2024—2025學年度第二學期期中考試高二年級數學試題卷面滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算的值是（）A.41 B.61 C.62 D.822.五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個同學計劃在本地一日游，若每人計劃只去“新四軍紀念館、大豐麋鹿自然保護區、西溪旅游文化景區”這三個景點中的一個景點，則不同的游覽方法共有（）A.40種 B.60種 C.125種 D.243種3.在研究線性回歸模型時，樣本數據所對應的點均在直線上，用r表示解釋變量對于反應變量變化的線性相關度，則（）A. B.1 C. D.24.已知，則（）A. B. C. D.25.若平面過點且該平面的一個法向量為，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.6.現將7個不同的小球全部放入3個不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，則不同的放法共有（）A210種 B.630種 C.1260種 D.1890種7.用數字4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，在這個數能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（）A. B. C. D.8.設函數，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量X服從正態分布且，則下列選項中一定正確是（）A B.C.若，則 D.10.以下關于楊輝三角的猜想中，正確的有（）A.第行中，從左到右看第個數最大 B.第行的所有數的和為C. D.11.已知球O是棱長為2的正方體的外接球，為球O的直徑，點P為該正方體表面上的一動點，則下列說法中正確的是（）A.當P為中點時，直線與所成角的余弦值為B.當三棱錐的體積為時，點P軌跡的長度為2C.最小值為D.的最大值為三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，滿分15分.12.已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則________.13.某電影院要在一天的A、B、C、D、E五個不同的時段分別安排《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《誤殺3》、《封神第二部：戰火西岐》、《射雕英雄傳：俠之大者》、《長空之王》等6部電影中的一部，每部電影在當天的五個時段中至多只安排一次，若A時段不安排《哪吒之魔童鬧海》，E時段不安排《長空之王》，那么共有________種安排方式.（答案用數字表示）14.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率.某射擊運動愛好者進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為，擊中目標兩次時停止射擊.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數，則________，________.四、解答題：共5個小題，滿分77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有8只不同的試驗產品，其中有3只不合格品、5只合格品.現每次取1只測試，直到3只不合格品全部測出為止.（1）求最后1只不合格品正好在第3次測試時被發現的不同情形有多少種？（2）求最后1只不合格品正好在第4次測試時被發現的不同情形有多少種？16.如圖，長方體底面是邊長為2的正方形，高為6，E為線段的中點，F為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.已知的展開式的第2項與第4項的二項式系數之比是.（1）求n的值；（2）展開式中的整式項共有幾項？（3）展開式中系數最大的項和最小的項分別是第幾項？18.2025年4月24日我國成功發射了神舟二十號載人飛船，我校航天社團于次日對本校學生進行了問卷調查，其中關于是否收看了現場直播的統計數據如下表所示（單位：人），已知從被訪談的同學中隨機抽取1人，抽到看現場直播的女同學的概率為.看現場直播未看現場直播男同學x女同學150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握認為，觀看現場直播與學生性別有關？（3）為進一步調研，現從看現場直播的同學中按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取2人，記這2人中女同學的人數為，求的分布列以及.參考公式：.參考數據：010.010.001k2.7066.63510.82819.函數.（1）討論的單調性；（2）當時，解方程；（3）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍.

