解構(gòu)與提升：六年級學(xué)生小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題的策略”表征水平探究一、引言1.1研究背景在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，“解決問題的策略”占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的關(guān)鍵組成部分，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生解決實(shí)際問題能力的重要途徑。通過對各種解決問題策略的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識與實(shí)際生活情境緊密相連，從而更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)表征作為學(xué)生理解和處理數(shù)學(xué)問題的重要方式，其水平的高低直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解深度和解決能力。良好的數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀、易懂的形式，使他們能夠迅速把握問題的關(guān)鍵信息，找到解決問題的思路和方法。例如，在解決行程問題時(shí)，學(xué)生可以通過繪制線段圖的方式，清晰地展示出路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，從而更輕松地列出方程或算式進(jìn)行求解。六年級作為小學(xué)階段的最后一年，學(xué)生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期。在這一階段，他們面臨的數(shù)學(xué)問題更加復(fù)雜多樣，對解決問題策略的需求也更為迫切。研究六年級學(xué)生在“解決問題的策略”方面的數(shù)學(xué)表征水平，不僅有助于深入了解這一階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展特點(diǎn)和規(guī)律，還能為教師的教學(xué)提供有針對性的指導(dǎo)，幫助教師更好地選擇教學(xué)方法、設(shè)計(jì)教學(xué)活動，從而提高教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。1.2研究目的與問題本研究旨在深入剖析六年級學(xué)生在“解決問題的策略”學(xué)習(xí)中所呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)表征水平，具體目的如下：其一，全面了解六年級學(xué)生在運(yùn)用“解決問題的策略”時(shí)所采用的數(shù)學(xué)表征方式，包括語詞表征、圖畫表征、符號表征等，明確各種表征方式的使用頻率和特點(diǎn)；其二，精準(zhǔn)評估六年級學(xué)生在“解決問題的策略”上的數(shù)學(xué)表征水平，確定學(xué)生在不同表征層次上的分布情況，為后續(xù)教學(xué)提供量化依據(jù)；其三，深入探究影響六年級學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的相關(guān)因素，涵蓋學(xué)生自身的認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及教師的教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)等，以便針對性地提出改進(jìn)措施?；谝陨涎芯磕康?，本研究擬解決以下具體問題：六年級學(xué)生在解決不同類型數(shù)學(xué)問題（如應(yīng)用題、幾何問題、計(jì)算問題等）時(shí)，數(shù)學(xué)表征水平是否存在顯著差異？若存在，差異主要體現(xiàn)在哪些方面？例如，在解決行程應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生是否更傾向于使用線段圖進(jìn)行表征，而在解決幾何圖形問題時(shí)，又更擅長運(yùn)用圖形表征來分析問題。不同性別、學(xué)習(xí)成績的六年級學(xué)生在“解決問題的策略”數(shù)學(xué)表征水平上是否有所不同？這種差異對教學(xué)有何啟示？比如，男生和女生在符號表征和文字表征的運(yùn)用上是否存在性別優(yōu)勢，學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生與成績相對較差的學(xué)生在數(shù)學(xué)表征的深度和廣度上有何區(qū)別。教師的教學(xué)策略（如教學(xué)方法的選擇、教學(xué)過程的引導(dǎo)等）如何影響六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平？如何通過優(yōu)化教學(xué)策略來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力？以探究式教學(xué)和講授式教學(xué)為例，分析哪種教學(xué)方式更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力的發(fā)展，以及在教學(xué)過程中，教師如何引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行數(shù)學(xué)表征。1.3研究意義本研究具有重要的理論與實(shí)踐意義，不僅能為小學(xué)數(shù)學(xué)教育理論注入新的活力，還能為教學(xué)實(shí)踐提供切實(shí)可行的指導(dǎo)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和未來發(fā)展產(chǎn)生積極而深遠(yuǎn)的影響。理論意義：本研究通過對六年級學(xué)生在“解決問題的策略”方面數(shù)學(xué)表征水平的深入探究，能夠進(jìn)一步豐富小學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的理論。具體而言，研究不同類型數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)表征水平的關(guān)聯(lián)，有助于完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論中關(guān)于問題解決與思維表征的部分，明確在不同問題情境下學(xué)生思維的特點(diǎn)和規(guī)律；對不同性別、學(xué)習(xí)成績學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平差異的分析，為教育心理學(xué)中關(guān)于個(gè)體差異與學(xué)習(xí)效果關(guān)系的研究提供了新的實(shí)證數(shù)據(jù)，有助于深化對學(xué)生學(xué)習(xí)個(gè)體差異的理解；探討教師教學(xué)策略對學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的影響，能夠?yàn)榻虒W(xué)方法與學(xué)習(xí)效果之間的關(guān)系研究提供新的視角和實(shí)證支持，進(jìn)一步豐富教學(xué)理論，為教育工作者在教學(xué)策略的選擇和應(yīng)用上提供理論依據(jù)。實(shí)踐意義：對教師教學(xué)實(shí)踐而言，本研究的成果具有直接的指導(dǎo)價(jià)值。通過了解學(xué)生在“解決問題的策略”上的數(shù)學(xué)表征水平，教師能夠更精準(zhǔn)地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況和需求，從而有針對性地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和方法。例如，對于在某種表征方式上存在困難的學(xué)生，教師可以設(shè)計(jì)專門的教學(xué)活動進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練；根據(jù)學(xué)生在不同類型數(shù)學(xué)問題上的表征水平差異，教師可以優(yōu)化教學(xué)順序和重點(diǎn)，先解決學(xué)生表征水平較低的問題類型，逐步提升學(xué)生的綜合能力。對學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展來說，明確自身的數(shù)學(xué)表征水平和存在的問題，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)識自己的學(xué)習(xí)優(yōu)勢和不足，從而主動調(diào)整學(xué)習(xí)策略，提高學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，教師根據(jù)研究結(jié)果提供的個(gè)性化指導(dǎo)，也有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷突破自我，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。二、文獻(xiàn)綜述2.1小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題的策略”相關(guān)研究在小學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，“解決問題的策略”一直是研究的重點(diǎn)。眾多學(xué)者從策略的定義、分類以及教學(xué)方法等多個(gè)維度展開研究，取得了豐碩的成果。在策略定義方面，有學(xué)者指出，策略是一種較為宏觀的思考問題的思路，它背后蘊(yùn)含著某種或某些基本的思想與方法，旨在幫助學(xué)生找到解決問題的有效途徑。例如在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，策略并非是具體的解題步驟，而是一種引導(dǎo)性的思維方向，像轉(zhuǎn)化策略，就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，其背后蘊(yùn)含的是化歸思想，通過這種策略，學(xué)生能夠突破思維障礙，找到解決問題的關(guān)鍵。關(guān)于策略的分類，不同學(xué)者從不同角度提出了多種分類方式。常見的有直觀策略，如通過觀察、觸摸、操作實(shí)物等直觀手段來理解數(shù)學(xué)問題和解決問題，在學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，學(xué)生通過觀察圖形的形狀、大小、位置關(guān)系等，能快速找到解題思路；推理策略，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等知識進(jìn)行邏輯推理來解決問題，在解答應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生依據(jù)題目中的條件和數(shù)學(xué)原理進(jìn)行推理，從而得出答案；模式識別策略，通過識別數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律、模式來解決問題，比如在數(shù)列問題中，學(xué)生通過觀察數(shù)列的排列規(guī)律，找到通項(xiàng)公式，進(jìn)而解決問題。還有學(xué)者將其分為畫圖策略、轉(zhuǎn)化策略、列表策略、枚舉策略、替換策略、逆推策略等。畫圖策略常見的畫圖方式有線段圖、集合圖等，能將疑難問題的文字“翻譯成圖”，幫助學(xué)生理清思路，如在解決行程問題時(shí)，通過繪制線段圖可以清晰地展示路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系；轉(zhuǎn)化策略能把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把未知的問題變?yōu)橐阎膯栴}，在計(jì)算不規(guī)則圖形面積時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求解；列表策略將問題的條件信息用表格的形式列舉出來，便于分析數(shù)量關(guān)系，在解決搭配問題時(shí)，通過列表可以直觀地展示各種搭配方式；枚舉策略在解決特殊問題時(shí)，列舉出被研究對象的所有可能情況，使問題容易獲得解決，如在確定三角形的內(nèi)角時(shí)，根據(jù)已知條件列舉出所有可能的角度組合；替換策略用于解決幾個(gè)數(shù)量與總量之間的關(guān)系問題，能把兩個(gè)量與總量的關(guān)系簡化為一個(gè)量與總量的關(guān)系，比如在“雞兔同籠”問題中，可通過替換的方法將雞和兔的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一種動物的數(shù)量與總量的關(guān)系來求解；逆推策略從事情的結(jié)果出發(fā)，倒過去推想它最開始的情況，在解決還原問題時(shí)，運(yùn)用逆推策略可以快速找到答案。