廣東省揭陽市第一中學2018屆高三上學期第二次階段考試數學（理）試題掃描版一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.若函數$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖像過點$A(-1,2)$，$B(1,0)$，且$f(0)=3$，則$a+b+c+d=\text{______}$。A.1B.2C.3D.42.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_5=10$，$a_3+a_7=18$，則$a_1+a_9=\text{______}$。A.12B.15C.18D.213.若不等式組$\begin{cases}x+2y\leq4\\y-x\geq-1\end{cases}$的解集為一個三角形區域，則該三角形的面積是$\text{______}$。A.2B.3C.4D.54.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$的圖像與直線$y=k$有3個交點，則實數$k$的取值范圍是$\text{______}$。A.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$B.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)$C.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$D.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2]$5.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(x+1)-f(x-1)=\text{______}$。A.$4x$B.$4$C.$8$D.$0$6.若復數$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）滿足$|z-1|=|z+1|$，則實數$a$和$b$的取值范圍分別是$\text{______}$。A.$a\in(-\infty,0]$,$b\in(-\infty,+\infty)$B.$a\in[0,+\infty)$,$b\in(-\infty,+\infty)$C.$a\in(-\infty,+\infty)$,$b\in(-\infty,0]$D.$a\in(-\infty,+\infty)$,$b\in[0,+\infty)$7.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\text{______}$。A.5B.7C.9D.118.若函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，則$f'(1)=\text{______}$。A.-1B.0C.1D.29.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=1$，$a_2+a_4=10$，則$a_5+a_8=\text{______}$。A.18B.20C.22D.2410.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$的圖像與直線$y=k$有2個交點，則實數$k$的取值范圍是$\text{______}$。A.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$B.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)$C.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$D.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2]$二、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$，則$f(1)=\text{______}$。2.若復數$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復平面上的對應點是$\text{______}$。3.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\text{______}$。4.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f'(1)=\text{______}$。5.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=1$，$a_2+a_4=10$，則$a_5+a_8=\text{______}$。6.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$的圖像與直線$y=k$有3個交點，則實數$k$的取值范圍是$\text{______}$。7.若不等式組$\begin{cases}x+2y\leq4\\y-x\geq-1\end{cases}$的解集為一個三角形區域，則該三角形的面積是$\text{______}$。8.若復數$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復平面上的對應點是$\text{______}$。9.若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$的圖像與直線$y=k$有2個交點，則實數$k$的取值范圍是$\text{______}$。10.若函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，則$f'(1)=\text{______}$。三、解答題（本大題共5小題，共100分）1.（本小題共20分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求：（1）函數$f(x)$的極值；（2）函數$f(x)$在區間$[-2,3]$上的最大值和最小值。2.（本小題共20分）已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=1$，$a_2+a_4=10$，求：（1）數列$\{a_n\}$的通項公式；（2）數列$\{a_n\}$的前$n$項和公式。3.（本小題共20分）已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,3)$，求：（1）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夾角余弦值；（2）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模長。4.（本小題共20分）若復數$z=a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）滿足$|z-1|=|z+1|$，求：（1）實數$a$和$b$的取值范圍；（2）$z$在復平面上的對應點。5.（本小題共20分）若函數$f(x)=\frac{1}{x^2-2x+1}$的圖像與直線$y=k$有3個交點，求：（1）實數$k$的取值范圍；（2）求函數$f(x)$在$x=1$處的切線方程。四、解答題（本小題共20分）1.已知函數$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x}$，求：（1）函數$f(x)$的定義域；（2）函數$f(x)$的導數$f'(x)$；（3）函數$f(x)$在區間$[2,4]$上的最大值和最小值。五、解答題（本小題共20分）2.已知等比數列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=3$，求：（1）數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n$；（2）數列$\{a_n\}$的第$n$項$a_n$；（3）數列$\{a_n\}$的通項公式。六、解答題（本小題共20分）3.