2025年國際信息學奧林匹克競賽模擬試卷：算法設計與應用一、選擇題要求：從給出的四個選項中選擇一個正確的答案。1.以下哪種數據結構在插入和刪除操作時最穩定？A.鏈表B.樹C.數組D.抽象數據類型2.在以下排序算法中，哪一種算法的平均時間復雜度最低？A.冒泡排序B.快速排序C.選擇排序D.插入排序3.下列哪種算法適用于處理大量數據的查找問題？A.二分查找B.線性查找C.暴力查找D.分治查找4.以下哪個概念與圖的連通性有關？A.樹B.樹狀數組C.根據點D.矩陣5.下列哪個算法用于求解圖的最近公共祖先問題？A.DFSB.BFSC.Dijkstra算法D.Prim算法二、填空題要求：在空格處填寫正確的內容。6.算法的時間復雜度通常用大O符號表示，其中大O符號表示的是算法執行時間隨輸入規模增長的極限。7.在快速排序中，每次分區后，基準元素會被放到數組的中間位置，這個過程稱為______。8.下列排序算法中，______算法屬于原地排序。9.對于一個無向圖，如果任意兩個頂點之間都存在路徑，則稱該圖為______。10.在圖的遍歷算法中，______算法可以找到圖中所有的連通分量。三、編程題要求：根據題目要求，編寫相應的代碼。11.編寫一個函數，實現將兩個整數合并為一個整數，要求合并后的整數按照非降序排列。例如：輸入：123,4567，輸出：4567123。12.編寫一個函數，實現判斷一個整數是否為回文數。例如：輸入：121，輸出：True；輸入：123，輸出：False。13.編寫一個函數，實現判斷一個整數是否為素數。例如：輸入：13，輸出：True；輸入：10，輸出：False。四、應用題要求：根據以下條件，設計一個算法并實現相應的代碼。假設有一個包含n個整數的數組，要求找出數組中所有不同的元素，并按照從小到大的順序輸出。例如：輸入：[5,3,5,2,8,2,3]，輸出：[2,3,5,8]。五、編程題要求：編寫一個函數，實現計算一個整數序列的中位數。例如：輸入：[1,3,2,4,5]，輸出：3；輸入：[1,2]，輸出：1.5。函數需要處理以下情況：-當序列長度為奇數時，返回中間的元素。-當序列長度為偶數時，返回中間兩個元素的平均值。-當序列為空時，返回None。六、分析題要求：分析以下算法的復雜度，并解釋原因。給定一個整數數組，編寫一個函數，找出數組中的最大值和最小值，并返回這兩個值。```pythondeffind_max_min(arr):ifnotarr:returnNone,Nonemax_val=min_val=arr[0]fornuminarr:ifnum>max_val:max_val=numelifnum<min_val:min_val=numreturnmax_val,min_val```請分析該函數的時間復雜度和空間復雜度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A.鏈表解析：鏈表在插入和刪除操作時不需要移動其他元素，因此是最穩定的數據結構。2.答案：B.快速排序解析：快速排序的平均時間復雜度為O(nlogn)，在所有排序算法中平均性能最佳。3.答案：D.分治查找解析：分治查找算法在處理大量數據時，尤其是大數據集的查找問題，具有較好的性能。4.答案：A.樹解析：圖的連通性可以通過樹來表示，因此樹與圖的連通性有關。5.答案：A.DFS解析：DFS（深度優先搜索）算法可以用來找到圖中所有的連通分量。二、填空題6.答案：極限解析：大O符號表示算法執行時間隨輸入規模增長的極限。7.答案：分區解析：在快速排序中，每次分區后，基準元素會被放到數組的中間位置，這個過程稱為分區。8.答案：插入排序解析：插入排序是一種原地排序算法，不需要額外的存儲空間。9.答案：連通圖解析：對于一個無向圖，如果任意兩個頂點之間都存在路徑，則稱該圖為連通圖。10.答案：DFS和BFS解析：在圖的遍歷算法中，DFS和BFS算法可以找到圖中所有的連通分量。三、編程題11.答案：```pythondefmerge_integers(a,b):merged=[]i,j=0,0whilei<len(a)andj<len(b):ifa[i]<b[j]:merged.append(a[i])i+=1else:merged.append(b[j])j+=1merged.extend(a[i:])merged.extend(b[j:])returnint(''.join(map(str,merged)))```12.答案：```pythondefis_palindrome(num):returnstr(num)==str(num)[::-1]```13.答案：```pythondefis_prime(num):ifnum<=1:returnFalseforiinrange(2,int(num**0.5)+1):ifnum%i==0:returnFalsereturnTrue```四、應用題答案：```pythondeffind_unique_elements(arr):unique_elements=[]fornuminarr:ifnumnotinunique_elements:unique_elements.append(num)unique_elements.sort()returnunique_elements```五、編程題答案：```pythondefmedian_of_sequence(seq):ifnotseq:returnNoneseq.sort()n=len(seq)ifn%2==1:returnseq[n//2]else:r