廣東省深圳市寶安區2013屆高三上學期第一次模擬考試（數學）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=0，f(2)=2，f(3)=3，則下列結論錯誤的是（）A.a+b+c=0B.a+b+c=2C.a+b+c=3D.a+b+c=12.在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=4，則BC的取值范圍是（）A.(2,4]B.[2,4)C.(2,4)D.[2,4]3.若復數z=a+bi（a，b∈R），則|z|的最大值是（）A.√(a^2+b^2)B.a^2+b^2C.|a|+|b|D.|a-b|4.已知函數f(x)=x^3-3x+1，則f'(x)=（）A.3x^2-3B.3x^2+3C.3x^2-1D.3x^2+15.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3=6，S5=15，則數列{an}的公差是（）A.1B.2C.3D.46.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，則向量a+b的坐標是（）A.(3,3)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,2)7.在△ABC中，已知AB=AC，則角B和角C的關系是（）A.∠B=∠CB.∠B>∠CC.∠B<∠CD.∠B=∠C+30°8.已知函數f(x)=log2(x+1)，則f(x)的值域是（）A.(0,1)B.(1,2]C.(0,2]D.(-∞,2]9.若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則數列{an}的前n項和為Sn，若S5=16，S7=128，則a1的值為（）A.1B.2C.4D.810.已知函數f(x)=x^3-3x+2，則f(x)的單調區間是（）A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,∞)D.(-∞,1)∪(1,∞)二、填空題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）11.若復數z=2+3i，則|z|=__________。12.已知函數f(x)=x^2+2x+1，則f(x)的對稱軸方程為__________。13.在△ABC中，已知AB=AC，且BC=4，則∠A的度數為__________。14.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，則向量a-b的坐標為__________。15.若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則數列{an}的第n項為__________。16.已知函數f(x)=log2(x+1)，則f(3)=__________。17.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數為__________。18.若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則數列{an}的第n項為__________。19.已知函數f(x)=x^3-3x+2，則f(-1)=__________。20.在△ABC中，已知AB=AC，且BC=4，則∠B的度數為__________。三、解答題（本大題共3小題，共40分）21.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=0，f(2)=2，f(3)=3。（1）求a，b，c的值；（2）求函數f(x)的對稱軸方程。22.（本小題滿分12分）已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=4。（1）求△ABC的周長；（2）求△ABC的面積。23.（本小題滿分16分）已知等差數列{an}的首項為a1，公差為d，且a1+a2+a3=9，a1+a4+a5=27。（1）求a1，d的值；（2）求等差數列{an}的第10項。四、解答題（本大題共3小題，共40分）24.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x^3-3x+1，求函數的極值點。（1）求函數f(x)的導數f'(x)；（2）令f'(x)=0，解得x的值；（3）分析x的值對應的函數f(x)的極值類型（極大值或極小值）；（4）求出極值點對應的函數值。25.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，點A(2,3)，點B(-1,2)。（1）求直線AB的斜率；（2）求直線AB的截距；（3）寫出直線AB的方程；（4）求點C(4,y)到直線AB的距離。26.（本小題滿分16分）已知數列{an}是一個等比數列，其中a1=2，公比q=3。（1）求該數列的前5項；（2）求該數列的前n項和S_n的表達式；（3）求該數列的第10項；（4）求該數列的通項公式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由f(1)=0，f(2)=2，f(3)=3，可列出方程組：a+b+c=04a+2b+c=29a+3b+c=3解得a=1，b=0，c=-1，所以a+b+c=0。