PAGE1-2．4．1空間直角坐標系對應學生用書P73學問點一空間中在坐標軸上點的坐標的位置1．在空間直角坐標系Oxyz中，點P(－1，0，0)位于()A．xOz平面內B．yOz平面內C．y軸上D．x軸上答案D解析因為y＝0，z＝0，且x不為0，故點P位于x軸上．故選D．2．在空間直角坐標系中，在z軸上的點的坐標可記為()A．(0，b，0)B．(a，0，0)C．(0，0，c)D．(0，b，c)答案C解析因為在空間直角坐標系中，z軸上的點的橫坐標、縱坐標均為零，所以在z軸上的點的坐標可記為(0，0，c)，故選C．學問點二中點及對稱點坐標3．關于空間直角坐標系Oxyz中的一點P(1，2，3)有下列說法：①OP的中點坐標為eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)；②點P關于x軸對稱的點的坐標為(－1，－2，－3)；③點P關于坐標原點對稱的點的坐標為(1，2，－3)；④點P關于xOy平面對稱的點的坐標為(1，2，－3)．其中正確說法的個數是()A．2B．3C．4D．1答案A解析①明顯正確；點P關于x軸對稱的點的坐標為(1，－2，－3)，故②錯誤；點P關于坐標原點對稱的點的坐標為(－1，－2，－3)，故③錯誤；④明顯正確．4．已知空間中點A(1，3，5)，C(1，3，－5)，點A與點B關于x軸對稱，則點B與點C的對稱關系是()A．關于平面xOy對稱B．關于平面yOz對稱C．關于y軸對稱D．關于平面xOz對稱答案D解析因為點(x，y，z)關于x軸對稱的點的坐標為(x，－y，－z)，所以B(1，－3，－5)，與點C的坐標比較，知橫坐標、豎坐標分別對應相同，縱坐標互為相反數，所以點B與點C關于平面xOz對稱，故選D．學問點三確定點的坐標5．已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，建立如圖所示的不同的空間直角坐標系，試分別寫出正方體各頂點的坐標．解(1)如題圖(1)所示，∵D是坐標原點，A，C，D1分別在x軸，y軸，z軸的正半軸上，且正方體的棱長為2，∴D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)．∵B點在xDy平面上，它在x軸，y軸上的投影分別為A，C，∴B(2，2，0)．同理，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)．∵B1點在xDy平面上的投影是B，在z軸上的投影是D1，∴B1(2，2，2)．(2)如題圖(2)所示，∵D1是坐標原點，A1，C1分別在x軸，y軸的正半軸上，D在z軸的負半軸上，且正方體的棱長為2，∴D1(0，0，0)，A1(2，0，0)，C1(0，2，0)，D(0，0，－2)．同(1)得B1(2，2，0)，A(2，0，－2)，C(0，2，－2)，B(2，2，－2)．6．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，N為棱CC1的中點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．(1)求點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標；(2)求點N的坐標．解由題意，知點A(0，0，0)．由于點B在x軸的正半軸上，且OB＝4，所以B(4，0，0)．同理可得D(0，3，0)，A1(0，0，5)．由于點C在坐標平面xOy內，且BC⊥AB，CD⊥AD，所以點C(4，3，0)．同理可得B1(4，0，5)，D1(0，3，5)．與點C的坐標相比，點C1的坐標只有豎坐標與點C不同，且CC1＝AA1＝5，則點C1(4，3，5)．(2)由(1)知C(4，3，0)，C1(4，3，5)，則CC1的中點N的坐標為eq\f(4＋4,2)，eq\f(3＋3,2)，eq\f(0＋5,2)，即N4，3，eq\f(5,2)．對應學生用書P73一、選擇題1．如圖所示的坐標系中，單位正方體頂點A的坐標是()A．(－1，－1，－1)B．(1，－1，1)C．(1，－1，－1)D．(－1，1，－1)答案C解析依據空間點的坐標的定義可知，點A的坐標是(1，－1，－1)．2．設z是隨意實數，相應的點P(2，2，z)運動的軌跡是()A．一個平面B．一條直線C．一個圓D．一個球答案B解析軌跡是過點(2，2，0)且與z軸平行的一條直線．3．在空間直角坐標系中，點M的坐標是(4，7，6)，則點M關于y軸對稱的點在xOz平面上的射影的坐標為()A．(4，0，6)B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6)D．(－4，7，0)答案C解析點M關于y軸對稱的點是M′(－4，7，－6)，點M′在xOz平面上的射影的坐標為(－4，0，－6)．4．空間兩點A，B的坐標分別為(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，則A，B兩點的位置關系是()A．關于x軸對稱B．關于y軸對稱C．關于z軸對稱D．關于原點對稱答案B解析由A，B兩點的坐標可知，A、B兩點關于y軸對稱．5．點A(－3，1，5)，B(4，3，1)的中點坐標是()A．eq\f(7,2)，1，－2B．eq\f(1,2)，2，3C．(－12，3，5)D．eq\f(1,3)，eq\f(4,3)，2答案B解析A，B兩點的中點坐標為eq\f(－3＋4,2)，eq\f(1＋3,2)，eq\f(5＋1,2)，即eq\f(1,2)，2，3．二、填空題6．棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1在如圖所示的空間直角坐標系中，則體對角線的交點的坐標是________．答案(1，1，－1)解析設O點是線段AC1的中點，又A(0，0，0)，C1(2，2，－2)，故O點坐標是(1，1，－1)．7．空間直角坐標系中與點P(2，3，5)關于yOz平面對稱的點為P′，則點P′的坐標為________．答案(－2，3，5)解析一般地，在空間直角坐標系中，若點M的坐標是M(x，y，z)，設點M關于yOz平面對稱的點為M1，那么點M1的坐標是(－x，y，z)，因此空間直角坐標系中與點P(2，3，5)關于yOz平面對稱的點P′的坐標為(－2，3，5)．8．已知集合A＝{(x，y，z)|y＝0，z＝0}，集合B＝{(x，y，z)|x＝0，y＝0}，集合C＝{(x，y，z)|x＝0，z＝0}，則A∩B∩C＝________．答案{(0，0，0)}解析A集合表示在x軸上的點的集合，B集合表示在z軸上的點的集合，C集合表示在y軸上的點的集合，∴A∩B∩C＝{(0，0，0)}．三、解答題9．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為BC1的中點，N在B1D1上，且D1N＝eq\f(1,3)D1B1，在如圖所示的直角坐標系中，試寫出各點的坐標．解∵D點與坐標原點重合，∴D(0，0，0)，又A在x軸上，∴A(1，0，0)，∵C在y軸上，∴C(0，1，0)，B在xDy面上，B(1，1，0)，D1在z軸上，D1(0，0，1)，A1在xDz面上，A1(1，0，1)，C1在yDz面上，C1(0，1，1)，又B1是B點沿z軸正方向平移一個單位得到，∴B1(1，1，1)，又M為BC1的中點，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋0,2)，\f(1＋1,2)，\f(0＋1,2)))，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))．又N在B1D1上，且D1N＝eq\f(1,3)D1B1，∴N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)cos45°，\f(\r(2),3)sin45°，1))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，1))．10．如圖，AF，DE分別是⊙O，⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8，BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD，試建立適當的空間直角坐標系，求出點A，B，C，D，E，F的坐標．解因為AD與兩圓所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC．又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC．又BC是圓O的直徑，所以OB＝OC．又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6