重慶南開中學高2026屆高二（下）半期考試數學試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.第I卷和第II卷都答在答題卷上.第I卷（選擇題共58分）一?單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.請將答案填寫在答題卡的相應位置上.1.從五個數字中任選3個數字，可組成無重復數字的三位數的個數為（）A.60 B.70 C.80 D.902.函數的導函數的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（）A.在區間上單調遞減B.在區間上單調遞增C.是函數的極大值點D.是函數極小值點3.多項式展開式中，項的系數為（）A B. C. D.4.函數圖象與直線恰有兩個公共點，則（）A或 B.或 C.或 D.或5.隨機變量的分布列如表，則方差（）A. B. C. D.6.過拋物線的焦點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，設、的斜率為、，若，則（）A. B. C. D.7.為了提升數學素養，甲、乙、丙等五名同學打算選修學校開設的數學拓展課程，現有幾何畫板、數學與生活、趣味數學、數獨四門課程可供選修，每名同學均需選修且只能選修其中一門課程，每門課程至少有一名同學選修，則甲不選修幾何畫板，且數獨只能由乙和丙中一人或兩人選修的概率為（）A. B. C. D.8.已知直線為的一條切線，將的圖象向右平移個單位，向上平移1個單位后仍與直線相切，則（）A.1 B. C.0 D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.9.已知的展開式中所有二項式系數之和為512，則以下說法正確的有（）A.B.展開式中第四項和第五項的二項式系數最大C.除以4余數為1D.展開式中常數項為67210.在一個盒子中裝有4個大小形狀均相同，編號為的小球.從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，記事件A：“第二次取到球的號碼小于等于2”，事件B：“兩次取到球的號碼之和為奇數”，事件C：“兩次取到球的號碼之積為偶數”，則（）A.與互斥 B.與相互獨立C. D.11.已知函數及其導函數定義域均為，且滿足，，則下列說法正確的有（）A.函數在上單調遞增B.函數存在極小值C.若，則D.若，則第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請將答案填寫在答題卡相應位置上.12.現有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，現隨機從中一次性抽取2件，則抽到次品的件數的數學期望為__________.13.已知一道雙空填空題要求每空都要填，根據以往經驗，每10個人大約有8個人能填對第一空，以頻率估計概率，若在第一空填不對的情況下，填對第二空的概率為0.1，第一空填對的情況下，第二空填錯的概率為0.6，則填對第二空的概率為__________.14.按照一定次序排列的一列集合稱為集合列，可記為；已知全集的子集滿足.若恰有兩個元素，則這樣的集合列有__________個；所有滿足條件的集合列有__________個.四?解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.請將答案填寫在答題卡相應的位置上.15.已知函數.（1）若為函數的極大值點，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范圍.16.如圖，四棱錐中，底面為菱形，為的中點.（1）證明平面；（2）若在平面上的射影為中點，且，求平面與平面夾角的余弦值.17.已知雙曲線的圖象經過點，其中一條漸近線方程為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點作垂直于軸的直線，過點作直線與雙曲線右支交于、兩點，過點作的垂線，垂足為點.證明：直線過定點，并求出該定點的坐標.18.重慶漆藝歷史悠久，可以追溯到商周時期，是一種傳承千年，特色鮮明的傳統手工技藝.某漆器廠準備制作三種不同規格的漆器瓷盤各一件，制作過程必須經過兩道工藝，第一道是胎體制作，第二道是拋光上漆，第一道工藝合格以后才能進入第二道，兩道工藝相互獨立，三件瓷盤的制作過程也相互獨立.該廠制作A，B，C瓷盤第一道工藝合格率分別為，第二道工藝合格率分別為.（1）求經過第一道工藝以后三件瓷盤中恰有兩件合格的概率；（2）經過兩道工藝且均合格以后，產品就可以上市銷售，每件瓷盤可獲利2百元；如果不合格，每件虧損1百元，求這三件瓷盤合計盈虧金額的數學期望；（3）該廠決定研發瓷盤，計劃邀請兩名一級技工和一名二級技工參與，假定每名一級技工獨立制作成功的概率為，每名二級技工制作成功的概率為.現三人按照一定順序依次制作瓷盤，從第一個人開始，如果制作失敗，則換下一個人制作，如果制作成功，則停止制作（如果三人均制作失敗，也停止制作）.三個人的制作過程相互獨立.若每制作一次，進行制作的技工會獲得相應的人工費，未進行制作的技工不獲得人工費，其中一級技工的人工費為3百元，二級技工的人工費為2百元.現有以下兩種方案可供選擇