2.A解析：由∠A=60°，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°，由正弦定理可得：BC/sin75°=AB/sin60°BC=AB*sin75°/sin60°BC=4*sin75°/sin60°BC在(2,4]范圍內。3.C解析：復數z=a+bi的模長|z|是實部和虛部平方和的平方根，即|z|=√(a^2+b^2)。4.A解析：函數f(x)=x^3-3x+1的導數f'(x)是3x^2-3。5.B解析：由等差數列的性質，S3=3a1+3d，S5=5a1+10d，得：3a1+3d=65a1+10d=15解得d=2。6.A解析：向量a+b的坐標是a的坐標加上b的坐標，即(1+2,2+1)=(3,3)。7.A解析：由等腰三角形的性質，底角相等，所以∠B=∠C。8.C解析：函數f(x)=log2(x+1)的定義域是x>-1，所以值域是(0,2]。9.B解析：由等比數列的性質，S5=a1(1-q^5)/(1-q)，S7=a1(1-q^7)/(1-q)，得：a1(1-q^5)/(1-q)=16a1(1-q^7)/(1-q)=128解得q=3，a1=2。10.A解析：函數f(x)=x^3-3x+2的導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，所以單調區間是(-∞,-1)。二、填空題11.√13解析：復數z=2+3i的模長|z|=√(2^2+3^2)=√13。12.x=-1解析：函數f(x)=x^2+2x+1可以寫成f(x)=(x+1)^2，所以對稱軸方程是x=-1。13.60°解析：由∠A=60°，得∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。14.(-1,1)解析：向量a-b的坐標是a的坐標減去b的坐標，即(1-2,2-1)=(-1,1)。15.an=a1+(n-1)d解析：等差數列的通項公式是an=a1+(n-1)d。16.3解析：函數f(x)=log2(x+1)，f(3)=log2(3+1)=log2(4)=2。17.75°解析：由∠A=60°，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°。18.an=a1*q^(n-1)解析：等比數列的通項公式是an=a1*q^(n-1)。19.0解析：函數f(x)=x^3-3x+2，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+2=0。20.75°解析：由∠A=60°，得∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-75°=45°。三、解答題21.（本小題滿分12分）（1）a=1，b=0，c=-1解析：由f(1)=0，f(2)=2，f(3)=3，可列出方程組：a+b+c=04a+2b+c=29a+3b+c=3解得a=1，b=0，c=-1。（2）對稱軸方程x=-1解析：函數f(x)=ax^2+bx+c的對稱軸方程是x=-b/(2a)，所以對稱軸方程是x=-1。22.（本小題滿分12分）（1）周長為12解析：由∠A=60°，∠B=45°，AB=4，得BC=4*sin75°/sin60°，AC=AB=4，所以周長為AB+BC+AC=4+4*sin75°/sin60°+4。（2）面積為8√3解析：由∠A=60°，∠B=45°，AB=4，得BC=4*sin75°/sin60°，AC=AB=4，所以面積為(1/2)*BC*AC*sin∠B=8√3。23.（本小題滿分16分）（1）a1=3，d=4解析：由a1+a2+a3=9，a1+a4+a5=27，得：3a1+3d=95a1+10d=27解得a1=3，d=4。（2）第10項為43解析：由等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，得第10項為a10=a1+9d=3+9*4=43。四、解答題24.（本小題滿分12分）（1）f'(x)=3x^2-3解析：函數f(x)=x^3-3x+1的導數f'(x)是3x^2-3。（2）x=±1解析：令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1。（3）極值點為x=1和x=-1解析：由f'(x)=3x^2-3，得f'(x)在x=-1和x=1時為0，所以極值點為x=1和x=-1。（4）極值點對應的函數值為0解析：將x=1和x=-1代入f(x)，得f(1)=0，f(-1)=0，所以極值點對應的函數值為0。25.（本小題滿分12分）（1）斜率為-1/3解析：直線AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(2-3)/(-1-2)=-1/3。（2）截距為-1解析：直線AB的截距b=y1-kx1=3-(-1/3)*2=-1。（3）直線AB的方程為y=-1/3x-1解析：由斜率和截距可得直線AB的方程為y=-1/3x-1。（4）點C到直線AB的距離為5/√10解析：點C到直線AB的距離d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，其中直線AB的方程為y=-1/3x-1，代入點C(4,y)得d=5/√10。26.（本小題滿分16分）（1）前5項為2，6，18，54，162解析：由等比數列的通項公式an=a1*q^(n-1)，得前5項為2，2*3，2*3