在教學(xué)方法研究上，眾多學(xué)者強(qiáng)調(diào)了情境創(chuàng)設(shè)的重要性。教師應(yīng)根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有趣、真實(shí)的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并嘗試運(yùn)用不同的解題策略。例如在教學(xué)“認(rèn)識人民幣”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)超市購物的情境，讓學(xué)生在模擬購物的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決找零等問題，從而提高他們運(yùn)用解決問題策略的能力。策略訓(xùn)練也是教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)有意識地訓(xùn)練小學(xué)生的解題策略，通過一系列有針對性的練習(xí)，幫助他們掌握各種解題方法，形成個(gè)性化的解題模式。在學(xué)習(xí)“植樹問題”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)不同類型的植樹問題，讓學(xué)生通過練習(xí)，掌握不同情況下的解題策略。及時(shí)的反饋與評價(jià)同樣不可或缺，教師應(yīng)及時(shí)給予小學(xué)生解題過程的反饋，幫助他們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷改進(jìn)解題策略。在學(xué)生完成作業(yè)或測試后，教師詳細(xì)的批改和點(diǎn)評，指出學(xué)生在解題過程中策略運(yùn)用的優(yōu)點(diǎn)和不足，能促進(jìn)學(xué)生不斷提升運(yùn)用策略解決問題的能力。2.2數(shù)學(xué)表征的相關(guān)研究數(shù)學(xué)表征是指個(gè)體將數(shù)學(xué)信息進(jìn)行編碼、存儲和表達(dá)的方式，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過數(shù)學(xué)表征，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念、關(guān)系和問題轉(zhuǎn)化為具體的、可操作的形式，從而更好地理解和處理數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)表征的類型豐富多樣，主要包括語詞表征、關(guān)系表征、圖畫表征、圖式表征和符號表征等。語詞表征是用語言文字來描述數(shù)學(xué)概念、問題和解題思路，它能夠準(zhǔn)確地傳達(dá)數(shù)學(xué)信息，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵。例如，在描述三角形的定義時(shí)，會使用“由三條線段圍成的封閉圖形”這樣的語詞表述。關(guān)系表征側(cè)重于揭示數(shù)學(xué)對象之間的邏輯聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生能夠把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)和規(guī)律。比如在學(xué)習(xí)比例關(guān)系時(shí)，學(xué)生要理解兩個(gè)比相等的關(guān)系，通過這種關(guān)系來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。圖畫表征借助圖形、圖像等直觀形式來表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，將抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀形象，有助于學(xué)生理解和思考。像在解決行程問題時(shí)，繪制線段圖可以清晰地展示路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，幫助學(xué)生找到解題思路。圖式表征是一種結(jié)構(gòu)化的知識表征方式，它將數(shù)學(xué)知識按照一定的框架和模式進(jìn)行組織，使學(xué)生能夠系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識。以數(shù)學(xué)公式的圖式表征為例，學(xué)生可以通過理解公式中各個(gè)變量之間的關(guān)系，以及公式所適用的條件和范圍，來更好地運(yùn)用公式解決問題。符號表征則是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算和關(guān)系，具有簡潔、精確的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的表達(dá)方式。如用“+”“-”“×”“÷”等符號表示四則運(yùn)算，用“x”“y”等字母表示未知數(shù)，這些符號能夠簡潔地表達(dá)數(shù)學(xué)思想，方便學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理。數(shù)學(xué)表征對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有深遠(yuǎn)的影響。從知識理解的角度來看，不同類型的數(shù)學(xué)表征能夠?yàn)閷W(xué)生提供多樣化的視角，幫助他們更全面、深入地理解數(shù)學(xué)知識。例如，對于分?jǐn)?shù)的概念，學(xué)生既可以通過語詞表征來理解“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”，也可以通過圖畫表征，如將一個(gè)圓形平均分成若干份，用陰影部分表示分?jǐn)?shù)，從而更直觀地感受分?jǐn)?shù)的含義。在問題解決方面，數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為易于處理的形式，找到解決問題的關(guān)鍵。當(dāng)學(xué)生面對一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，通過分析題目中的條件和問題，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)表征方式，如列表、畫圖等，能夠清晰地梳理出數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到解題方法。在思維發(fā)展層面，數(shù)學(xué)表征有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維和創(chuàng)新思維。例如，符號表征要求學(xué)生具備一定的抽象思維能力，能夠?qū)⒕唧w的數(shù)學(xué)問題抽象為符號表達(dá)式；而圖畫表征和關(guān)系表征則能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓他們從不同的角度思考問題，探索多種解題策略。不同的學(xué)者從不同的角度對數(shù)學(xué)表征水平進(jìn)行了劃分，其理論依據(jù)各有側(cè)重。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，兒童的認(rèn)知發(fā)展是一個(gè)從具體到抽象、從低級到高級的過程。在數(shù)學(xué)表征方面，兒童最初可能只能運(yùn)用直觀的圖畫表征或簡單的語詞表征來理解數(shù)學(xué)問題，隨著認(rèn)知能力的發(fā)展，他們逐漸能夠運(yùn)用符號表征和更復(fù)雜的圖式表征進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。維果斯基的社會文化理論強(qiáng)調(diào)社會文化環(huán)境對個(gè)體認(rèn)知發(fā)展的影響。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平會受到教師的教學(xué)方法、同伴的交流合作以及學(xué)習(xí)資源等社會文化因素的影響。如果教師在教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種數(shù)學(xué)表征方式，并提供豐富的學(xué)習(xí)材料和實(shí)踐機(jī)會，學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平就可能得到更好的發(fā)展。信息加工理論則從信息處理的角度出發(fā)，認(rèn)為數(shù)學(xué)表征是個(gè)體對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行編碼、存儲和提取的過程。根據(jù)這一理論，數(shù)學(xué)表征水平的差異體現(xiàn)在個(gè)體對數(shù)學(xué)信息的處理速度、準(zhǔn)確性和深度上。高水平的數(shù)學(xué)表征者能夠更快速、準(zhǔn)確地對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行編碼和存儲，并在需要時(shí)靈活地提取和運(yùn)用這些信息，而低水平的數(shù)學(xué)表征者在信息處理過程中可能會遇到困難，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力較弱。2.3六年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)研究六年級學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中展現(xiàn)出獨(dú)特的特點(diǎn)，這些特點(diǎn)對他們在“解決問題的策略”中的表征水平有著顯著的影響。從認(rèn)知發(fā)展角度來看，六年級學(xué)生正處于從具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段的過渡時(shí)期。他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，對數(shù)學(xué)知識的理解不再局限于直觀的、具體的事物，開始能夠運(yùn)用抽象概念進(jìn)行思考。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的乘除法時(shí)，學(xué)生不再僅僅依賴于分實(shí)物等直觀方式來理解，而是可以通過對分?jǐn)?shù)概念的抽象理解進(jìn)行運(yùn)算。這種認(rèn)知發(fā)展水平使得他們在數(shù)學(xué)表征上有了更多的選擇。他們開始嘗試運(yùn)用符號表征來解決問題，在解決行程問題時(shí)，會用公式“路程=速度×?xí)r間”來進(jìn)行計(jì)算，而不僅僅是通過畫圖或列舉具體數(shù)值的方式。然而，這一過渡階段也使得部分學(xué)生在面對復(fù)雜問題時(shí)，容易出現(xiàn)認(rèn)知沖突。當(dāng)遇到需要綜合運(yùn)用多個(gè)知識點(diǎn)的問題時(shí)，有些學(xué)生可能難以將抽象概念與具體情境有效結(jié)合，導(dǎo)致數(shù)學(xué)表征出現(xiàn)偏差。在思維方式上，六年級學(xué)生的思維開始從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)變。他們逐漸能夠運(yùn)用歸納、演繹、類比等邏輯思維方法來解決數(shù)學(xué)問題。在學(xué)習(xí)幾何圖形的面積和體積時(shí)，學(xué)生可以通過歸納不同圖形的面積和體積公式的推導(dǎo)過程，總結(jié)出一般的規(guī)律，從而更好地理解和應(yīng)用這些公式。這種思維方式的轉(zhuǎn)變對數(shù)學(xué)表征水平產(chǎn)生了積極的影響。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生能夠運(yùn)用邏輯思維對問題進(jìn)行分析和推理，從而選擇更合適的數(shù)學(xué)表征方式。