9.5三定問題及最值（精練）

L（2。23?北京?統考高考真題）已知橢圓￡介》叱…）的離心率為冬人C分別是"的上、下

頂點，B,。分別是七的左、右頂點，14cl=4.

⑴求E的方程;

⑵設尸為第一象限內E上的動點，直線P。與直線/3C交于點例，直線PA與直線），=-2交于點N.求證:

MN//CD.

【答案】⑴工+二=1

94

⑵證明見解析

【解析】（1）依題意，得"則。=旦,

a33

乂AC分別為橢圓上下頂點，|人。=4,所以力=4,即〃=2,

所以"一,2=從=4,即/一京2=/2=4,則（『=9,

所以橢圓E的方程為二十匕=1.

94

（2）因為橢圓E的方程為三+上=1,所以4（0,2）,。（0,-2）,小一3,0）,。（3,0）,

94

因為P為第一象限E上的動點，設。（以〃）（0<〃?<3,0<〃<2）,則為+J1,

4

出二2=一二，則直線。。的方程為丁二一二（工一3）,

〃?一3in-3m-3

2今3（3/i-2m+6）

y=--x-2，3（3〃一2m+6）

3〃+2吁6,即“一12〃

聯立，解得?

一⑵、3〃+2m-63〃+2m-6）

y=—（yx-3f）y=---------

m-33n+2m-6

而=則直線P4的方程為）'=七匚工+2,

m-0mm

令），二-2,則-2==x+2,解得x==,即N（=,-2

mn-21〃-2

X—+—=1,則一2=9-^-,3/=72-18萬,

944

——+2

3〃+2〃?一6（-6/?+4〃?-12）（〃一2）

所以治m=

3（3〃-2/〃+6）-4m（9〃-66+18）（〃-2）+4〃？（3〃+2機一6）

372+2m-6n-2

—6/z:+4rrifi—8〃/+24—Gti2+4mn—8，〃+24

9〃'+8，〃2+6mn-12m-369/?2+72-18/z2+6mn-12m-36

—6/+-8，"+24_2（-3/+2mn-4〃？+12）_2

-9/z2+6mn-12m+363（-3/r+2機〃-4/〃+12）3'

0+22

乂kg=T—r=r?即k9N=G?

J-Uj

顯然，MN與CO不重合，所以MNI/CD.

2.（2023?全國?統考高考真題）已知橢圓。：，+，=1（。＞匕＞0）的離心率是手，點A（-2,0）在C上.

⑴求。的方程；

⑵過點（-2,3）的直線交。于P,Q西點，直線AP,AQ與），軸的交點分別為M,N,證明：線段MV的中點為定

點.

【答案】⑴3+*=1

⑵證明見詳解

b=267=3

【解析】（1）由題意可得＜a2=b2+c2,解得，b=2,

c\/5

c=-=----

a3

所以橢圓方程為工+工=1.

94

（2）由題意可知：直線尸。的斜率存在，設PQ：y=Mx+2）+3,P（0yJ.Q（x22），

y=Q+2）+3

聯立方程（/%2,消去），得：（4攵2+9）/+8女（2攵+3）工+16（&:+3攵）=0,

——H----=1

94

貝ijA=64/（2%+31一64（4公+9）伏2+3&）=T728&＞0,解得&＜（）,

司得一.8M2八3）一」6出+3也

-r,必2+9」得-4尸+9

因為4(一2,0),則直線AP：y=±(x+2),

令X。，解得，=黑,即“上二工、

IX+2)

同理可得N（0,若），

2y2%

貝IJ，9+2%+2_[&（為+2）+31[〃（蒼+2）+3]

2N+2x2+2

［向+（2k+3）］（%2+2）++（2Z+3）］（X［+2）2例々+（42+3）（芭+.）+4（2々+3）

（苦+2）（々+2）x1x2+2（再+x2）+4

32MA2+3%）8A（4k+3）（2女+3）

+4（2左+3）

44、+9-4火2+9唾=3,

16（小+3。16M2%+3）+436

軟2+9412+9+

所以線段MN的中點是定點(0,3).

3.(2006?湖南?高考真題)已知G：《+f=1,拋物線C：(y-〃z)2=2px(p>0),且C、G的公共弦A8過

43

橢圓C1的右焦點.

