目錄

初高中銜接........................................................................2

集合預習冊.......................................................................15

集合..............................................................................17

集合關系預習冊...................................................................23

集合的關系.......................................................................25

集合的運算預習冊.................................................................30

集合的運算.......................................................................32

函數的概念預習冊.................................................................36

函數的概念.......................................................................38

函數的單調性預習冊...............................................................50

函數的單調性.....................................................................52

函數的奇偶性預習冊：............................................................60

函數的奇偶性.....................................................................62

函數性質綜合預習冊..............................................................69

函數性質綜合.....................................................................70

一次和二次函數預習冊............................................................75

?次和二次函數...................................................................78

指數運算及指數函數預習冊........................................................95

指數運算及指數函數..............................................................99

對數與對數函數預習冊............................................................107

對數及對數函數..................................................................108

需函數預習冊....................................................................120

系函數...........................................................................121

函數與方程預習冊................................................................128

函數與方程......................................................................129

函數應用題預習冊................................................................138

函數應用題......................................................................143

初高中銜接

絕對值

經典例題

例1解不等式：卜一1|十k一3|>4.

【解析】

解法一：由工一1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3：

①若x<l,不等式可變為一(工一1)一(x-3)>4,

即—2X+4>4,解得XVO,

又xVl，

/.A<0：

②若1W2,不等式可變為(x—l)—(x—3)>4,

即i>4,

...不存在滿足條件的X：

③若x23,不等式可變為(x-l)+(x-3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

/..r>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標為x的點尸到坐標為1的點力之間的距離|以|,

BP|B4|=|x-l|；卜一3|表示x軸上點尸到坐標為2的點8之間的距離|P8|,即戶5|=k一3|.

所以，不等式k一1|+打一3|>4的幾何意義即為_

\PA\+\PB\>4.1人：

由04|=2,可知PCABD

點P在點。(坐標為0)的左側、或點P在點。(坐—I——I_I--------1_I--------

標為4)的右側.x0134x

xVO,或x>4.'V'

圖1.1-1

快速練習

1.若忖=5,則x=；若忖=卜4|,則x=.

2.如果時+例=5,且a=-1,則/)=；若|1一c|=2,則c=.

3.下列敘述正確的是)

(A)若同=例，則4=/)(B)若同>同,則手

(C)若4<6,則同<可(D)若同=可，則a=±b

4.化簡:|r—5|—|2x—13|(x>5).

乘法公式

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2±lab+h~.

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=ct'+b3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=ay-

(3)三數和平方公式(a+h+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

3322y

(4)兩數和立方公式(a+b)=a+3ab+3ab+bi

(5)兩數差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

經典例題

例1：計算：(x+l)(.r-l)(x2-x+l)(x24-x+l).

【解析】

[(.r+l)(x2-x+l)][(x-l)(x2+x+l)]

=[x3+l][?-l]=x6-l

例2：已知〃+/>+c=4,ab+bc+ac=4,求。:+〃+<?的值.

【解析】

(^a+b+c)2=16<=>a2+b2+c2+2ah+2ac4-2bc=16

<=>a2+b2+c2=16-8=8

快速練習

l.-a2--b1=(-6+—cz)()；

9423

2.(4〃？+了=16〃/+4/〃+()；

3.(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

4.若/+,〃吠+攵是一個完全平方式,

則上等于()

2

(A)nr(B)—zrz2(C)—m2(D)—nr

4316

5.不論。，6為何實數，a2+〃-2a-4b+8的值()

(A)總是正數(B)總是負數

(C)可以是零(D)可以是正數也可以是負數

分式

經典例題

例1：若:5r-4:-4=4A+二R,求常數48的值.

x(x+2)xx+2

_5x+4__AB_4(x-2)+8x(4+8)x+24

x(x+2)-7x+2~-x(x+2)—-—x(x+2)

2A=4yA+B=5

A=2,B=3

例2:⑴試證:--------=---------(其中〃是正整數);