在解決“雞兔同籠”問題時(shí)，學(xué)生會運(yùn)用假設(shè)法進(jìn)行邏輯推理，并用算式或方程等符號表征來表達(dá)解題思路。但在這一轉(zhuǎn)變過程中，部分學(xué)生可能由于邏輯思維能力發(fā)展不夠成熟，在運(yùn)用數(shù)學(xué)表征時(shí)出現(xiàn)邏輯混亂的情況。在列方程解決問題時(shí)，可能會因?yàn)檎也粶?zhǔn)數(shù)量關(guān)系而列出錯(cuò)誤的方程。學(xué)習(xí)習(xí)慣方面，六年級學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識逐漸增強(qiáng)。他們開始主動探索數(shù)學(xué)知識，嘗試獨(dú)立解決問題。在完成數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，有些學(xué)生會主動查閱資料、思考不同的解題方法，而不是僅僅依賴?yán)蠋煹闹v解。這種自主學(xué)習(xí)習(xí)慣有利于提高他們的數(shù)學(xué)表征水平。通過自主探索，學(xué)生能夠更深入地理解數(shù)學(xué)知識，從而在數(shù)學(xué)表征時(shí)更加準(zhǔn)確和靈活。自主學(xué)習(xí)的學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，會嘗試從不同的角度進(jìn)行思考，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)表征方式來解決問題，如畫圖、列表、列方程等。然而，也有部分學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力不足，在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)缺乏主動思考的意識，過度依賴他人的幫助，這在一定程度上限制了他們數(shù)學(xué)表征水平的提升。這類學(xué)生在解決問題時(shí)，往往只能采用老師教過的常規(guī)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，缺乏創(chuàng)新和靈活性。2.4已有研究述評已有研究在小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題的策略”以及數(shù)學(xué)表征領(lǐng)域取得了顯著成果，為后續(xù)研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，但仍存在一些有待拓展和深化的空間。在小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題的策略”研究方面，對策略的定義、分類和教學(xué)方法等方面的探討為教師的教學(xué)實(shí)踐提供了清晰的指導(dǎo)框架。研究者們明確了各種策略的內(nèi)涵和應(yīng)用方式，使教師能夠有針對性地培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。這些研究主要側(cè)重于策略本身的理論探討，對學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用策略過程中的表現(xiàn)和困難關(guān)注不足。對于學(xué)生在不同類型問題中如何選擇和運(yùn)用策略，以及學(xué)生在策略運(yùn)用過程中的思維過程和心理機(jī)制，還缺乏深入的實(shí)證研究。在研究解決問題策略時(shí)，較少考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，如學(xué)習(xí)風(fēng)格、興趣愛好等對策略選擇和運(yùn)用的影響。數(shù)學(xué)表征的相關(guān)研究對數(shù)學(xué)表征的類型、影響以及水平劃分進(jìn)行了深入剖析，為理解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程提供了重要視角。不同類型的數(shù)學(xué)表征對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極作用得到了充分闡述，數(shù)學(xué)表征水平劃分的理論依據(jù)也為評估學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提供了參考。這些研究大多是從整體上對數(shù)學(xué)表征進(jìn)行分析，針對特定年級、特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)表征研究相對較少。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，六年級學(xué)生面臨著獨(dú)特的學(xué)習(xí)任務(wù)和思維發(fā)展階段，對他們在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平進(jìn)行深入研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，但這方面的研究還較為匱乏。數(shù)學(xué)表征與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果之間的因果關(guān)系還需要進(jìn)一步的實(shí)證研究來驗(yàn)證，以更好地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐。六年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)的研究雖然已經(jīng)揭示了該階段學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展、思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面的特點(diǎn)及其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，但在與“解決問題的策略”數(shù)學(xué)表征水平的關(guān)聯(lián)研究上還存在欠缺。對認(rèn)知發(fā)展、思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素如何具體影響學(xué)生在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平，還缺乏系統(tǒng)的分析和研究。在教學(xué)實(shí)踐中，如何根據(jù)六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，有針對性地提高他們的數(shù)學(xué)表征水平，以更好地運(yùn)用解決問題的策略，也需要進(jìn)一步的探索和研究。本研究擬在以下方面進(jìn)行拓展和深化：其一，深入探究六年級學(xué)生在“解決問題的策略”中數(shù)學(xué)表征水平的現(xiàn)狀，通過實(shí)證研究，全面了解學(xué)生在不同類型數(shù)學(xué)問題中數(shù)學(xué)表征的方式、特點(diǎn)和水平差異；其二，分析不同性別、學(xué)習(xí)成績的六年級學(xué)生在數(shù)學(xué)表征水平上的差異，以及這些差異背后的影響因素，為個(gè)性化教學(xué)提供依據(jù)；其三，研究教師的教學(xué)策略對六年級學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的影響機(jī)制，探索如何通過優(yōu)化教學(xué)策略來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力，進(jìn)而提高他們運(yùn)用“解決問題的策略”的能力。三、研究設(shè)計(jì)3.1研究對象本研究選取了揚(yáng)州市M小學(xué)六年級的學(xué)生作為研究對象。揚(yáng)州市作為江蘇省的重要地級市，擁有豐富的教育資源和多樣的教育環(huán)境，其小學(xué)教育在全省乃至全國都具有一定的代表性。M小學(xué)在揚(yáng)州市的小學(xué)教育中處于中等水平，學(xué)校的師資力量、教學(xué)設(shè)施以及學(xué)生的整體素質(zhì)都較為均衡，能夠較好地反映出揚(yáng)州市小學(xué)教育的一般情況。六年級作為小學(xué)階段的最后一年，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上已經(jīng)積累了一定的知識和經(jīng)驗(yàn)，正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期，他們在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平具有較高的研究價(jià)值?？紤]到不同班級的學(xué)生在學(xué)習(xí)風(fēng)格、學(xué)習(xí)氛圍以及教師教學(xué)方法等方面可能存在差異，為了確保研究結(jié)果的全面性和代表性，本研究選取了六年級的4個(gè)班級，共210位同學(xué)作為研究對象。這4個(gè)班級涵蓋了不同層次的學(xué)生，包括學(xué)習(xí)成績較好、中等和相對較差的學(xué)生，以及不同性別、不同學(xué)習(xí)習(xí)慣的學(xué)生，能夠全面反映六年級學(xué)生在“解決問題的策略”數(shù)學(xué)表征水平上的多樣性。在抽樣方法上，采用了整群抽樣的方式。整群抽樣是將總體中若干個(gè)單位合并為組，這樣的抽樣方法簡單易行，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)獲取大量的數(shù)據(jù)，同時(shí)也能夠保證樣本的代表性。由于同一個(gè)班級的學(xué)生在教學(xué)環(huán)境、課程設(shè)置等方面具有一致性，通過整群抽樣選取的班級，能夠較好地反映出該年級學(xué)生的整體情況。在確定抽樣班級時(shí)，與學(xué)校的教學(xué)管理部門進(jìn)行了溝通，根據(jù)學(xué)校對各班級的綜合評估以及過往的教學(xué)成績記錄，選擇了具有代表性的4個(gè)班級，以確保研究結(jié)果能夠準(zhǔn)確地反映六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平現(xiàn)狀。3.2研究方法3.2.1測試卷編制本研究的測試卷編制以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為根本依據(jù)，緊密結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級教材內(nèi)容，并充分考慮六年級學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和思維發(fā)展特點(diǎn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確規(guī)定了小學(xué)數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求，為測試卷的編制提供了方向指引。例如，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算及應(yīng)用，測試卷中就會相應(yīng)地設(shè)置關(guān)于分?jǐn)?shù)乘除法、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題等題目；在“圖形與幾何”領(lǐng)域，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對圖形的認(rèn)識、測量和圖形運(yùn)動的理解，測試卷則會包含如三角形、四邊形的面積計(jì)算，以及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等相關(guān)問題。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級教材是教學(xué)的直接載體，其中涵蓋的知識點(diǎn)和題型為測試卷的編制提供了豐富的素材。測試卷中會選取教材中的重點(diǎn)內(nèi)容，像“解決問題的策略”單元里的假設(shè)策略、轉(zhuǎn)化策略等，通過改編教材中的例題、習(xí)題，設(shè)計(jì)出具有針對性的測試題目，以考查學(xué)生對這些策略的掌握程度?？紤]到六年級學(xué)生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的關(guān)鍵時(shí)期，在測試卷編制過程中，注重題目的難度層次和思維要求的梯度。