18.1.2(第3課時(shí))三角形的中位線第18章

平行四邊形（1）沿著平行于三角形紙片一邊的直線剪一刀，分割成一張三角形紙片和一張?zhí)菪渭埰?（2）剪得的兩張紙片能否拼成一個(gè)平行四邊形？（3）若要使拼成的圖形是一個(gè)平行四邊形，那么剪痕與三角形另兩邊的交點(diǎn)應(yīng)在什么位置？●●CABFGE若要使拼成的圖形是一個(gè)平行四邊形，那么剪痕與三角形另兩邊的交點(diǎn)應(yīng)在什么位置？思考：三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.ABCDE如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE就稱為△ABC的中位線.思考：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關(guān)系？DE兩條線段的關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系分析：DE與BC的關(guān)系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．猜想：平行角平行四邊形線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線DE三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．如何證明你的猜想？思考：已知：證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴CF

AD

,∴CF

BD

,又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn)，

求證：法二：DE證明：延長DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，，AD=CF,∴BDCF．又∵

，∴DF

BC．∴DE∥BC，

．∴CF

AD

,三角形的中位線定理三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，則DE∥BC，DE=BC．符號(hào)語言：三角形的中位線定理ABCDEF①中位線DE、EF、DF把△ABC分成四個(gè)全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF，四邊形BFED和CFDE，四邊形ADFE和DFCE.②頂點(diǎn)是中點(diǎn)的三角形，我們稱之為中點(diǎn)三角形；中點(diǎn)三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.思考：畫出三角形的所有中線和中位線，并說出中位線和中線的區(qū)別.ABCDEF中位線中線圖形相同點(diǎn)都和邊的中點(diǎn)有關(guān)；不同點(diǎn)三角形中位線的兩個(gè)端點(diǎn)都是邊的中點(diǎn)；三角形中線只有一個(gè)端點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，另一端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).CBAEDCBAD例1ABCEFD如圖，已知△ABC，D、E、F分別是BC、AB、AC邊上的中點(diǎn).（1）若∠AEF=60°，則∠B=

度（2）若BC=8cm，則EF=

cm（4）若△ABC的面積為S，則△DEF的面積_____；（3）若△ABC的周長為18cm，

則△DEF的周長是______；

圖中有_____個(gè)平行四邊形；6049cm3

例2(1)若AC=BD，四邊形EFGH是什么圖形？如圖，順次聯(lián)結(jié)四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)E、F、G、H，ABCDEFGHABCD四邊形EFGH是菱形例2如圖，順次聯(lián)結(jié)四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)E、F、G、H，(2)若AC⊥BD，四邊形EFGH是什么圖形？ABCDEFGH四邊形EFGH是矩形例2如圖，順次聯(lián)結(jié)四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)E、F、G、H，ABCDEFGH(3)若AC=BD且AC⊥BD，四邊形EFGH是什么圖形？四邊形EFGH是正方形例3如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，∠ABD=25°，∠BDC=75°，求∠PMN的度數(shù)．解：∵M(jìn)、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=

CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=25°，∠BPN=∠BDC=75°，∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°?130°)÷2=25°．例4(1)證明：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=

BC.∵CF=BC，∴DE=FC．如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F，使CF=BC，連接CD和EF．（1）求證：DE=CF；例4（2）求EF的長．解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC=．例5

例6

例7

例8

例9如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=5,AB=6,E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB,F為CE的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，求GF得長.例10

例11如圖，已知△ABC的中線BD,CE相交于點(diǎn)O,M,N分別是OB,OC的中點(diǎn).(1)求證：MD和NE互相平分；如圖，已知△ABC的中線BD,CE相交于點(diǎn)O,M,N分別是OB,OC的中點(diǎn).(2)若BD⊥AC，OC2=32,OD+CD=8,求△OCB的面積.例11DEABC如右圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，現(xiàn)在要測量出A、B兩點(diǎn)間的距離，但又無法直接去測量，怎么辦？這時(shí)，在A、B外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)D、E，如果能測量出DE的長度，也就能知道AB的距離了.這是什么道理呢？例12三角形的中位線定理應(yīng)用三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半三角形的

中位線測量距離1.如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則四邊形ADEF的周長為（）

A.8B.10C.12D.16D2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF等于（）A.2B.3C.4D.5C3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC中點(diǎn)．（1）

若DE=5，則BC=

．（2）

若∠B=65°，則∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，則BC=

．106584.如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在A，B外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點(diǎn)間的距離為______m．NM405167.如圖，為了測量某工件的內(nèi)槽寬，把兩根鋼條OA,OB

的端點(diǎn)O連在一起，點(diǎn)C,D分別為OA,OB的中點(diǎn).經(jīng)測得CD=5.5cm,則該工件內(nèi)槽寬AB的長為

cm.11

8.如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AF平分∠CAB，交DE于點(diǎn)F.若DF＝7，求AC的長解：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝7，∴AC＝2AD＝2DF＝14.1239.如圖，E為?ABCD中DC邊的延長線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：AB∥OF，AB＝2OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE,∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴A