2025陜西省安康市高三上學期開學聯考數學試題+答案一、選擇題1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的對稱中心是（）A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)2.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，S5=15，則a3=（）A.2B.3C.4D.53.在△ABC中，a=4，b=6，cosA=1/3，則sinB=（）A.3√2/4B.√2/4C.3√2/8D.√2/84.若函數f(x)=x^2-4x+4在區間[0,2]上的圖像關于直線x=1對稱，則f(0)=（）A.2B.3C.4D.55.若復數z滿足|z-2i|=|z+i|，則z的實部等于（）A.0B.1C.2D.-1二、填空題1.若復數z滿足z^2+z+1=0，則z的值是_______。2.若等差數列{an}的公差為d，且a1=2，S6=72，則d=_______。3.在△ABC中，若a=3，b=4，cosA=1/2，則sinB的值為_______。4.函數f(x)=|x-2|+|x+1|在x=_______時取得最小值。5.若復數z滿足|z+1|=√5，則z的虛部等于_______。三、解答題1.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，a2=3，a3=5，…，求an的通項公式。2.已知函數f(x)=x^3-3x+1，求f(x)在區間[-1,2]上的單調區間。3.在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，求sinA、sinB、sinC的值。四、解答題4.已知函數f(x)=(x-1)/(x+1)+(x-2)/(x-1)，求f(x)的定義域，并分析其奇偶性。五、解答題5.在平面直角坐標系中，已知點A(2,3)，點B(a,b)在直線y=2x+b上，且AB的中點M在直線y=x+1上，求a和b的值。六、解答題6.若等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，S4=40，求該數列的公比q。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=x^3-3x+1的導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，代入原函數得f(1)=0，f(-1)=0，因此對稱中心為(0,0)，選項A正確。2.B解析：等差數列的前n項和公式為Sn=n/2*(a1+an)，其中an是第n項。由題意知a1=1，S5=15，代入公式得15=5/2*(1+a5)，解得a5=5，公差d=a5-a1=5-1=4，因此a3=a1+2d=1+2*4=9，選項B正確。3.A解析：由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，代入a=4，b=6，cosA=1/3，得16=36+c^2-4c，解得c=2，由正弦定理得sinB=b*sinA/a=6*√2/3/4=3√2/4，選項A正確。4.C解析：函數f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，圖像是一個頂點在(2,0)的拋物線，開口向上，因此在x=2時取得最小值，即f(0)=0，選項C正確。5.A解析：由復數的模的定義得|z+1|=√((x+1)^2+y^2)，|z-2i|=√(x^2+(y-2)^2)，由題意得兩個模相等，即(x+1)^2+y^2=x^2+(y-2)^2，解得y=0，因此z的實部為-1，選項A正確。二、填空題1.z=(-1±√3i)/2解析：解一元二次方程z^2+z+1=0，使用求根公式得z=(-1±√(-3))/2=(-1±√3i)/2。2.d=6解析：由等差數列的前n項和公式Sn=n/2*(a1+an)，得72=6/2*(2+a6)，解得a6=12，公差d=a6-a1=12-2=10。3.sinB=√2/2解析：由正弦定理得sinB=b*sinA/a=4*√2/3/3=√2/2。4.x=2解析：函數f(x)=|x-2|+|x+1|在x=2時取得最小值，因為此時兩個絕對值項都等于0。5.虛部為0解析：由復數的模的定義得|z+1|=√((x+1)^2+y^2)，|z-2i|=√(x^2+(y-2)^2)，由題意得兩個模相等，即(x+1)^2+y^2=x^2+(y-2)^2，解得y=0，因此z的虛部為0。三、解答題1.an=2n-1解析：由題意知數列{an}是一個等差數列，且a1=1，a2=3，a3=5，…，可以觀察到每一項與前一項的差都是2，因此an的通項公式為an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。2.單調遞增區間：(-1,2)；單調遞減區間：(-∞,-1]和[2,+∞)解析：求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，因此f(x)在x=-1和x=1時取得極值。當x<-1或x>2時，f'(x)>0，函數單調遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，函數單調遞減。3.sinA=4√2/12，sinB=5√2/12，sinC=6√2/12解析：由正弦定理得sinA=a*sinC/c=4*sinC/6，sinB=b*sinC/c=5*sinC/6，sinC=c*sinA/a=6*sinA/4，解得sinA=4√2/12，sinB=5√2/12，sinC=6√2/12。四、解答題4.定義域：(-∞,-1)∪(-1,+∞)，奇函數解析：函數f(x)的定義域為所有使分母不為0的x值，即x≠-1和x≠1。對于任意x，f(-x)=(-x-1)/(-x+1)+(-x-2)/(-x-1)=-(x-1)/(x+1)-(x+2)/(x-1)=-f(x)，因此f(x)是奇函數。五、解答題5.a=2，b=-1解析：由中點坐標公式得M((2+a)/2,(3+b)/2)在直線y=x+1上，即(3+b)/2