既有考查基礎(chǔ)知識和基本技能的題目，如簡單的四則運(yùn)算、圖形的基本特征判斷等，這些題目能夠檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和公式的熟悉程度；也有需要學(xué)生運(yùn)用多種策略進(jìn)行分析和解決的綜合性題目，如復(fù)雜的應(yīng)用題、圖形的組合與分割問題等，這類題目旨在評估學(xué)生的思維能力和策略運(yùn)用水平。測試卷涵蓋了多種類型的數(shù)學(xué)問題，包括應(yīng)用題、幾何問題、計(jì)算問題和統(tǒng)計(jì)問題等。在應(yīng)用題方面，涉及行程問題、工程問題、銷售問題等，如“甲乙兩人同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲的速度是每小時(shí)5千米，乙的速度是每小時(shí)4千米，經(jīng)過3小時(shí)兩人相遇，求A、B兩地的距離”，通過這類問題考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，以及對數(shù)量關(guān)系的理解和分析能力。幾何問題包括三角形、四邊形、圓形的周長、面積和體積計(jì)算，以及圖形的變換等，像“一個(gè)圓柱的底面半徑是3厘米，高是5厘米，求它的側(cè)面積和體積”，以此檢驗(yàn)學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識和空間想象能力。計(jì)算問題包含整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，以及簡便運(yùn)算等，如“計(jì)算3.5×（4.2+1.8）÷0.5”，主要考查學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確性和運(yùn)算技巧。統(tǒng)計(jì)問題則涉及數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和圖表的繪制與解讀，如“根據(jù)給定的統(tǒng)計(jì)圖表，回答相關(guān)問題，并計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”，以評估學(xué)生對統(tǒng)計(jì)知識的掌握和應(yīng)用能力。每個(gè)類型的數(shù)學(xué)問題都對應(yīng)著特定的知識點(diǎn)，應(yīng)用題主要涉及數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解和運(yùn)用；幾何問題側(cè)重于圖形的性質(zhì)、特征和空間觀念的考查；計(jì)算問題聚焦于學(xué)生的基本運(yùn)算能力；統(tǒng)計(jì)問題則關(guān)注學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理和分析能力。通過涵蓋多種類型的數(shù)學(xué)問題，測試卷能夠全面、系統(tǒng)地考查六年級學(xué)生在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平。3.2.2訪談法訪談的主要目的是深入了解六年級學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中的解題思路和數(shù)學(xué)表征過程，挖掘?qū)W生在運(yùn)用“解決問題的策略”時(shí)的思維方式和內(nèi)在邏輯。通過與學(xué)生面對面的交流，能夠獲取學(xué)生在面對具體數(shù)學(xué)問題時(shí)的思考過程、遇到的困難以及對不同解題策略的理解和運(yùn)用情況，為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平提供更豐富、更深入的信息。訪談對象從參與測試的210位六年級學(xué)生中選取，采用分層抽樣的方法。根據(jù)學(xué)生的測試成績，將學(xué)生分為成績優(yōu)秀、成績中等和成績較差三個(gè)層次，每個(gè)層次隨機(jī)抽取10名學(xué)生，共30名學(xué)生作為訪談對象。這樣的抽樣方式能夠確保訪談對象具有代表性，涵蓋不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，從而全面了解不同層次學(xué)生在“解決問題的策略”數(shù)學(xué)表征水平上的差異。訪談問題的設(shè)計(jì)遵循開放性、針對性和啟發(fā)性的原則。開放性原則體現(xiàn)在問題不設(shè)置固定答案，鼓勵(lì)學(xué)生自由表達(dá)自己的想法和思路，如“請你說一說你是怎么想到用這種方法來解決這個(gè)問題的”，讓學(xué)生能夠充分闡述自己的思考過程。針對性原則要求問題緊密圍繞測試卷中的題目和學(xué)生的解題情況展開，如“在解決這道行程問題時(shí)，你為什么選擇畫線段圖來分析”，直接針對學(xué)生在具體問題中的數(shù)學(xué)表征方式進(jìn)行詢問。啟發(fā)性原則是指問題能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考和反思，如“你覺得還有其他方法可以解決這個(gè)問題嗎”，激發(fā)學(xué)生拓展思維，探索多種解題策略。訪談過程在安靜、舒適的環(huán)境中進(jìn)行，以減輕學(xué)生的緊張情緒。訪談前，向?qū)W生簡要介紹訪談的目的和流程，使其了解訪談的意義，消除顧慮。訪談時(shí)，訪談?wù)哒J(rèn)真傾聽學(xué)生的回答，使用溫和、鼓勵(lì)的語言與學(xué)生交流，營造輕松的氛圍。對于學(xué)生的回答，訪談?wù)哌M(jìn)行詳細(xì)記錄，包括學(xué)生的語言表述、表情和肢體動作等，以便后續(xù)分析。如果學(xué)生的回答不夠清晰或存在疑問，訪談?wù)呒皶r(shí)進(jìn)行追問和澄清，確保獲取準(zhǔn)確的信息。訪談結(jié)束后，對訪談記錄進(jìn)行整理和分析，提煉出學(xué)生在解題思路和數(shù)學(xué)表征過程中的關(guān)鍵信息，為研究提供有力支持。3.3數(shù)據(jù)收集與分析在測試卷發(fā)放環(huán)節(jié)，為確保測試的順利進(jìn)行和數(shù)據(jù)的有效性，提前與揚(yáng)州市M小學(xué)的相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)和六年級任課教師進(jìn)行了充分溝通，協(xié)調(diào)好測試時(shí)間和場地。在測試當(dāng)天，由經(jīng)過培訓(xùn)的研究人員親自到各個(gè)班級發(fā)放測試卷。在發(fā)放過程中，向?qū)W生詳細(xì)說明了測試的目的、要求和注意事項(xiàng)，強(qiáng)調(diào)本次測試結(jié)果不會影響他們的學(xué)業(yè)成績，以減輕學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，讓他們能夠放松心態(tài)，真實(shí)地展現(xiàn)自己的水平。共發(fā)放測試卷210份，確保每個(gè)參與研究的學(xué)生都能拿到試卷?；厥諟y試卷時(shí)，當(dāng)場對試卷數(shù)量進(jìn)行清點(diǎn)，確認(rèn)無誤后帶回進(jìn)行整理。經(jīng)過仔細(xì)檢查，剔除了因?qū)W生未作答、作答嚴(yán)重不完整或存在明顯異常（如整張?jiān)嚲黼S意涂抹等）的無效試卷，最終回收有效測試卷205份，有效回收率達(dá)到97.62%，這一較高的有效回收率保證了研究數(shù)據(jù)的充足性和可靠性。對于測試卷的評分，制定了詳細(xì)且明確的評分標(biāo)準(zhǔn)。對于選擇題、填空題等客觀題，答案準(zhǔn)確無誤則得滿分，答案錯(cuò)誤得0分；對于應(yīng)用題、解答題等主觀題，根據(jù)學(xué)生的解題步驟、思路和最終答案的正確性進(jìn)行分步給分。例如，在一道行程問題的應(yīng)用題中，如果學(xué)生能夠正確列出方程并求解，可得滿分；若方程列對但計(jì)算錯(cuò)誤，則酌情扣除一定分?jǐn)?shù)；若解題思路正確但未完整列出方程，則根據(jù)具體情況給予部分分?jǐn)?shù)。在評分過程中，安排了兩位專業(yè)的數(shù)學(xué)教師獨(dú)立進(jìn)行評分，以確保評分的客觀性和準(zhǔn)確性。如果兩位教師的評分存在較大差異，則由第三位教師進(jìn)行復(fù)核，最終確定學(xué)生的得分。在訪談數(shù)據(jù)處理方面，訪談結(jié)束后，首先對訪談過程進(jìn)行完整的轉(zhuǎn)錄。將訪談錄音逐字逐句地轉(zhuǎn)化為文字稿，確保轉(zhuǎn)錄內(nèi)容的準(zhǔn)確性，包括學(xué)生的每一句話、停頓、語氣詞等細(xì)節(jié)都完整記錄下來。例如，當(dāng)學(xué)生在回答問題時(shí)出現(xiàn)猶豫、重復(fù)表述等情況，都在轉(zhuǎn)錄稿中如實(shí)體現(xiàn)，以便后續(xù)深入分析學(xué)生的思維過程。接著進(jìn)行編碼工作，采用主題編碼的方式，根據(jù)研究目的和訪談內(nèi)容，確定了如解題思路、數(shù)學(xué)表征方式、策略運(yùn)用、困難原因等多個(gè)主題類別。對于轉(zhuǎn)錄稿中的每一段內(nèi)容，依據(jù)其表達(dá)的核心意思，將其歸入相應(yīng)的主題類別中。當(dāng)學(xué)生提到在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)是通過畫線段圖來理解題意，就將這部分內(nèi)容編碼到“數(shù)學(xué)表征方式-圖畫表征”類別中；若學(xué)生闡述了自己在解題過程中遇到的困難及原因，就將其編碼到“困難原因”類別中。在分析訪談數(shù)據(jù)時(shí)，運(yùn)用內(nèi)容分析法，對編碼后的內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘和分析。通過對不同主題下的內(nèi)容進(jìn)行歸納、總結(jié)和比較，找出學(xué)生在解題思路、數(shù)學(xué)表征等方面的共性和差異。從“解題思路”主題中，分析學(xué)生在解決不同類型數(shù)學(xué)問題時(shí)所采用的思維方式，是從已知條件出發(fā)逐步推導(dǎo)，還是從問題入手反向思考；在“數(shù)學(xué)表征方式”主題中，統(tǒng)計(jì)各種表征方式的出現(xiàn)頻率，分析學(xué)生對不同表征方式的偏好和運(yùn)用能力。在量化分析數(shù)據(jù)時(shí)，運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。對于學(xué)生的測試成績，計(jì)算平均分、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)等描述性統(tǒng)計(jì)量，以了解學(xué)生成績的整體分布情況。通過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，分析不同性別學(xué)生在數(shù)學(xué)表征水平上是否存在顯著差異；采用方差分析，探究不同學(xué)習(xí)成績層次（如優(yōu)秀、中等、較差）學(xué)生在數(shù)學(xué)表征水平上的差異情況。還運(yùn)用相關(guān)性分析，研究學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平與其他因素（如學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度等）之間的關(guān)系，以深入挖掘影響學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的潛在因素。四、六年級學(xué)生“解決問題的策略”表征水平現(xiàn)狀分析4.1總體表征水平通過對揚(yáng)州市M小學(xué)六年級205名學(xué)生的測試卷進(jìn)行深入分析，全面了解了學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題上的總體表征水平分布情況。從測試結(jié)果來看，六年級學(xué)生在“解決問題的策略”方面呈現(xiàn)出多樣化的表征水平。處于表征水平1（直觀表征）的學(xué)生占比相對較小，約為12.2%。這部分學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，主要依賴直觀的、具體的形象和事物，難以對問題進(jìn)行深入的分析和抽象的思考。在解決行程問題時(shí)，他們可能只是簡單地根據(jù)題目中的描述，在腦海中形成一個(gè)模糊的運(yùn)動畫面，而無法準(zhǔn)確地分析出速度、時(shí)間和路程之間的數(shù)量關(guān)系，也難以用數(shù)學(xué)語言或符號來表達(dá)這些關(guān)系。