2025年加拿大數學競賽（CMO）模擬試卷：組合數學與數論進階挑戰題集一、多項選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選擇一個或多個正確答案。1.設集合A={1，2，3，4，5}，集合B={2，4，6，8，10}，下列說法正確的是：A.A與B的交集為空集B.A與B的并集為{1，2，3，4，5，6，8，10}C.A與B的對稱差集為{1，3，5，6，8，10}D.A與B的補集分別為{6，8，10}和{1，3，5}2.下列數列中，等差數列的是：A.1，4，7，10，13B.2，5，8，11，14C.3，6，9，12，15D.4，7，10，13，163.下列關于排列組合的說法正確的是：A.從5個不同的球中取出2個，有10種不同的取法B.從5個不同的球中取出3個，有10種不同的取法C.從5個不同的球中取出4個，有5種不同的取法D.從5個不同的球中取出5個，有1種不同的取法4.下列關于二項式定理的說法正確的是：A.二項式定理的通項公式為C(n，k)*a^(n-k)*b^kB.二項式定理的展開式共有n+1項C.二項式定理的展開式中，第k項系數為C(n，k)D.二項式定理的展開式中，第k項系數與第n-k項系數互為相反數5.下列關于數論的說法正確的是：A.兩個互質的自然數的最小公倍數為它們的乘積B.兩個互質的自然數的最大公約數為1C.兩個自然數的最大公約數是它們的公因數中最大的一個D.兩個自然數的最小公倍數是它們的公倍數中最小的一個二、解答題要求：請將答案填寫在答題卡上。6.設集合A={1，2，3，4，5}，集合B={2，4，6，8，10}，求A與B的交集、并集、對稱差集。7.求下列數列的通項公式：A.1，4，7，10，13B.2，5，8，11，14C.3，6，9，12，15D.4，7，10，13，168.設有5個不同的球，從中取出2個、3個、4個、5個，分別求出取法的種數。9.求下列二項式的展開式中，第3項的系數：A.(a+b)^5B.(a-b)^5C.(a+b)^6D.(a-b)^610.求下列數對的最大公約數和最小公倍數：A.(12，18)B.(15，20)C.(21，28)D.(24，30)四、證明題要求：證明下列命題。11.證明：對于任意自然數n，如果n是4的倍數，那么n的平方也是4的倍數。五、計算題要求：計算下列表達式的值。12.計算下列組合數的值：A.C(7，3)B.C(5，2)C.C(6，4)D.C(8，0)六、應用題要求：根據題目給出的條件，解決實際問題。13.有一個班級共有30名學生，其中有12名學生參加數學競賽，15名學生參加物理競賽，6名學生同時參加數學和物理競賽。求這個班級中至少有多少名學生沒有參加任何競賽。本次試卷答案如下：一、多項選擇題1.BCD解析：集合A與B的交集為{2，4}，并集為{1，2，3，4，5，6，8，10}，對稱差集為{1，3，5，6，8，10}，A與B的補集分別為{6，8，10}和{1，3，5}。2.A解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項，d為公差。選項A中的數列公差為3，符合等差數列的定義。3.AD解析：排列組合中，從n個不同元素中取出k個元素的排列數為P(n，k)=n!/(n-k)!，組合數為C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]。根據公式，選項A和D正確。4.ABC解析：二項式定理的通項公式為C(n，k)*a^(n-k)*b^k，展開式共有n+1項，第k項系數為C(n，k)。5.AB解析：兩個互質的自然數的最小公倍數為它們的乘積，最大公約數為1。選項A和B正確。二、解答題6.交集：{2，4}；并集：{1，2，3，4，5，6，8，10}；對稱差集：{1，3，5，6，8，10}。解析：集合A與B的交集為它們共有的元素，并集為它們所有的元素，對稱差集為它們各自獨有的元素。7.A.an=3n-2；B.an=3n-1；C.an=3n；D.an=3n+1。解析：根據等差數列的定義，計算公差d=a2-a1=3，代入通項公式an=a1+(n-1)d，得到各數列的通項公式。8.取2個球：C(5，2)=10種；取3個球：C(5，3)=10種；取4個球：C(5，4)=5種；取5個球：C(5，5)=1種。解析：根據組合數的計算公式C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]，計算各取法種數。9.A.C(5，2)*a^3*b^2；B.C(5，2)*a^3*b^2；C.C(6，2)*a^4*b^2；D.C(6，2)*a^4*b^2。解析：根據二項式定理的通項公式，計算第3項的系數。10.A.最大公約數：6；最小公倍數：36；B.最大公約數：5；最小公倍數：20；C.最大公約數：7；最小公倍數：84；D.最大公約數：12；最小公倍數：60。解析：根據最大公約數和最小公倍數的定義，計算各數對的最大公約數和最小公倍數。四、證明題11.證明：對于任意自然數n，如果n是4的倍數，那么n的平方也是4的倍數。解析：設n=4k，其中k為自然數。則n^2=(4k)^2=16k^2=4(4k^2)，即n^2是4的倍數。五、計算題12.A.C(7，3)=35；B.C(5，2)=10；C.C(6，4)=15；D.C(8，0)=1。解析：根據組合數的計算公式C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]，計算各組合數的值。六、應用題13.解：設沒有參加任