1.3空間點向量及其運算的坐標表示重點：利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直、夾角和距離問題，及點在空間直角坐標系中的坐標表示。難點：確定點在空間直角坐標系中的坐標，立體幾何坐標化、代數化。一、空間直角坐標系在空間選定點和一個單位正交基底以點為原點，分別以的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：軸.軸、軸，它們都叫作坐標軸。這時我們就建立了一個空間直角坐標系，叫作原點，都叫作坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面.空間直角坐標系通常使用的都是右手直角坐標系.二、空間一點的坐標表示在空間直角坐標系中為坐標向量。給定任一向量，存在唯一的有序實數組，使.有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作。也叫點在空間直角坐標系中的坐標，記作.空間點對稱的特點：空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解。對稱點問題常常采用“關于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標相反”這個結論。三、空間向量的坐標運算1、空間兩點的距離公式若，，則①即：一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。②，或2、向量加減法、數乘的坐標運算若，，則：①；②；③；3、向量數量積的坐標運算若，，則：；即：空間兩個向量的數量積等于他們的對應坐標的乘積之和。4、空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式若，，則①，．②．【注意】（1）夾角公式可以根據數量積的定義推出：，其中θ的范圍是（2）（3）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關系（相等，互余，互補）。5、空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，②規定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.題型一空間直角坐標系及坐標表示【例1】（2022秋·北京房山·高二統考期中）已知，則向量的坐標是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B【變式11】（2023秋·廣東·高二校聯考期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，所以，所以.故選：D【變式12】（2023·全國·高二專題練習）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【變式13】（2022秋·湖北·高二校聯考期中）已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】向量在基底下的坐標為，則，設在基底下的坐標為，則，所以，解得，故在基底下的坐標為．故選：A．題型二空間點的對稱問題【例2】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）已知點與點關于軸對稱，則點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，點關于軸的對稱點.故選：A.【變式21】（2022秋·廣東梅州·高二校聯考階段練習）在空間直角坐標系中，點關于原點對稱點的坐標為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據空間的點關于原點的對稱點公式可得，點關于原點對稱點的坐標為.故選：B.【變式22】（2023秋·山東濰坊·高二統考期末）在空間直角坐標系中，若點關于z軸的對稱點的坐標為，則的值為（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】依題意，點關于z軸的對稱點，于是得，解得，所以.故選：A【變式23】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點關于平面的對稱點坐標為.故選：C.題型三空間向量運算的坐標表示【例3】（2023春·安徽·高二合肥第六中學校聯考開學考試）已知向量，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故選：D.【變式31】（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，由，得，解得.故選：B.【變式32】（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學校考階段練習）下列各組空間向量不能構成空間的一組基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.【變式33】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】因為，，，且，，三向量共面，設，則，即，解得.故選：D題型四空間向量平行與垂直的坐標表示【例4】（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學校考期中）已知向量，，若，則（）A．2B．18C．D．【答案】B【解析】因為，則存在實數使得，即，解得，所以，故選：B．【變式41】（2023春·高二課時練習）已知向量，，且，則實數k的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量，，則，因為，則，解得，所以實數k的值為.故選：C【變式42】（2023春·江蘇·高二鹽城中學校考期中）已知向量，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，解得.故選：D.【變式43】（2023春·廣東東莞·高二校聯考階段練習）（多選）已知空間向量，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．在上的投影向量的長度為【答案】BD【解析】對于A，由題得，而，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，故C不正確；對于D，因為在上的投影向量的長度為，故D正確；故選：BD.題型五空間向量模長的坐標表示【例5】（2022秋·新疆喀什·高二校考期末）若，則___________【答案】【解析】，，.故答案為：.【變式51】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯考開學考試）在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，若三點共線，則有，得，解得，，.故選：B【變式52】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點．求||.【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，則有，，，，，，，.【變式53】（2023春·上海寶山·高二統考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【解析】是空間相互垂直的單位向量，設，，設，又，，又，，，其中，，，當且僅當時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．題型六空間向量夾角的坐標表示【例6】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯考階段練習）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（）A．B．C．或D．2【答案】A【解析】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.【變式61】（2023春·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）已知，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.【變式62】（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期末）設空間兩個單位向量與向量的夾角的余弦值為，則（）A．B．