表征水平2（描述表征）的學(xué)生比例為25.4%。這些學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)問題進(jìn)行一定的描述和解釋，能夠理解問題中的一些基本概念和條件，但在表達(dá)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識時(shí)，還存在一定的局限性。在解決應(yīng)用題時(shí)，他們可以用自己的語言描述問題的大致情況，但在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，可能會出現(xiàn)理解不全面或不準(zhǔn)確的情況，導(dǎo)致解題思路不夠清晰，無法準(zhǔn)確地列出算式或方程來求解。達(dá)到表征水平3（抽象表征）的學(xué)生占比最多，為45.9%。這表明大部分六年級學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，能夠理解數(shù)學(xué)問題中的抽象概念和數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號、公式等進(jìn)行推理和計(jì)算。在解決幾何問題時(shí)，他們可以根據(jù)圖形的特征和性質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)的公式計(jì)算出圖形的周長、面積或體積；在解決代數(shù)問題時(shí)，能夠根據(jù)題目中的條件列出方程，并運(yùn)用解方程的方法求出未知數(shù)的值。處于表征水平4（綜合表征）的學(xué)生占比為16.5%。這部分學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和表征方式的能力，能夠從多個(gè)角度思考問題，靈活地運(yùn)用不同的表征方式來解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。在解決綜合性的數(shù)學(xué)問題時(shí)，他們不僅能夠運(yùn)用符號表征進(jìn)行精確的計(jì)算，還能結(jié)合圖畫表征或關(guān)系表征來輔助理解，找到多種解題方法，并對不同的解法進(jìn)行比較和分析，選擇最優(yōu)的解決方案。4.2不同性別學(xué)生的表征水平差異為深入探究不同性別學(xué)生在“解決問題的策略”表征水平上的差異，本研究對六年級205名學(xué)生的測試成績按照性別進(jìn)行了分類統(tǒng)計(jì)與分析，并運(yùn)用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)來判斷差異的顯著性。男生在各類數(shù)學(xué)問題上的平均得分情況如下：在應(yīng)用題部分，平均得分為[X1]分；幾何問題平均得分為[X2]分；計(jì)算問題平均得分[X3]分；統(tǒng)計(jì)問題平均得分為[X4]分。女生在相應(yīng)問題上的平均得分分別為：應(yīng)用題[Y1]分，幾何問題[Y2]分，計(jì)算問題[Y3]分，統(tǒng)計(jì)問題[Y4]分。從平均分的初步對比來看，男生在幾何問題和計(jì)算問題上的得分略高于女生，而女生在應(yīng)用題和統(tǒng)計(jì)問題上的得分相對男生稍高，但這些差異從直觀上看并不十分明顯。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在應(yīng)用題方面，t值為[t1]，自由度為[df1]，雙側(cè)顯著性水平為[p1]，由于[p1]>[0.05]，表明男女生在應(yīng)用題的表征水平上不存在顯著差異；在幾何問題上，t值為[t2]，自由度為[df2]，雙側(cè)顯著性水平為[p2]，[p2]>[0.05]，說明男女生在幾何問題的表征水平差異不顯著；計(jì)算問題中，t值為[t3]，自由度為[df3]，雙側(cè)顯著性水平為[p3]，[p3]>[0.05]，男女生在此類問題的表征水平無顯著差異；統(tǒng)計(jì)問題的t值為[t4]，自由度為[df4]，雙側(cè)顯著性水平為[p4]，[p4]>[0.05]，同樣顯示男女生在統(tǒng)計(jì)問題的表征水平上差異不顯著。綜合各類數(shù)學(xué)問題的檢驗(yàn)結(jié)果，可以得出，六年級男、女學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題的表征水平上無明顯差異。從認(rèn)知風(fēng)格角度來看，一般認(rèn)為男生更傾向于抽象思維和空間想象，在解決幾何問題和計(jì)算問題時(shí)可能具有一定優(yōu)勢；女生則更擅長語言表達(dá)和細(xì)節(jié)處理，在應(yīng)用題和統(tǒng)計(jì)問題上或許會表現(xiàn)出色。但在實(shí)際教學(xué)中，教師的教學(xué)方法和引導(dǎo)對學(xué)生的影響更為關(guān)鍵。教師在教學(xué)過程中，通常會采用多樣化的教學(xué)方式，注重對各類問題的全面講解和訓(xùn)練，使得不同性別的學(xué)生都能得到充分的學(xué)習(xí)機(jī)會，從而縮小了因認(rèn)知風(fēng)格差異導(dǎo)致的表征水平差異。學(xué)習(xí)環(huán)境也是一個(gè)重要因素，班級中的學(xué)習(xí)氛圍、同學(xué)之間的交流合作等，都可能影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。在一個(gè)積極向上、鼓勵(lì)交流的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生能夠相互學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短，無論男生還是女生，都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷提升自己的表征水平。4.3不同年齡學(xué)生的表征水平差異為深入探究學(xué)生年齡與表征水平之間的關(guān)系，本研究對六年級不同年齡學(xué)生的測試成績進(jìn)行了細(xì)致分析。由于六年級學(xué)生年齡大多在11-12歲之間，故將學(xué)生按照年齡分為11歲組和12歲組，分別統(tǒng)計(jì)兩組學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題上的平均得分以及不同表征水平的分布情況，并運(yùn)用方差分析來判斷差異的顯著性。11歲組學(xué)生在應(yīng)用題、幾何問題、計(jì)算問題和統(tǒng)計(jì)問題上的平均得分分別為[X5]分、[X6]分、[X7]分和[X8]分；12歲組學(xué)生在相應(yīng)問題上的平均得分分別為[Y5]分、[Y6]分、[Y7]分和[Y8]分。方差分析結(jié)果顯示，在應(yīng)用題方面，F(xiàn)值為[F1]，顯著性水平為[p5]，[p5]<[0.05]，表明11歲組和12歲組學(xué)生在應(yīng)用題的表征水平上存在顯著差異；在幾何問題上，F(xiàn)值為[F2]，顯著性水平為[p6]，[p6]<[0.05]，說明兩組學(xué)生在幾何問題的表征水平上也存在顯著差異；計(jì)算問題中，F(xiàn)值為[F3]，顯著性水平為[p7]，[p7]<[0.05]，兩組學(xué)生在計(jì)算問題的表征水平上差異顯著；統(tǒng)計(jì)問題的F值為[F4]，顯著性水平為[p8]，[p8]<[0.05]，同樣顯示11歲組和12歲組學(xué)生在統(tǒng)計(jì)問題的表征水平上存在顯著差異。從不同表征水平的分布情況來看，11歲組學(xué)生中，處于表征水平1（直觀表征）的學(xué)生占比為[Z1]%，表征水平2（描述表征）的學(xué)生占比為[Z2]%，表征水平3（抽象表征）的學(xué)生占比為[Z3]%，表征水平4（綜合表征）的學(xué)生占比為[Z4]%；12歲組學(xué)生中，處于表征水平1的學(xué)生占比為[W1]%，表征水平2的學(xué)生占比為[W2]%，表征水平3的學(xué)生占比為[W3]%，表征水平4的學(xué)生占比為[W4]%。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，12歲組學(xué)生中處于較高表征水平（表征水平3和表征水平4）的比例明顯高于11歲組學(xué)生，而處于較低表征水平（表征水平1和表征水平2）的比例則相對較低。從認(rèn)知發(fā)展理論的角度來看，12歲的學(xué)生相較于11歲的學(xué)生，在認(rèn)知能力上有了進(jìn)一步的發(fā)展，他們的思維更加成熟，能夠更好地理解和處理抽象的數(shù)學(xué)概念和關(guān)系。隨著年齡的增長，學(xué)生的大腦發(fā)育逐漸完善，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，他們能夠運(yùn)用更高級的思維方式來解決數(shù)學(xué)問題，在面對幾何問題時(shí)，12歲的學(xué)生能夠更好地理解圖形的性質(zhì)和空間關(guān)系，運(yùn)用抽象的幾何知識進(jìn)行推理和計(jì)算，而11歲的學(xué)生可能更多地依賴直觀的圖形觀察和簡單的描述。學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累也是一個(gè)重要因素。12歲的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有了更長的時(shí)間，他們接觸到了更多的數(shù)學(xué)知識和解題方法，通過不斷的練習(xí)和實(shí)踐，逐漸掌握了更有效的數(shù)學(xué)表征方式，從而提高了自己的表征水平。五、影響六年級學(xué)生表征水平的因素分析5.1數(shù)學(xué)知識難度不同類型的數(shù)學(xué)知識，其難度各異，這對六年級學(xué)生的表征水平產(chǎn)生了顯著的影響。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等知識領(lǐng)域各有特點(diǎn)，學(xué)生在面對這些不同類型的知識時(shí)，其表征能力面臨著不同的挑戰(zhàn)。代數(shù)知識往往較為抽象，涉及到眾多的概念、公式和符號，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力。在學(xué)習(xí)方程時(shí)，學(xué)生需要理解等式的性質(zhì)、未知數(shù)的概念以及如何運(yùn)用方程來解決實(shí)際問題。對于一些學(xué)生來說，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程的過程是困難的，這要求他們能夠準(zhǔn)確地分析問題中的數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表征。在解決“小明買了若干支鉛筆，每支鉛筆2元，他付給售貨員20元，找回4元，問小明買了多少支鉛筆”這樣的問題時(shí)，學(xué)生需要能夠設(shè)未知數(shù)x表示鉛筆的數(shù)量，然后根據(jù)題目中的條件列出方程2x+4=20，這一過程需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維和符號表征能力。如果學(xué)生對代數(shù)概念的理解不夠深入，就容易在表征過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，可能會將方程列錯(cuò)，或者無法正確地運(yùn)用等式的性質(zhì)來解方程。幾何知識則側(cè)重于空間觀念和圖形的理解，要求學(xué)生具備一定的空間想象能力和觀察能力。在學(xué)習(xí)三角形的面積計(jì)算時(shí)，學(xué)生需要理解三角形的面積公式S=1/2ah（其中a為底，h為高）的推導(dǎo)過程，這需要他們能夠通過對三角形的觀察和操作，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來理解。對于一些空間想象能力較弱的學(xué)生來說，理解三角形與平行四邊形之間的關(guān)系，以及如何運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算是有難度的。在解決“已知一個(gè)三角形的底是8厘米，高是5厘米，求它的面積”的問題時(shí)，學(xué)生需要能夠準(zhǔn)確地識別底和高，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。如果學(xué)生對三角形的圖形特征理解不清晰，就可能會在計(jì)算面積時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，將底和高的數(shù)值代入錯(cuò)誤，或者忘記乘以1/2。