〃(〃+1)nn+\

111

(2)計算:-----1-----F…H-------：

1x22x39x10

（3）證明：對任意人于1的正整數〃，有一!一十」一十11

--------<一

2x33x4〃(〃+1)2

【解析】

,、11〃+1n1

(1)-----------------------------------

n〃+1/?(?+!)〃(〃+1)7/(/24-1)

(2)++,??+=]——+———+|

1x22x39x102239101010

11

(3)----十------h

2x33x4〃(〃+1)2334〃〃+12n+\2

快速練習

11

1.對任意的正整數〃,；

〃(〃+2)箱）

2x-y2,,,x

2.若———=一，則—=()

x+y3y

56

(A)1(B)-（C）(D)

4?5

3.正數滿足2號，求匕的值.

x+y

4.計第-----+++…+

1x22x33x499x100

鞏固練習

1.(1)|x—1|>3；

(2)|x+3|+|x-2|<7：

(3)|.r-l|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求x;j?+3號,的值.

3.(1)(2+回(2-廚9=；

(2)若J(l-a)2+J(l+a)2_2,則口的取值范圍足

11111

⑶T7V2+^T^+V3774+^/5+V5776=-

3a2-ab

4.(1)a=—,b=—,則

233a2+Sab-2b2

(2)若/+盯-2/=0,則'+3.“：)

廠+y~

5.已知：x=-yy=—,求/―^i——r-^~t—的值?

23

6.(1)若,y—67—h—2,-J—b—\f—a?則)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）計算等于)

(A)yj—ci(B)yfa(C)-J—a(D)

7.解方程2(x2+士)-3(x+1)-1=0.

XX

1111

8.計算:----1-----1F…H

1x32x43x59x11

9.試證：對任意的正整數n,有—!—+—!—+???+]

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

因式分解

經典例題

例】：分解因式：

(1)X2—3X~\~2；

(2)x2+4x—12

(3)x2-(a+h)xy+aby2；

(4)xy-\+x-y.

【解析】

(1)x2—3.r+2=(x-l)(x-2)

(2)X2+4X-12=(X-2)(A+6)

(3)x2—(a+b)xy+aby2=^x—ay)(^x—by)；

(4)+=x(y+l)-(y+l)=(x-l)(y+l).

例2：分解因式：

(1)x3+9+3.r2+3x：

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

【解析】(1)x3+9+3.r2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)

=(x+3)(x2+3).

^x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+l)3+8=(x+l)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+3-4)工一丁+-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(.r+y-3).

例3把下列關于x的二次多項式分解因式：

(1)x2+2x-l；(2)x2+4xy-4y2.

【解析】(1)令X2+2X-1=。，則解得*=—l+J2,X2=-l-V2,

x~+2x-l=[x-(-1+>/2)J^x—(—1—5/2)^

=(x+l-0)(x+l+@.

(2)令x?+4xy-4y2=0,則解得玉=(一2+2夜)y,x}=(-2-2>/2)y,

???x2+4.^-4產卜+2(1-42)y][x+2(1+衣刃.

快速練習

1.多項式2/-號一1572的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(I)X2+6X-I-8；

(2)8/—Z/：

(3)X2~2X~\

(4)4(x-y+\)+y(y-2x).

3.分解因式：

(1)a3+l；

(2)4X4-13X2+9：

(3)b2+c2+lab+lac+2bc；

(4)3x2^5xy-2y2+x+9y-4.

4.在實數范圍內因式分解：

(1)爐—5x4-3：

(2)X2-25/2X-3；

(3)3x2+4.vy-/：

(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

5.A4/C三邊a,b,c滿足/+"+c2=4b+bc+cs,試判定的形狀.

6.分解因式：/+x—(/—a).