2024—2025學年度第二學期期中考試高二年級數學試題卷面滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算的值是（）A.41 B.61 C.62 D.82【答案】B【解析】分析】利用排列數和組合數公式計算即可.【詳解】.故選：B2.五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個同學計劃在本地一日游，若每人計劃只去“新四軍紀念館、大豐麋鹿自然保護區、西溪旅游文化景區”這三個景點中的一個景點，則不同的游覽方法共有（）A.40種 B.60種 C.125種 D.243種【答案】D【解析】【分析】應用分步乘法計數原理求不同的游覽方法數.【詳解】由題設，每人都有3種選擇，故5個人不同的游覽方法有種.故選：D3.在研究線性回歸模型時，樣本數據所對應的點均在直線上，用r表示解釋變量對于反應變量變化的線性相關度，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據線性相關系數的定義直接得解.【詳解】由已知樣本數據所對應的點均在直線上，則，又，所以滿足負相關，即.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據條件，利用導數定義，即可求解.【詳解】根據導數的定義可知，，故選：D5.若平面過點且該平面的一個法向量為，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間中點到平面距離公式求解.【詳解】，點到平面的距離，故選：A.6.現將7個不同的小球全部放入3個不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，則不同的放法共有（）A.210種 B.630種 C.1260種 D.1890種【答案】B【解析】【分析】將7個小球按分成3組，再放到3個不同盒子里即可.【詳解】將7個小球按分成3組，有種分法，再將每種分法的3組小球放到3個不同盒子里有種方法，所以不同的放法種數是.故選：B7.用數字4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，在這個數能被5整除的條件下，它能被3整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】記事件從中任取一個數，這個數能被整除，記事件從中任取一個數，這個數能被整除，利用排列計數原理求出的值，利用列舉法求出的值，再利用條件概率公式可求出的值.【詳解】記事件從中任取一個數，這個數能被整除，記事件從中任取一個數，這個數能被整除，4、5、6、7、8中能被整除的為，被除余數為的有：、，被除余數為的有：、，現考慮無重復數字的三位數能被整除，則所選的三個數應從、選擇一個，從、中選擇一個，必選，4、5、6、7、8組成沒有重復數字的三位數，這個數能被整除，則個位數必然為，所以，無重復數字的三位數既能被整除，又能被整除的有：、、、，即，由條件概率公式可得.故選：C8.設函數，若恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】通過分析與的符號情況，結合臨界值，進行、、三類討論，即可得出恒成立，等價于，然后構造函數，利用導數即可求解.【詳解】要使得在上恒成立，則，且無變號零點，分析與的符號情況如下：當時，，當時，，令，即，①當時，，所以且，又，所以所以，滿足題意；②當時，，所以且，又，所以所以，滿足題意；③當時，，所以且，又，所以所以，滿足題意；綜上，當時，在上恒成立.所以，令，g'a=當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，即故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量X服從正態分布且，則下列選項中一定正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】AC【解析】【分析】由期望的性質求判斷A；由已知及正態分布的對稱性有判斷B；利用正態分布的對稱性得P(X>10)=P(X<8)=0.3，即可求判斷C；令判斷D.【詳解】由題設，則，A對；由及正態分布的對稱性，有，可得，B錯；由，結合對稱性，則，所以，C對；當，有，D錯.故選：AC10.以下關于楊輝三角的猜想中，正確的有（）A.第行中，從左到右看第個數最大 B.第行的所有數的和為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二項式系數的增減性可判斷A選項；利用二項式系數和可判斷B選項；利用組合數的性質可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，由二項式系數的增減性可知，第行中共有個數，從左到右看第個數最大，A對；對于B選項，第行的所有數的和為，B錯；對于C選項，由組合數的性質可得，C對；對于D選項，，D對.故選：ACD.11.已知球O是棱長為2的正方體的外接球，為球O的直徑，點P為該正方體表面上的一動點，則下列說法中正確的是（）A.當P為中點時，直線與所成角的余弦值為B.當三棱錐的體積為時，點P軌跡的長度為2C.的最小值為D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A取線段的中點，在中利用余弦定理求即可；B先利用體積得出三棱錐的高，再證明平面，再結合點到平面的距離均為，即可找出點P軌跡；C利用向量的加法運算以及數量積的運算律得出，再求的最小值即可；D利用數量積的定義即可.【詳解】取線段的中點，連接，因為線段中點，結合正方體的性質可知，，且，則四邊形為平行四邊形，則，則直線與所成角的為或其補角，容易得，則在中利用余弦定理可得，，則直線與所成角的余弦值為，故A正確；連接，設點到平面的距離為，容易得的面積為，由題意可得，得，由正方體的性質可知，平面，又平面，則，又，，平面，則平面，因，則點到平面的距離均為，因，平面，平面，則平面，同理可得平面，因點P為該正方體表面上的一動點，則點的軌跡為線段，軌跡長度為，故B錯誤；依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：，又因為為球的直徑，所以，即可得，又易知當點為正方體側面的中心時，最小，最小值為，則的最小值為，故C正確；因，則當時，取最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，滿分15分.12.