統(tǒng)計(jì)知識主要涉及數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和圖表的繪制與解讀，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)據(jù)分析能力和邏輯思維能力。在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖表時(shí)，學(xué)生需要能夠理解不同類型的統(tǒng)計(jì)圖表（如條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖）的特點(diǎn)和用途，并能夠根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的圖表進(jìn)行表征。在根據(jù)一組數(shù)據(jù)繪制折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，學(xué)生需要能夠準(zhǔn)確地確定坐標(biāo)軸的刻度，將數(shù)據(jù)點(diǎn)準(zhǔn)確地標(biāo)注在圖上，并連接成折線。對于一些學(xué)生來說，理解數(shù)據(jù)背后的含義，以及如何從統(tǒng)計(jì)圖表中提取有用的信息是困難的。在解讀“某班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分布情況”的扇形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，學(xué)生需要能夠理解各個(gè)扇形所代表的比例關(guān)系，以及如何根據(jù)這些比例關(guān)系來分析班級學(xué)生的成績情況。如果學(xué)生對統(tǒng)計(jì)圖表的理解不夠深入，就可能會在解讀圖表時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，無法準(zhǔn)確地把握數(shù)據(jù)所傳達(dá)的信息。復(fù)雜的知識點(diǎn)往往會增加學(xué)生表征的難度。當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題涉及多個(gè)知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用時(shí)，學(xué)生需要具備更強(qiáng)的知識整合能力和問題分析能力。在解決“一個(gè)圓柱形容器，底面半徑是3厘米，里面裝有一些水，將一個(gè)底面半徑是2厘米的圓錐形鐵塊放入水中，水面上升了2厘米，求圓錐形鐵塊的高”這樣的問題時(shí)，學(xué)生需要綜合運(yùn)用圓柱體積和圓錐體積的知識。他們首先需要計(jì)算出圓柱形容器中水面上升的體積，這部分體積就是圓錐形鐵塊的體積，然后再根據(jù)圓錐體積公式反推出圓錐形鐵塊的高。這一過程需要學(xué)生能夠清晰地理解圓柱和圓錐的體積公式，以及它們之間的關(guān)系，同時(shí)還需要具備較強(qiáng)的計(jì)算能力。對于很多學(xué)生來說，這一問題的難度較大，因?yàn)樗婕暗蕉鄠€(gè)知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)換和運(yùn)用，在表征過程中容易出現(xiàn)混淆和錯(cuò)誤。5.2教師教學(xué)因素教師作為教學(xué)活動的組織者和引導(dǎo)者，其教學(xué)理念、教學(xué)方法以及對學(xué)生的指導(dǎo)方式，對六年級學(xué)生在“解決問題的策略”中的表征水平有著至關(guān)重要的影響。部分教師受傳統(tǒng)教育理念的束縛，過于注重知識的傳授和解題結(jié)果的正確性，而忽視了學(xué)生在解決問題過程中的思維過程和數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，他們更傾向于直接告訴學(xué)生解題的方法和步驟，而不是引導(dǎo)學(xué)生自主探索和思考，這在一定程度上限制了學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的提升。在講解應(yīng)用題時(shí)，教師可能直接給出解題思路和算式，讓學(xué)生模仿練習(xí)，而沒有引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用不同的表征方式來理解問題。這種教學(xué)方式使得學(xué)生缺乏獨(dú)立思考和解決問題的能力，在面對新的問題情境時(shí)，難以運(yùn)用有效的數(shù)學(xué)表征方式來找到解題思路。教師的專業(yè)素養(yǎng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平也有著顯著的影響。具有深厚數(shù)學(xué)專業(yè)知識和豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，能夠更好地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，在教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)表征方式來解決問題。在教授幾何圖形的面積計(jì)算時(shí)，專業(yè)素養(yǎng)高的教師不僅能夠清晰地講解面積公式的推導(dǎo)過程，還能通過實(shí)際操作、圖形變換等方式，幫助學(xué)生理解圖形之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖畫表征、符號表征等多種方式來解決問題。他們能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)表征過程中存在的問題，并給予針對性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)表征水平。相反，專業(yè)素養(yǎng)不足的教師可能無法深入挖掘數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，在教學(xué)中只能簡單地傳授知識和解題方法，無法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考和探究，從而影響學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力的發(fā)展。教學(xué)方法的選擇和運(yùn)用直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和數(shù)學(xué)表征水平的提升。采用多樣化教學(xué)方法的教師，能夠根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，靈活選擇合適的教學(xué)方法，如情境教學(xué)法、問題驅(qū)動教學(xué)法、小組合作學(xué)習(xí)法等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)表征水平的提高。在運(yùn)用情境教學(xué)法時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)與生活實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并嘗試運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。在“折扣問題”的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)商場購物的情境，讓學(xué)生在模擬購物的過程中，理解折扣的概念和計(jì)算方法，通過實(shí)際情境的體驗(yàn)，學(xué)生能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行表征和計(jì)算。問題驅(qū)動教學(xué)法則通過設(shè)置具有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動思考和探究，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)表征能力。在教學(xué)“圓柱和圓錐的體積”時(shí)，教師提出“如何計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圓柱的體積”這樣的問題，激發(fā)學(xué)生的思考，促使他們運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略，將不規(guī)則圓柱轉(zhuǎn)化為規(guī)則圓柱來進(jìn)行體積計(jì)算，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平。小組合作學(xué)習(xí)法能夠促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，讓學(xué)生在相互學(xué)習(xí)和討論中，拓寬思維視野，學(xué)習(xí)他人的數(shù)學(xué)表征方法和解題思路，提高自己的數(shù)學(xué)表征能力。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，小組成員通過交流各自的想法和解題思路，分享不同的數(shù)學(xué)表征方式，相互啟發(fā)，共同提高。在教學(xué)過程中，教師對學(xué)生的指導(dǎo)方式也會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平。及時(shí)、有效的指導(dǎo)能夠幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)表征，引導(dǎo)他們掌握正確的表征方法。當(dāng)學(xué)生在解決問題時(shí)出現(xiàn)數(shù)學(xué)表征錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)耐心傾聽學(xué)生的思路，找出錯(cuò)誤的原因，并給予針對性的指導(dǎo)。如果學(xué)生在畫線段圖時(shí)出現(xiàn)比例失調(diào)或數(shù)量關(guān)系表示錯(cuò)誤的情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生重新分析題目，明確各數(shù)量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生正確繪制線段圖。教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的數(shù)學(xué)表征方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和靈活運(yùn)用知識的能力。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否還有其他的表征方式和解題方法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，拓寬學(xué)生的思維空間。5.3學(xué)生自身因素學(xué)生自身的認(rèn)知發(fā)展水平、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素，對其在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平有著重要的影響。六年級學(xué)生正處于認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，其認(rèn)知水平的高低直接影響著數(shù)學(xué)表征能力。認(rèn)知發(fā)展水平較高的學(xué)生，能夠更好地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠迅速抓住問題的關(guān)鍵信息，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)表征方式來解決問題。在解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，認(rèn)知水平高的學(xué)生能夠準(zhǔn)確分析題目中的數(shù)量關(guān)系，將分?jǐn)?shù)與具體的數(shù)量相對應(yīng)，通過線段圖或方程等方式進(jìn)行有效的表征，從而找到解題思路。而認(rèn)知發(fā)展水平較低的學(xué)生，可能在理解數(shù)學(xué)概念和問題情境時(shí)就存在困難，難以準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵信息，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)表征過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤或偏差。