福建省福州市閩江口協作體20232024學年高三上學期11月期中聯考數學答案Word版一、選擇題（每題1分，共5分）1.函數$f(x)=2x^23x+1$的對稱軸方程是：A.$x=\frac{3}{4}$B.$x=\frac{3}{4}$C.$x=\frac{1}{2}$D.$x=\frac{1}{2}$2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，向量$\vec{b}=(3,2)$，則$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角是：A.$45^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$120^\circ$3.函數$y=\sin(2x)$的周期是：A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{2\pi}{3}$4.若$\log_28=x$，則$2^x$的值是：A.2B.3C.4D.55.已知$a>0$，$b>0$，則不等式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$成立的充分必要條件是：A.$a=b$B.$a\neqb$C.$a^2=b^2$D.$a+b=2$二、判斷題（每題1分，共5分）1.函數$y=x^3$是奇函數。正確/錯誤2.對于任意實數$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。正確/錯誤3.當$a>0$時，函數$y=ax^2$在整個實數域上單調遞增。正確/錯誤4.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的根可以用公式$x=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}$求出。正確/錯誤5.函數$y=e^x$的圖像是單調遞減的。正確/錯誤三、填空題（每題1分，共5分）1.函數$y=2x3$的圖像是一條直線，其斜率為______。2.若$\sinx=\frac{1}{2}$，則$x$的值可以是______（只需寫出一個解）。3.已知$a=3$，$b=4$，則$a^2+b^2=$______。4.函數$y=\log_2x$在$x>0$時是______函數。5.已知等差數列的前$n$項和為$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，則其公差為______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述函數的單調性定義及其幾何意義。2.證明：對于任意實數$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。3.已知$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$f(x)$的圖像開口向上，請簡述其性質。4.簡述向量的數量積的定義及其幾何意義。5.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，寫出其通項公式。五、應用題（每題2分，共10分）1.某工廠生產某種產品，其成本函數為$C(x)=1000+20x$（$x$為產量），售價為$50$元/件。求產量為多少時，工廠的利潤最大。2.已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,1)$，求向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的夾角。3.某人從甲地到乙地，先以$5$千米/小時的速度走了$2$小時，然后以$8$千米/小時的速度走了$3$小時，求此人從甲地到乙地的平均速度。4.已知函數$f(x)=x^24x+3$，求其在區間$[1,3]$上的最大值和最小值。5.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$3$，公差為$2$，求其前$10$項的和。六、分析題（每題5分，共10分）1.分析函數$y=x^33x$的性質，包括單調性、極值和拐點。2.已知$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,1)$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}\vec{b}$，并分析它們的幾何意義。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.已知函數$f(x)=x^24x+3$，在坐標系中畫出其圖像，并標出其頂點坐標和對稱軸。2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$2$，公差為$3$，寫出其前$5$項，并在數軸上表示出來。八、專業設計題（每題2分，共10分）1.設計題1：已知等差數列{an}的首項為5，公差為3，設計一個程序，計算該數列的前10項之和。2.設計題2：設計一個簡單的線性方程求解器，輸入形式為ax+b=0，輸出x的值。3.設計題3：設計一個程序，輸入兩個整數a和b，判斷它們是否互質（即最大公約數為1）。4.設計題4：設計一個程序，輸入一個實數x，輸出其在區間[0,2π]內的正弦值和余弦值。5.設計題5：設計一個程序，輸入一個整數n，輸出斐波那契數列的前n項。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋題1：解釋“對數函數”的定義及其圖像特征。2.解釋題2：解釋“平面向量”的概念及其基本運算規則。3.解釋題3：解釋“概率”的定義及其基本性質。4.解釋題4：解釋“數列極限”的概念及其計算方法。5.解釋題5：解釋“函數的單調性”及其判定方法。十、思考題（每題2分，共10分）1.思考題1：如何利用導數研究函數的極值問題？2.思考題2：如何判斷一個幾何圖形是否為圓？請給出至少兩種方法。3.思考題3：為什么說“概率論是研究不確定性的數學工具”？4.思考題4：如何利用數列的遞推公式求出其通項公式？5.思考題5：在解決實際問題中，如何將復雜的函數問題轉化為簡單的線性問題？十一、社會擴展題（每題3分，共15分）1.擴展題1：假設你是一個城市規劃師，如何利用數學模型設計一條最短路徑，連接城市中的兩個重要地標