已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則________.【答案】【解析】【分析】根據題意，利用空間向量運算法則可求.【詳解】∵，∴，即，解得.故答案為：.13.某電影院要在一天的A、B、C、D、E五個不同的時段分別安排《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《誤殺3》、《封神第二部：戰火西岐》、《射雕英雄傳：俠之大者》、《長空之王》等6部電影中的一部，每部電影在當天的五個時段中至多只安排一次，若A時段不安排《哪吒之魔童鬧海》，E時段不安排《長空之王》，那么共有________種安排方式.（答案用數字表示）【答案】【解析】【分析】根據正難則反的思想，先求出不受限制條件下所有安排種數，然后排除三類不滿足條件的所有安排種數即可得解.【詳解】在排片不受時段限制的條件下，總共有種安排方式，不滿足題意的安排方式：第一類，A時段安排《哪吒之魔童鬧海》且E時段不安排《長空之王》：若五個時段都不安排《長空之王》，則有種安排方式；若安排《長空之王》，則有種安排方式；則該類共有種安排方式；第二類，A時段不安排《哪吒之魔童鬧海》且E時段安排《長空之王》：若五個時段都不安排《哪吒之魔童鬧海》，則有種安排方式；若安排《哪吒之魔童鬧海》，則有種安排方式；則該類共有種安排方式；第三類，A時段安排《哪吒之魔童鬧海》且E時段安排《長空之王》：共有種安排方式，綜上，滿足條件的安排方式共有：種，故答案為：14.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的k階矩定義為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率.某射擊運動愛好者進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為，擊中目標兩次時停止射擊.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數，則________，________.【答案】①.##②.【解析】【分析】應用獨立事件乘法公式求，根據有，應用獨立事件乘法公式求出對應概率，并由全概率公式求得，結合已知定義求.【詳解】由題意，，當，則，而，所以，由題設，.故答案為：，四、解答題：共5個小題，滿分77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有8只不同的試驗產品，其中有3只不合格品、5只合格品.現每次取1只測試，直到3只不合格品全部測出為止.（1）求最后1只不合格品正好在第3次測試時被發現的不同情形有多少種？（2）求最后1只不合格品正好在第4次測試時被發現的不同情形有多少種？【答案】（1）6種；（2）90種.【解析】【分析】（1）由題意3次都取到不合格產品，應用排列數求不同情形數；（2）由題意前3次取得2個不合格產品，1個合格產品，應用排列組合數求不同情形數；【小問1詳解】最后1只不合格品正好在第3次測試時被發現，即3次都取到不合格產品，所以不同情形有種；【小問2詳解】最后1只不合格品正好在第4次測試時被發現，即前3次取得2個不合格產品，1個合格產品，所以不同情形有種.16.如圖，長方體底面是邊長為2的正方形，高為6，E為線段的中點，F為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，與必交于，連接，易得，再由線面平行的判定證明結論；（2）由（1）知直線與平面所成角，即為直線與平面所成角，再證平面平面，得到直線與平面所成角為或其補角，根據已知及二倍角正弦公式求夾角正弦值.【小問1詳解】連接，與必交于，且也是的中點，連接，在中，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由（1），則直線與平面所成角，即為直線與平面所成角，由平面，平面，故平面平面，且平面，又平面平面，所以直線在平面上的投影為直線，所以直線與直線所成角，即為直線與平面所成角，如圖或其補角，在矩形中，且，而，，所以.17.已知的展開式的第2項與第4項的二項式系數之比是.（1）求n的值；（2）展開式中的整式項共有幾項？（3）展開式中系數最大的項和最小的項分別是第幾項？【答案】（1）；（2）7；（3）系數最大項為第6項，系數最小項為第21項.【解析】【分析】（1）由題設，應用組合數公式得到組合數方程，求解即可；（2）寫出二項式展開式的通項，根據整式項的定義確定其項數；（3）由在上單調遞減，結合的大小判斷系數最大項和最小項.【小問1詳解】由題設，則，整理得，故（負值舍）.【小問2詳解】由（1）知二項式為，展開式通項為，，所以時，均為整式項，共有7項；【小問3詳解】由在上單調遞減，當時，當時，則，故在上先增后減，且，故系數最大項為第6項，系數最小項為第21項.18.2025年4月24日我國成功發射了神舟二十號載人飛船，我校航天社團于次日對本校學生進行了問卷調查，其中關于是否收看了現場直播的統計數據如下表所示（單位：人），已知從被訪談的同學中隨機抽取1人，抽到看現場直播的女同學的概率為.看現場直播未看現場直播男同學x女同學150250（1）求x的值；（2）是否有99.9%以上的把握認為，觀看現場直播與學生性別有關？（3）為進一步調研，現從看現場直播的同學中按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取2人，記這2人中女同學的人數為，求的分布列以及.參考公式：.參考數據：0.10.010.001k2.7066.63510.828【答案】（1）；（2）有99.9%以上的把