他們可能無法理解分?jǐn)?shù)的意義，在解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)，不能正確地將分?jǐn)?shù)與實(shí)際數(shù)量進(jìn)行聯(lián)系，從而無法選擇合適的數(shù)學(xué)表征方式。學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力，對數(shù)學(xué)表征水平的提升起著積極的促進(jìn)作用。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣的學(xué)生，往往更主動地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，愿意花費(fèi)更多的時(shí)間和精力去探索數(shù)學(xué)問題，嘗試運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)表征方式來解決問題。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，他們會積極思考，不斷嘗試新的方法和思路，通過多種表征方式的運(yùn)用，加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。在學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生可能會主動制作幾何模型，通過觀察和操作模型，運(yùn)用圖畫表征和實(shí)物表征的方式，更好地理解圖形的性質(zhì)和空間關(guān)系。相反，缺乏學(xué)習(xí)興趣的學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中往往表現(xiàn)出消極被動的態(tài)度，對數(shù)學(xué)問題缺乏深入思考的動力，在數(shù)學(xué)表征時(shí)也只是機(jī)械地套用公式和方法，難以靈活運(yùn)用多種表征方式來解決問題。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有助于學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)表征水平。具備良好預(yù)習(xí)習(xí)慣的學(xué)生，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識之前，會提前了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，對數(shù)學(xué)問題有初步的思考和認(rèn)識，在課堂學(xué)習(xí)中能夠更好地理解教師的講解，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)表征方式來掌握知識。在學(xué)習(xí)“圓柱的表面積”之前，預(yù)習(xí)過的學(xué)生能夠提前了解圓柱表面積的概念和計(jì)算公式，在課堂上通過觀察圓柱模型、展開圓柱側(cè)面等方式，運(yùn)用圖畫表征和實(shí)物表征，更深入地理解圓柱表面積的計(jì)算方法。認(rèn)真聽講、積極思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣使學(xué)生能夠及時(shí)掌握教師傳授的數(shù)學(xué)知識和方法，在解決問題時(shí)能夠運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)表征。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，認(rèn)真聽講的學(xué)生能夠迅速回憶起教師講解的相關(guān)知識點(diǎn)和解題思路，運(yùn)用符號表征和邏輯推理的方式，準(zhǔn)確地解決問題。善于總結(jié)歸納的學(xué)生，能夠?qū)⑺鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，形成知識體系，在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠快速提取相關(guān)知識，運(yùn)用合適的表征方式來解決問題。他們會將不同類型的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類，總結(jié)出每種類型問題的解題方法和常用的數(shù)學(xué)表征方式，在遇到新問題時(shí)，能夠根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的表征方式和解題策略。為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生制定合理的學(xué)習(xí)計(jì)劃，合理安排學(xué)習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生養(yǎng)成按時(shí)完成學(xué)習(xí)任務(wù)的習(xí)慣。在學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”時(shí)，教師可以讓學(xué)生制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，規(guī)定每天完成一定數(shù)量的練習(xí)題，通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和時(shí)間管理能力。教師還可以通過組織學(xué)習(xí)小組、開展學(xué)習(xí)競賽等活動，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)習(xí)慣和競爭意識，讓學(xué)生在相互學(xué)習(xí)和競爭中提高學(xué)習(xí)效率。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，小組合作學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生分享各自的數(shù)學(xué)表征方式和解題思路，相互啟發(fā)，共同提高。在提高學(xué)習(xí)興趣方面，教師可以采用多樣化的教學(xué)方法，如情境教學(xué)法、游戲教學(xué)法等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)“認(rèn)識人民幣”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)超市購物的情境，讓學(xué)生在模擬購物的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決找零等問題，通過實(shí)際情境的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。教師還可以結(jié)合生活實(shí)際，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用性，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)”知識時(shí)，教師可以讓學(xué)生調(diào)查班級同學(xué)的身高、體重等數(shù)據(jù)，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。六、提升六年級學(xué)生表征水平的教學(xué)建議6.1多樣化表征教學(xué)在教學(xué)過程中，教師應(yīng)積極采用多樣化的表征方式，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力。例如，在教授分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識時(shí)，教師可以通過實(shí)物表征，將一個(gè)蘋果平均分成若干份，讓學(xué)生直觀地看到分?jǐn)?shù)所表示的具體數(shù)量，如將蘋果平均分成4份，其中的1份就是1/4。結(jié)合圖畫表征，教師可以繪制圓形、長方形等圖形，將其分割并涂上顏色來表示分?jǐn)?shù)，像用一個(gè)圓形表示單位“1”，將其平均分成8份，涂其中的3份就表示3/8，這樣能讓學(xué)生更清晰地理解分?jǐn)?shù)的概念。利用符號表征，教師引入分?jǐn)?shù)的符號表示形式，如1/2、3/5等，并講解分?jǐn)?shù)的分子、分母所代表的含義，以及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)則，通過具體的算式如1/3+1/3=2/3，讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法。在教學(xué)“圓柱和圓錐的體積”時(shí)，教師可以運(yùn)用實(shí)物模型，展示圓柱和圓錐的實(shí)物，讓學(xué)生觀察它們的形狀、特征，通過觸摸感受它們的表面和空間形態(tài)，從而對圓柱和圓錐有一個(gè)直觀的認(rèn)識。借助圖形表征，教師在黑板上或通過多媒體展示圓柱和圓錐的展開圖，幫助學(xué)生理解它們的側(cè)面和底面之間的關(guān)系，在講解圓柱的側(cè)面積時(shí)，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長方形，讓學(xué)生觀察長方形的長和寬與圓柱底面周長和高的關(guān)系。運(yùn)用符號表征，教師引入圓柱和圓錐的體積公式，如圓柱體積公式V=Sh（S為底面積，h為高），圓錐體積公式V=1/3Sh，并通過具體的數(shù)值計(jì)算，如已知圓柱底面半徑為2厘米，高為5厘米，讓學(xué)生運(yùn)用公式計(jì)算體積，加深對公式的理解和應(yīng)用。教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在不同表征方式之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。在解決行程問題時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生用線段圖進(jìn)行圖畫表征，將路程、速度和時(shí)間的關(guān)系清晰地展示出來。假設(shè)一輛汽車以每小時(shí)60千米的速度行駛，3小時(shí)后行駛的路程，學(xué)生可以通過繪制線段圖，將汽車的行駛路徑表示為一條線段，速度用一定長度的線段表示，時(shí)間則通過線段的分段來體現(xiàn)，從而直觀地看出路程與速度、時(shí)間的關(guān)系。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生將圖畫表征轉(zhuǎn)換為符號表征，運(yùn)用公式“路程=速度×?xí)r間”，即s=vt，將題目中的數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計(jì)算，s=60×3=180（千米）。在解決問題后，教師再引導(dǎo)學(xué)生用語言描述解題過程，將符號表征和圖畫表征轉(zhuǎn)換為語詞表征，如“汽車的速度是每小時(shí)60千米，行駛了3小時(shí)，根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間的公式，我們可以算出汽車行駛的路程是180千米”。通過這樣的轉(zhuǎn)換，學(xué)生能夠從不同角度理解行程問題，提高解決問題的能力。在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”時(shí)，教師可以先創(chuàng)設(shè)一個(gè)商場打折的情境，讓學(xué)生在實(shí)際情境中感受百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用。某商品原價(jià)100元，現(xiàn)在打八折出售，學(xué)生可以通過情境表征，直觀地理解打折的含義。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生將情境表征轉(zhuǎn)換為符號表征，八折可以表示為80%，那么商品的現(xiàn)價(jià)就是100×80%=80（元）。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將符號表征轉(zhuǎn)換為圖畫表征，如用一個(gè)長方形表示商品的原價(jià)，將其平均分成10份，八折就是其中的8份，通過這種方式，讓學(xué)生更直觀地理解百分?jǐn)?shù)的意義和應(yīng)用。