18.1.2(第1課時)平行四邊形的判定（1）第18章

平行四邊形如圖，將兩長兩短的四根細木條用小釘絞合在一起，做成一個四邊形，使等長的木條成為對邊，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？B兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．判定性質(zhì)定義DABC思考：如何尋找平行四邊形的判定方法？平行四邊形的定義平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，對角相等，對角線互相平分．思考：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)猜想對邊相等對角相等對角線互相平分兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形這些猜想正確嗎？猜想1：證明：連接BD．∵AB=CD，AD=BC，

BD是公共邊，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．DABC1234兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定1平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC例1如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，點E在BC上，AE∥DC,EF⊥AB，垂足為F.（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；例1如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，點E在BC上，AE∥DC,EF⊥AB，垂足為F.（2）若AE平分∠BAC，BE=10,BF:BE=4:5，求AD的長.例2如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD和BC的中點．求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

例3如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．證明：Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四邊形PONM是平行四邊形．猜想2：證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，

∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．DABC兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC平行四邊形的判定2例4如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝80°，∠2＝45°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．例5如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點N．求證：四邊形ABNE是平行四邊形．證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC=CD=DE=AE，正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是

∴∠DEC=∠DCE=×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABN=∠AEN=108°-36°=72°，∴∠BNE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四邊形ABNE是平行四邊形．ABCDEN猜想3：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．DABCO證明：∵OA=OC，OB=OD，

∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形的判定3平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BODAC例6如圖，線段AC和BD相交于點O，分別過點B,D作AC的垂線，垂足分別為E,F，且BE=DF,AF=CE,依次連接點A,B,C,D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．例7如圖，已知平行四邊形ABCD中，點O是AC的中點，過點O作EF,交BC于點E,交AD于點F.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．例8已知平面直角坐標系中點A(-1,-1),B(2,-1),C(1,2),在坐標系內(nèi)找一點D，使得以A,B,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形.D1(4,2)xyOABCD1(4,2)D2(-2,-2)D1(-2,-2)D3(0,-4)D1(0,-4)這張圖揭示了定義、性質(zhì)、判定間的邏輯關(guān)系，提供了研究幾何圖形的一般思路．在研究平行四邊形判定的過程中，我們經(jīng)歷了兩個階段，哪兩個階段呢？性質(zhì)定義判定逆向猜想例9如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16,BC=21,CD=13,動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以每秒3個單位的速度運動，動點Q時從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位的速度向終點D運動，當動點Q到達點D時，動點P也同時停止運動,設(shè)點P的運動時間為t（秒）.求以點P,C,D,Q為頂點的四邊形時平行四邊形時的t值.例9如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=16,BC=21,CD=13,動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以每秒3個單位的速度運動，動點Q時從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位的速度向終點D運動，當動點Q到達點D時，動點P也同時停止運動,設(shè)點P的運動時間為t（秒）.求以點P,C,D,Q為頂點的四邊形時平行四邊形時的t值.判定01判定03判定04定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判定（1）判定02兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.1.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：∠A:∠B:∠C:∠D的值為（）A.1:2:3:4

B.1:4:2:3

C.1:2:2:1

D.3:2:3:2

D2.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是()A.兩組對邊分別相等B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等D.兩組對邊分別平行C3.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA=OC，OB=OD

B．AB=CD，AO=COC．AB=CD，AD=BC

D．∠BAD=∠BCD，AB∥CDBODACB4.如圖，已知∠CBE=38°，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則四邊形ABCD的各內(nèi)角度數(shù)依次為（

）A.48°,132°,48°,132°B.142°,142°,38°,38°

C.38°,38°,142°,142°D.38°,142°,38°,142°

D5.依據(jù)所標數(shù)據(jù)，一定為平行四邊形的是（

）A.B.C.D.B6.如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形．7.如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．8.如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB