cosB+1=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=,所以sinB=,所以由正弦定理知c∶sinC=b∶sinB=2∶1.10.(2024·石家莊一模)在△ABC中,AB=2,C=,則AC+BC的最大值為(D)(A) (B)2 (C)3 (D)4解析:由正弦定理可得,====4.因為A+B=.所以AC+BC=4sinB+4sinA=4sinB+4sin(-B)=4sinB+4(cosB+sinB)=2cosB+10sinB=4sin(B+θ)(tanθ=),因為0<B<,故AC+BC的最大值為4.11.(2024·內蒙古赤峰模擬)如圖,航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內,已知飛機的飛行高度為10000m,速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂的俯角為15°,經過420s后看山頂的俯角為45°,則山頂的海拔高度為m.(取≈1.4,≈1.7)

解析:如圖,作CD垂直于AB的延長線于點D,由題意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,=,所以BC=×sin15°=10500(-)(m).因為CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10500(-)×=10500(-1)≈7350(m).故山頂的海拔高度h=10000-7350=2650(m).答案:265012.(2024·四川瀘州二珍)如圖,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.a=b(sinC+cosC).若A=,D為△ABC外一點,DB=2,DC=1,則四邊形ABDC面積的最大值為.

解析:因為a=b(sinC+cosC),所以由正弦定理得sinA=sin∠ABC(sinC+cosC).即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sinC+cosC),所以cos∠ABCsinC=sin∠ABCsinC.因為C∈(0,π),所以sinC≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.在△BCD中,因為DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cosD=5-4cosD.又因為A=,∠ABC=,所以△ABC為等腰直角三角形.所以S△ABC=BC2=-cosD.又因為S△BCD=·BD·CD·sinD=sinD.所以S四邊形ABDC=-cosD+sinD=+sin(D-).所以當D=時,S四邊形ABDC最大.最大值為+.答案:+13.(2024·福建寧德一檢)如圖,△ABC中,D為AB邊上一點,BC=1,B=.(1)若△BCD的面積為,求CD的長;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sinB=×1×BD×=,BD=.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得=,所以sin∠ACD===,在△BCD中,由正弦定理得=,所以sin∠DCB===,所以==×=.14.(2024·江西聯考)已知函數f(x)=2sin2x-2sin2(x-),x∈R.(1)求函數y=f(x)的對稱中心;(2)已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圓半徑為,求△ABC周長的最大值.解:由f(x)=1-cos2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).(1)令2x-=kπ(k∈Z),則x=+(k∈Z),所以函數y=f(x)的對稱中心為(+,0),k∈Z.(2)由f(+)=得sin（B+）=?sinB+cosB=?asinB+acosB=b+c,由正弦定理得sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC?sinAsinB=sinB+cosAsinB,又