鞏固練習

1,x2+ax2+x+av-1-a

2.xy-x-y+\

3.ax-by-bx+ay

4.ac2+bd2-ad2-be2

5.abx2+bxy-axy-y2

6.xy+bx2+ar+ab

7.acxy+bex2+adx+bd

8.a2b2-a2-b2+1

9.x2y2z2-x2z-y2z+l

106ax2—^cTxy+Ixy—3ay2

11.5/-15X2-A-+3

12.5a'm-15am+3abm-9bm

\3.x3-2x2-x+2+x5-2x4x4+x3+x2+x

\4.(a+b)2+(a+c)2-(c+d)'-(b+d)2

\5.x2-x-9y2-3y

I6.X5+/-(X>+^4)

17.-1-2x-.r2+y2

\S.x2n+xn--y4m+-

9-4

\9.a(\-b)2-\+2b-b2

20.-a4-b4-c4+2a-b2+2b2c2+2c2a2xy+x2-y3-y2

21.ax3+x+a+1

22.a4-//)“+/

23.xi++x2+2xy+y2

24.x4+xsy+.vz3+yz}

25.x5+x4+/+/+x+1

26.(ay+bx)y-(ax+by)-+(ay-yy)

21.(a+bp+(b+cP+(<?+a)3+a-+b3+c3

28.x4+/+2x2+x+1

29.a4+2a3b+3a2b2+2ab3+bA

30.x4-3X2+\

31.d-23x?+1

32./+//+/

33.x'2-3/+1

34./+/+1

35.x4-7x2/+81/

36.(1+^)2-2X2(14-/)+/(I-^)2

37.x4-2(a2+b2)x2+(a2-b2):

38..r3(tz+1)-xy(x-y)(a-b)+)/(/)+1)

39.3?2-7?-63x2-8.r-3

40.5X2+12X-9

41,/+7r-30

42.27X2-33X-20

43.-6.r2+12-x

44.x2+144v2-25xy

45.6x2-7xy+2y2

46.12X2-I1^-15/

47.(x+y)2-4(x+y)-12；

48.12(x+y)2+ll(x+y)(x-y)+2(x-y)2

49.5+7(4+l)-6(a+1)2

50.x6-19X3/-216/

一元二次方程

例1：方程V-2瓜+3r=0的根的情況是（）

（A）有一個實數根（B）有兩個不相等的實數根

（C）有兩個相等的實數根（D）沒有實數根

【解析】C

例2：若關于x的方程加/+（2〃7+1?+，〃=0有兩個不相等的實數根，則實數小的取值范

圍是（）

（A）m<—（B）///>——

44

(C)m<—,且〃子0(D)且切力)

44

【解析】D

例3：(1)若方程x2-3x-l=0的兩根分別是玉和馬，則'+2?=.

(2)方程〃*+x-2m=0(陽H0)的根的情況是.

(3)以一3和1為根的一元二次方程是.

【解析】(1)—3(2)有兩個不相等的實數根(3)x2+2.r-3=0

例4：已知Ja2+8q+i6+|6-l|=0,當攵取何值時，方程依2+仆+6=0有兩個不相等

的實數根？

【解析】ZV4,且后0

4.已知方程r-3x-l=0的兩根為演和馬，求(士―3)(七-3)的值.

【解析】(再一3)(々-3)=x1x2-3(x,+x2)+9

x

(i-3)(X2-3)=-l

鞏固練習

1.已知關于x的方程1+h一2=0的一個根是1,則它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

2.下列四個說法：

①方程/+2》-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7：

②方程/-2\+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7：

7

③方程3/-7=0的兩根之和為0,兩根之積為一—：

3

④方程3/+2-0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數是()

(A)1個(B)2個(C)3個⑴)4個

3.關于x的一元二次方程a?—5、+/+。=0的一個根是0,則。的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

4.方程依2+4工-1=0的兩根之和為一2,則k=.

S方程2/一丫一4二0的兩根為a,ft,則。2+〃2=

6.已知關于x的方程V—水一3。=0的一個根是一2,則它的另一個根是.