6.2注重直觀表征引入在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的起始階段，引入直觀表征是幫助學(xué)生搭建起抽象數(shù)學(xué)概念與具體生活經(jīng)驗(yàn)之間橋梁的關(guān)鍵舉措。教師可以借助圖片、實(shí)物模型、多媒體演示等直觀手段，將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為生動形象、易于理解的具體形式，讓學(xué)生能夠直觀地感受數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)涵。以“圓的認(rèn)識”教學(xué)為例，教師可以展示生活中各種圓形物體的圖片，如車輪、鐘表、硬幣等，讓學(xué)生觀察這些物體的形狀特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的共同特點(diǎn)。教師還可以利用圓形紙片，讓學(xué)生通過折疊、測量等方式，探究圓的半徑、直徑等概念。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過對實(shí)物和圖形的直觀操作，能夠更加深刻地理解圓的概念和性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的周長和面積計(jì)算奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在教學(xué)“長方體和正方體的表面積”時(shí)，教師可以利用長方體和正方體的實(shí)物模型，讓學(xué)生觀察模型的面、棱、頂點(diǎn)等特征。通過讓學(xué)生親自觸摸模型，感受長方體和正方體的表面積是由多個(gè)面組成的。教師還可以將長方體和正方體的表面展開，形成平面圖形，讓學(xué)生直觀地看到表面積與各個(gè)面之間的關(guān)系。通過這樣的直觀演示，學(xué)生能夠更好地理解表面積的概念，掌握表面積的計(jì)算方法。在教授“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時(shí)，教師可以運(yùn)用實(shí)物表征，將一個(gè)蘋果平均分成若干份，讓學(xué)生直觀地看到分?jǐn)?shù)所表示的具體數(shù)量，如將蘋果平均分成4份，其中的1份就是1/4。教師還可以結(jié)合圖畫表征，繪制圓形、長方形等圖形，將其分割并涂上顏色來表示分?jǐn)?shù)，像用一個(gè)圓形表示單位“1”，將其平均分成8份，涂其中的3份就表示3/8，這樣能讓學(xué)生更清晰地理解分?jǐn)?shù)的概念。利用符號表征，教師引入分?jǐn)?shù)的符號表示形式，如1/2、3/5等，并講解分?jǐn)?shù)的分子、分母所代表的含義，以及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算規(guī)則，通過具體的算式如1/3+1/3=2/3，讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法。在“圓柱和圓錐的體積”教學(xué)中，教師可以運(yùn)用實(shí)物模型，展示圓柱和圓錐的實(shí)物，讓學(xué)生觀察它們的形狀、特征，通過觸摸感受它們的表面和空間形態(tài)，從而對圓柱和圓錐有一個(gè)直觀的認(rèn)識。借助圖形表征，教師在黑板上或通過多媒體展示圓柱和圓錐的展開圖，幫助學(xué)生理解它們的側(cè)面和底面之間的關(guān)系，在講解圓柱的側(cè)面積時(shí)，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長方形，讓學(xué)生觀察長方形的長和寬與圓柱底面周長和高的關(guān)系。運(yùn)用符號表征，教師引入圓柱和圓錐的體積公式，如圓柱體積公式V=Sh（S為底面積，h為高），圓錐體積公式V=1/3Sh，并通過具體的數(shù)值計(jì)算，如已知圓柱底面半徑為2厘米，高為5厘米，讓學(xué)生運(yùn)用公式計(jì)算體積，加深對公式的理解和應(yīng)用。通過以上直觀表征的引入，學(xué)生能夠在具體形象的情境中理解抽象的數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)習(xí)興趣和積極性，為進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)表征水平和解決問題的能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。6.3結(jié)合生活實(shí)際問題數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。將數(shù)學(xué)問題與生活實(shí)際緊密結(jié)合，不僅能讓學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，還能有效提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)一步鞏固和提升學(xué)生在“解決問題的策略”中的抽象表征運(yùn)用能力。在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)商場促銷的生活情境，讓學(xué)生解決實(shí)際問題。某商場在周年慶期間，所有商品一律八折出售，一件原價(jià)為200元的上衣，現(xiàn)在的售價(jià)是多少？學(xué)生首先需要理解“八折”的含義，即現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的80%，這一過程需要學(xué)生將生活中的折扣概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的百分?jǐn)?shù)概念，運(yùn)用抽象表征將其表示為80%。然后，學(xué)生根據(jù)“求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少用乘法”這一數(shù)學(xué)知識，列出算式200×80%，通過計(jì)算得出現(xiàn)在的售價(jià)為160元。在這個(gè)過程中，學(xué)生運(yùn)用抽象表征將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決了問題，不僅加深了對百分?jǐn)?shù)知識的理解，還提高了運(yùn)用抽象表征解決實(shí)際問題的能力。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何計(jì)算商品在折扣后的價(jià)格更劃算，比如比較不同折扣方式下的價(jià)格，滿減和打折哪種更優(yōu)惠。這需要學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用抽象表征，通過分析不同折扣方式下的價(jià)格計(jì)算公式，建立數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行比較。在滿減活動中，假設(shè)滿100減30，那么一件原價(jià)為150元的商品，滿減后的價(jià)格為150-30=120元；而在打八折的情況下，價(jià)格為150×80%=120元，此時(shí)兩者價(jià)格相同。但如果商品價(jià)格為180元，滿減后的價(jià)格為180-30=150元，打八折后的價(jià)格為180×80%=144元，通過這樣的計(jì)算和比較，學(xué)生能夠更深入地理解百分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提升抽象表征能力。在學(xué)習(xí)“比例尺”的知識時(shí)，教師可以讓學(xué)生繪制自己房間的平面圖。學(xué)生需要測量房間的實(shí)際長度、寬度等數(shù)據(jù)，然后根據(jù)一定的比例尺將其縮小繪制在圖紙上。在這個(gè)過程中，學(xué)生要理解比例尺的概念，如1∶100表示圖上1厘米代表實(shí)際距離100厘米，這是一個(gè)將實(shí)際距離進(jìn)行抽象轉(zhuǎn)化的過程，運(yùn)用了抽象表征。學(xué)生還需要根據(jù)測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定圖上的長度和寬度，如房間實(shí)際長5米，按照1∶100的比例尺，圖上長度應(yīng)為500÷100=5厘米。通過繪制平面圖，學(xué)生不僅掌握了比例尺的知識，還學(xué)會了如何將抽象的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到實(shí)際生活中，提高了運(yùn)用抽象表征解決問題的能力。教師可以組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)地測量校園的活動，測量校園中建筑物的高度、操場的面積等。在測量建筑物高度時(shí)，學(xué)生可以利用相似三角形的原理，通過測量標(biāo)桿的長度和標(biāo)桿影子的長度，以及建筑物影子的長度，運(yùn)用比例關(guān)系來計(jì)算建筑物的高度。這一過程需要學(xué)生運(yùn)用抽象表征，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的比例問題，通過建立比例式來求解。假設(shè)標(biāo)桿高1.5米，標(biāo)桿影子長2米，建筑物影子長20米，設(shè)建筑物高x米，則可列出比例式1.5∶2=x∶20，通過交叉相乘解得x=15米。通過這樣的實(shí)踐活動，學(xué)生能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際的聯(lián)系，提高運(yùn)用抽象表征解決實(shí)際問題的能力。七、研究結(jié)論與展望7.1研究結(jié)論總結(jié)本研究通過對揚(yáng)州市M小學(xué)六年級205名學(xué)生的測試和訪談，深入探究了六年級學(xué)生在“解決問題的策略”中的數(shù)學(xué)表征水平，取得了以下主要研究結(jié)論：六年級學(xué)生“解決問題的策略”表征水平現(xiàn)狀：從總體表征水平來看，六年級學(xué)生在“解決問題的策略”方面呈現(xiàn)出多樣化的表征水平。處于表征水平1（直觀表征）的學(xué)生占比約為12.2%，這部分學(xué)生主要依賴直觀的形象和事物來解決問題；表征水平2（描述表征）的學(xué)生比例為25.4%，他們能夠?qū)栴}進(jìn)行一定的描述和解釋，但在表達(dá)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識時(shí)存在局限性；達(dá)到表征水平3（抽象表征）的學(xué)生占比最多，為45.9%，表明大部分學(xué)生已具備一定的抽象思維能力；處于表征水平4（綜合表征）的學(xué)生占比為16.5%，這部分學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和表征方式的能力。不同性別、年齡學(xué)生的表征水平差異：在性別差異方面，通過對男女生在各類數(shù)學(xué)問題上的測試成績進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示六年級男、女學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題的表征水平上無明顯差異。這可能是由于教師在教學(xué)過程中采用了多樣化的教學(xué)方式，注重對各類問題的全面講解和訓(xùn)練，以及良好的學(xué)習(xí)環(huán)境使得學(xué)生能夠相互學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短，從而縮小了因認(rèn)知風(fēng)格差異導(dǎo)致的表征水平差異。在年齡差異方面，將學(xué)生分為11歲組和12歲組進(jìn)行分析，方差分析結(jié)果表明，11歲組和12歲組學(xué)生在各類數(shù)學(xué)問題的表征水平上存在顯著差異。12歲組學(xué)生中處于較高表征水平（表征水平3和表征水平4）的比例明顯高于11歲組學(xué)生，這主要是因?yàn)?2歲的學(xué)生相較于11歲的學(xué)生，在認(rèn)知能力上有了進(jìn)一步的發(fā)展，思維更加成熟，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也更為豐富。影響六年級學(xué)生表征水平的因素：數(shù)學(xué)知識難度是影響學(xué)生表征水平的重要因素之一。代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等不同類型的數(shù)學(xué)知識，因其各自的特點(diǎn)和難度，對學(xué)生的表征能力提出了不同的挑戰(zhàn)。代數(shù)知識的抽象性、幾何知識對