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,-4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,2)$，求：（1）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的點積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$；（2）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模長$|\overrightarrow{a}|$和$|\overrightarrow{b}|$；（3）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夾角余弦值$\cos(\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}))$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：由題意知，$f(-1)=2$，$f(1)=0$，$f(0)=3$，代入$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$得：$$\begin{cases}a-b+c+d=2\\a+b+c+d=0\\d=3\end{cases}$$解得$a=0$，$b=0$，$c=-3$，所以$a+b+c+d=3$。2.A解析：由等差數列的性質知，$a_3=a_1+2d$，$a_7=a_1+6d$，代入$a_1+a_5=10$得：$$a_1+(a_1+4d)=10$$解得$a_1=2-2d$，代入$a_3+a_7=18$得：$$2-2d+8d=18$$解得$d=3$，所以$a_1=-4$，$a_1+a_9=-4+5d=-4+15=11$。3.A解析：畫出不等式組對應的平面區域，可知三角形的面積為$\frac{1}{2}\times3\times2=3$。4.C解析：令$y=\frac{1}{x^2-2x+1}$，則$x^2-2x+1=\frac{1}{y}$，即$y^2(x^2-2x+1)=1$。由于$x^2-2x+1=(x-1)^2$，所以$y^2(x-1)^2=1$，即$(y-1)(y+1)(x-1)^2=1$。當$y=1$時，$x=1$，所以圖像與直線$y=1$相切；當$y=-1$時，$x=2$，所以圖像與直線$y=-1$相切。因此，實數$k$的取值范圍是$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$。5.B解析：$f(x+1)-f(x-1)=[(x+1)^2-2(x+1)+1]-[(x-1)^2-2(x-1)+1]=4$。6.B解析：由$|z-1|=|z+1|$得$(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2$，化簡得$a=0$，所以實數$a$的取值范圍是$a\in[0,+\infty)$，實數$b$的取值范圍是$b\in(-\infty,+\infty)$。二、填空題1.$\frac{1}{2}$解析：代入$x=1$得$f(1)=\frac{1}{1^2-2\times1+1}=\frac{1}{0}=\infty$，但由于$f(x)$在$x=1$處有極值，所以$f(1)=\frac{1}{2}$。2.$(0,0)$解析：由$|z-1|=|z+1|$得$(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2$，化簡得$a=0$，所以$z$在復平面上的對應點是$(0,0)$。3.5解析：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2+2\times3=8$。4.0解析：$f'(x)=2x-2$，代入$x=1$得$f'(1)=2\times1-2=0$。5.18解析：由等差數列的性質知，$a_5=a_1+4d$，$a_8=a_1+7d$，代入$a_1=1$，$a_2+a_4=10$得：$$1+4d+1+4d=10$$解得$d=2$，所以$a_5+a_8=1+4\times2+1+7\times2=18$。6.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：同第4題解析。7.3解析：同第3題解析。8.$(0,0)$解析：同第2題解析。9.$k\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$解析：同第4題解析。10.0解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，代入$x=1$得$f'(1)=3\times1^2-6\times1+2=0$。三、解答題1.（本小題共20分）（1）函數$f(x)$的極值：$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$x=\frac{2}{3}$。當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$，函數$f(x)$單調遞增；當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，函數$f(x)$單調遞減；當$x>1$時，$f'(x)>0$，函數$f(x)$單調遞增。所以$x=\frac{2}{3}$是函數$f(x)$的極大值點，$x=1$是函數$f(x)$的極小值點。（2）函數$f(x)$在區間$[-2,3]$上的最大值和最小值：當$x=-2$時，$f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)+1=-15$；當$x=3$時，$f(3)=3^3-3\times3^2+2\times3+1=1$；當$x=\frac{2}{3}$時，$f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-3(\frac{2}{3})^2+2\times\frac{2}{3}+1=\frac{4}{27}$；當$x=1$時，$f(1)=1^3-3\times1^2+2\times1+1=1$。所以函數$f(x)$在區間$[-2,3]$上的最大值是1，最小值是$-15$。2.（本小題共20分）（1）數列$\{a_n\}$的通項公式：由等差數列的性質知，$a_2=a_1+d$，$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=1$，$a_2+a_4=10$得：$$1+d+1+3d=10$$解得$d=2$，所以$a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。（2）數列$\{a_n\}$的前$n$項和公式：數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+(2n-1))}{2}=n^2$。3.（本小題共20分）（1）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夾角余弦值：$\cos(\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}))=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{8}{\sqrt{1^2+2^2}\times\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{5}\times\sqrt{13}}=\frac{8}{\sqrt{65}}$。（2）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的模長：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。（3）向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夾角余弦值：$\cos(\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}))=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\fr