7.方程2—+2x—1=0的兩根為百和乙，則Ix~xiI=.

8.試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程M2x2-(2m+l)x+l=0有兩個不相等的實

數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？

9.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程/一7%-1=0各根的相反數.

10.若關于X的方程/+伏2-］口+左+1=0的兩根互為相反數，則上的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

11.若m,〃是方程X2+2005.V-1=0的兩個實數根，則〃?2〃+〃?〃2—加〃的值等

于.

12.如果a,6是方程￥+尸1=0的兩個實數根，那么代數式43+42力+4〃+"的值

是.

13.已知關于x的方程/一位一2二0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)設方程的兩根為司和X”如果2($+公)〉工/2,求實數k的取值范圍.

14.一元二次方程〃/+以+3=0(。。0)的兩根為演和聲.求:

(1)|演一/I和3廣,；

33

(2)X,+X2.

15.關于x的方程f+4葉〃『0的兩根為七和々,滿足以一項1=2,求實數機的值.

16.已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2/—8升7=0的兩根，則這個直角三

角形的斜邊長等于()

(A)百(B)3(C)6(D)9

17.若玉和工2是方程2——4升1=0的兩個根，則土+土的值為()

X1%

、3

(A)6(B)4(C)3CD)-

2

18.如果關于x的方程/一2(1—Mx+/=o有兩實數根夕，則a+￡的取值范圍為()

(A)(B)a邛三；(C)(D)a+/3<\

19.已知a,b,c是A48C的三邊長，那么方cx2+g+/))x+_L=o的根的情況是()

4

(A)沒有實數根(B)有兩個不相等的實數根

(C)有兩個相等的實數根(D)有兩個異號實數根

20.若方程/-8%+加=0的兩根為$和X2,且3玉+2/=18,則〃尸.

21.己知玉和9是關于X的一元二次方程4A^2—4依?+%+]=()的兩個實數根.

(1)是否存在實數上使(2xi—/)(/-2/)=-巳成立？若存在，求出〃的值：若不存在,

2

說明理由：

(2)求使±+%-2的值為整數的實數4的整數值：

與西

(3)若七一一2,4二五，試求九的值.

22.已知關于x的方程V—(〃?—2)x—1=0.

4

(1)求證：無論加取什么實數時，這個方程總有兩個相異實數根：

(2)若這個方程的兩個實數根玉，吃滿足=1芯|+2,求用的值及相應的玉，天

23.若關于x的方程/+葉4=()的一個大于]、零一根小于1，求實數a的取值范圍.

二次函數

經典例題

22

x+y=13,.7J

例1.下列各組中的值是不是方程組z的解？

x+y=5

x=2,x=3,x=-2,

(1)(2)(4)

y=3；y=2;J=一3；

【解析】(1)(2)是方程的組解；(3)(4)不是方程組的解.

例2.解下列方程組：

y=x+5,x+y=3,

(1)\x2+/=625;(2)

xy=-10;

22

----1--=1,

(3)-54

y=x-3;

玉二15,

【解析】(1〉〈

Y二20,

5

x=一,

3

4

3.解下列不等式：

(I)3X2—X-4>0(2)x2—x-12<0；

(3)X2+3X-4>0；(4)16—8x4-x2<0.

【解析】(I)x<-l,或:(2)-3Sv<4：(3)x<-4,或.。1：(4)x=4.

3

4.?解關于x的不等式.5+2廣卜1一/?0(a為常數).

【解析】不等式可以變為(x+l+a)(x+l—a)W0,

(1)當一1—aV—1+a,即a>0時，—1~a<x<—14-a：

(2)當一1一〃=-1+”,即a=0時，不等式即為(x+l)M0,，x=-l：

(3)當一1一4>一1+小即“V0時，???一1+。心一1一。.

綜上，當。>0時，原不等式的解為一1一。變-1+a：

當。=0時，原不等式的解為x=-1：

當aVO時，原不等式的解為-1+。三區一1-a.

快速練習

1.解下列方程組：

2

廠21(X-3)2+/=9,

⑴4-4---y二L

x+2y=0;

x-j^-2=0;

x-+y~=4,

⑴22

x--y=2.

2.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0(2)3X2-4<0

(3)2x~x2>-1(4)4-x2<0

3.加取什么值時,方程組

y2=4x,

y=2x+m

有一個實數解?并求出這時方程組的解.

4.解關于x的不等式x2-(l+a)x+a<0(?為常數).

5.已知關干x不等式的解為xv—l,或X>3.試解關干X的不等式

hx2+cx+4>0.

6.試求關于X的函數y=江+2在04e2上的最大值日

集合預習冊

例1：180以上的男生是否可以構成集合

【解析】可以，180以上的男生是確定的

例2：帥哥是否可以構成集合

【解析】不可以，帥是無法確定的，一個人是否在集合內無法做出確定的判斷。

例3：集合｛1,2,3,4,5｝中，1與｛1,234,5｝的關系是什么？

【解析】屬于，用W符號表示

10分鐘

1、判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

①某班個子較高的同學

②長壽的人

③行的近似值

④倒數等于它本身的數

⑤比較小的正整數全體；

⑥血壓很高的人；

⑦著名的數學家；

⑧平面直角坐標系內所有第三象限的點

⑨平面上到點O的距離等于1的點的全體；

⑩正三角形的全體：

2、以下符號分別表示什么集合：

①N

②M

③Z

?Q

⑤R

3、用符號￡或任填空：

①/=｛2,4,8,16｝,則4_____A,8A,32—A.

②]_____N,0______N.-3_____Q,0.5Z,V2_____R.

(§)—R,y/5_____Q,|-3|N+>_VJ_____Z..

20分鐘

4.三&},那么廣

1+z

5.對于集合4二{2,4,6},若。￡彳，則6-。￡彳，那么a的值是____.

6.由實數蒼-、,國所組成的集合，其元素最多有個.

7.集合B,x,x2一2其中，x應滿足的條件是____.

8.設上{2,3,/+2"3},8={a+3,2},若己知5”,且5仁8,那么。=—.

30分鐘

9.已知集合4=卜|h2-8工+16=。}只有一個元素，試求實數A的值，并用列舉法表示集合

A.

集合

預備知識：

SK自然數的定義、有理數的定義、整數的定義、實數的定義。

S2、解決一元二次方程解的情況。

快速測試題:

1、3和-5都是整數？GohelpSI

2、。是自然數？GohelpSI

3、幾是有理數？GohelpSi

4、X2+2=0GohelpS2

5、x2-x-2=0GohelpS2

引入：

“集合”一詞與我們日常熟悉的“整體”、“一類”、“一群”等詞語的意義相近，例如：數學

書的全體、地球上人的全體、所有文具的全體，所有新東方的學員等都可以看成對象的集合。

集合論是德國數學家康托在19世紀末創立的，集合語言是現代數學的基本語言。使用

集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容。高中數學課程只將集合作為一種語言來

學習，學生將學會使用最基本的集合語言表示有關的數學對象，發展運用數學語言進行交流

的能力。

集合語言是現代數學的基本語言。在高中數學課程中，它也是學習、掌握和使用數學語

言的基礎,因此把它安排在了高中數學的起始章C教科書從學生熟悉的集合（有理數的集合、

直線或圓上的點集等）出發，結合學生身邊的實例引出元素、集合的概念，介紹了表示集合

的列舉法和描述法及韋恩圖：類比實數間的相等、大小關系，通過對具體實例共性的分析、

概括出了集合間的相等、包含關系：針對具體實例，通過類比實數間的加法運算引出了集合

間“并”的運鳧，并在此基礎上進一步擴展，介紹了“交”的運和和“補”的運和。這里采用類比

方式處理集合間的關系和運算的目的在于體現知識之間的聯系，滲透數學學習的方法。

適當地引入集合知識是在中學數學教材中滲透近代數學思想的基礎。這里“滲透”的意思

是，學習與中學數學內容相關的集合語言，使中學數學內容表述更加準確，邏輯更加清楚，

以幫助學生正確的理解和運用中學數學知識。應注意，在中學不可能用集合的理論嚴格地建

立中學數學體系。

那什么叫做集合？什么叫做元素呢？

下而我們看看幾個集合的例子：

中國代表團步入亞特蘭大奧林匹克體育場的照片，代表團的309名成員構成一個集合；

平行四邊形的全體構成一個集合，其中每個平行四邊形都是這個集合的元素；

圓是平面上與一個定點O的距離等于定長r的點的集合；

線段的垂直平分線是到一條線段的兩個端點的距離相等的點的集合：

中國的直轄市（北京，上海，天津，重慶）也可組成一個集合；

中國古代的四大發明（火藥，印刷術，指南針，造紙術）也課組成一個集合;

下面我們說幾個不是集合的例子:

①接近于0的數的全體；

②比較小的正整數全體：

③我的近似值的全體;

④某班個子較高的同學:

⑤某班學習較好的學生。

基礎知識:

1.集合及元素的概念

（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）.

（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素

（3）元素用小寫字母…表示；集合用大寫字母48,C,…表示.

（4）不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

（5）集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。

2.元素與集合間關系：

（1）屬于：如果〃是集合A的元素，就說。屬于A,記作

（2）不屬于：如果。不是集合A的元素，就說〃不屬于A,記作。任力

3.集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，

或者不在，不能模棱兩可.

（2）互異性：集合中的元素沒有重復

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）

4.常用數集及記法

（I）自然數集：全體非負整數的集合.記作N,N={0,1,2,3,…}

（2）正整數集：非負整數集內排除0的集記作N*或N+，V={1,2,3,…}

（3）整數集：全體整數的集合.記作Z,Z={0,±l,±2,…}

（4）有理數集：全體有理數的集合記作0,0={所有整數與分數}

（5）實數集：全體實數的集合記作及，/?-{數軸上所有的點所對應的數}

課時例題:

例1.若。是火中的元素，但不是。中的元素，則。可以是()

A.3.14B.-5C.-D."

7

【解析】由題意知。應為無理數，故〃可以為J7。答案：D

例2.下面右.四個結論：

①集合N中最小數為1；②若一。任N,則aeN；③若ae/V,6cN,則。+力的最小

值為2：④所有的正數組成一個集合.其中，正確結論的個數為()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①錯，最小為0：②錯，若。=1.5,-a=-\.5,則一1.5任N：③錯，若〃=(),

/)=0,則。+8=0：④正確.答案：B

例3.給出下列四個命題：①平方等于一1的實數不能組成一個集合；②正方形組成的集合

只有一個元素；③f+2x+l=()的解集是空集：④若。￡力，則力有可能為空集。其中，

正確命題的個數為()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①能組成一個空集；②有很多元素(大小不同的正方形)；③方程/+2工+1=0有

解、二一1：④力.說明力中含有元素a,無論。為何值，都是一個確定的數.，力不

可能為空集.答案：A

例4.已知①行wR：②;€0；③0=｛0｝：④0史N：⑤不￡。；⑥一3wZ。其中正

確的個數為.

【解析】③錯誤，0是元素，也｝是一個集合；④06N：⑤乃任0,①②⑥正確.答案：3

快速練習:

1.判斷下列說法是否正確，并說明理由.

(1)某個單位里的年輕人組成?個集合；

(2)1,--,」這些數組成的集合有5個元素;

2422

(3)由。力,c組成的集合與由aa,c組成的集合是同一個集合.

2.下列命題中正確的是()

①0與｛0｝｝表示同一個集合；②由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛｛3,2,1｝：③方程

(X-1)2(X-2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝；④集合｛x|4vx<5｝可以用列舉法表示.

A.只有①和④B,只有②和③

C.只有②D.以上命題都不對

3.設xwA,集合力中含有三個元素3,x,X7-2x0

(1)求元素x應滿足的條件：

(2)若一2d,求實數X。

引入:

如果一個集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有的元素都列舉出來。

另一種更加有效的描述集合的方法，是用集合中元素的特征性質來描述。

基礎知識:

5.集合的表示方法；

（I）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；

例：由方程x2-l=O的所有解組成的集合可表示為{-1,1}

例；所有大于0且小于1。的奇數組成的集合可表示為{1,357,9}

（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內.

①具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.語言描述法：例

{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法：例不等式x-3>2的解集是卜€/?卜-3〉2}或卜卜-3〉2}

注意：列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集

合中兀素較多或有尢限個兀素時，小宜米用列舉法.

（3）Venn圖（韋恩圖）：

即畫一條封閉的曲線，用它的內部來表示一個集合，如下圖所示：

表示任意?個集合A

表示{3,9,12}

6.集合的分類

（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合中

課時例題:

例1.集合卜eN+卜—3<2}的另一種表示方法是（）

A.{0,1,23,4}B.{1,23,4}

C.{0,123,4,5}D.{12,3,4,5}

【解析】題目中用描述法表示集合，選項中想讓用列舉法表示集合。題口中集合中元素滿足

工<5且工€%+，所以集合的元素有1,2,3,4。答案：B

例2.下列集合的表示法正確的是（）

A.第二、四象限內的點集可表示為M

B.不等式x-l<4的解集為{x<5}

C.{全體整數}

D.實數集口J表本為A

【解析】選項A中應是個<0；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規范

格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的”｛『與“全體”意思重復.答案：D

快速練習:

方程組+'"2的解集是（）

I.

\x-2y=-\

A.{x=lj=l}B.{1}C.{（1,1）}D.｛（xj］（l』）｝

2.已知集合〃=卜,=7〃+2,〃wN},則2011M,2012M（填e或任）.

3.已知集合力=1工——12則用列舉法表示為_________

5-x

4.用適當的方法描述下列集合，并且說明它們是有限集還是無限集.

⑴方程/-9=0的解集；

(2)大于()且小于10的奇數構成的集合:

(3)不等式工一3>2的解集：

(4)拋物線y=/上的點構成的采合：

(5)方程/+、+1=0的解集.

5.已知集合力=卜|米2-8.丫+16=0｝只有一個元素，試求實數上的值，并用列舉法表示集

合Ao

每日一法：

分類討論——利用互異性

方法描述：

對于形如ad+瓜+。=0的討論，討論的方向主要集中在是一元一次方程，還是一元二次

方程。

方法步驟：

已知集合/=卜,/-3X+2=。｝,其中。為常數，且aeR

若片中只有一個元素，求。的值：

2戶不、

S1：當。=0時，方程變為一3x+2=0,解得X=—,A=\-\,滿足題意

31

S2：當。工0時，方程為。/-3》+2=0,若4中只有一個元素，則有△=(—3)2-44x2=0

解得。=2,滿足題意

8

29

S3：若集合力中只有一個元素，則。=一或一。

38

方法練習：

1.求集合B，x,——2x}中，元素x應滿足的條件

2.已知xw{1,2,/},則實數x=

3.已知集合力=卜,/一3%+2=()},其中。為常數，且awR

(I)若力是空集，求。的范圍；

(2)若4中至多只有一個元素，求。的范圍.

4.已知M={2,d",N={2a,2,/},且M=N,求a,4的值.

5.已知集合4={a,a+b,a+2b},B={。，。、，〃入二}求實數x的直

集合關系預習冊

例題I：A=｛1,2,3卜B=｛b2,3,針

【解析】集合4中的任意一個元素都是集合4的元素，所以我們可以記作AUB，但我們發

現B中比A中多一個元