(1)當軸時，求機、〃的值，并判斷拋物線。2的焦點是否在直線A8上；

⑵是否存在小、〃的值，使拋物線G的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的機、〃的值；若不存

在，請說明理由.

9

【答案】⑴加=0,P=~,焦點不在直線48上;

O

⑵存在，〃1二4^或/〃=一逆^旦〃=《?

333

【解析】(1)由題意得橢圓的右焦點為(1,0),當A8/X軸時，46關于X軸對稱,

由拋物線方程得j=±y/2px+m，

要使a=』，需"，=0，

此時直線48的方程為x=l,代入=十，=1,得尸土"

432

所以力1,-,B1,七，

因為A在拋物線.匕所以：9=2〃，得〃=9J,

48

此時G的焦點坐標為

該焦點不在直線A8上；

(2)假設存在/〃、〃的值，使拋物線G的焦點恰在直線A8上，由(1)知直線的斜率存在，所以可設

直線48的方程為y=%(x—1),

y=k(x-l)

由Ify2，得(3+4產)f-8/x+4/-12=°，

一+J=1

、43

設A(x,,%),B(X2,.y2),則為+巧=產不，

3+4k

y-k(x-V)

2222

由「2，I#kx-2(k+km+p)x+(k+m)=0,

=2px

所以與+”2街+片+叫

因為G的焦點廠(^，利)恰在直線AB上，

所以m

所以%+占=型;吆，

k

「二川8Ar2”(A?+2)「廠，7.、_8.

必以百記"1^'所以P—(3+4公)儼+2)'

因為A4過G，G的焦點,

所以|A同=(2-去可

所以〃=4-%+64-與=3

2123+4公4公+3

8y_4/+12

所以（3+4用儼+2）=HT

化簡得小一5公一6=0,解得公=6，所以&=±指,

所以滿足條件的〃八〃存在，此時加=乎或機=-4，且〃=*

4.（2023?河南?校聯考二模）已知橢圓￡±+[=1（。＞〃〉0）的左、右焦點分別為RK，左、右頂點分別

為A，4，尸2是。&（。為坐標原點）的中點，且內周|&周二2.

⑴求石的方程；

⑵不過坐標原點的直線/與橢圓E相交于A4兩點（A,8異于橢圓E的頂點），直線AV4&與y軸的交點分

別為M,N,若&N—&。=340-34M,證明：直線/過定點，并求該定點的坐標.

【答案】⑴工+工=1

（2）證明見解析，定點為（1,0）

【脩析】（1）設橢圓七的半焦距為跳。＞0）,

???巴是。4的中點，.?.〃=2c,閭瑪|=2c(a-c)=2c2=2,解得：c=l,

.,.a=2,b=V22—I2=>/3,

???橢圓E的方程為：二+匕=1.

(2)由(1)得:A(-2,0).A(2,0),

設A（X"）."（X2，X），

則直線AA的方程為二三（12），直線BA2的方程為y=—2),

人II乙

42-40=340-32,/.ON=3MO，即|ON1=9|MO],

.4代_36y：,飛3<12-3x,2,.

..(一)「(而+2廣又“3-丁二--，力=3-

44

?4一芯J"；口］2+&_9(2-A-1)

.?伍-2)2(X+2)2’即二一下二

整理可得：5&+電）-2內為一8=0（*）；

①若直線A4的斜率存在，設直線八比丁=6+，，

y=kx+t

由，丁,2得：(3+4公)犬+8虹1+4產-12=(),其中4=48(3+4公一產)>0,

+=1

,43

8kl4/一12

..X+X-)-二，9XtX>y=-----針9

■3+4個「3+43

八、、_8kt_4*~_12__

代人(*)式得：-5x---------2x----------8=0,

')3+4公3+4公

整理可得：4K+5內+/=(4攵+1)(%+/)=。，.\t=-4k^t=-k.

當UTZ時，直線4B:），=依一必=攵（工-4）,恒過點（4,0）,如圖所示,

此時點M與N在x軸的同一側，不滿足ON=3M。，故舍去;

當/=-攵時，直線44:），=京-&=攵（4-1）,恒過點（1,0）,符合題意，如圖所示,

②若直線A8的斜率不存在，則％=占，

由5（%十為）一2%七一8=0得：￥-5々+4=0,解得：9=1或玉=4,

止匕時直線人8的方程為x=l或x=4,

又直線x=4與橢圓不相交，故舍去，x=l滿足條件，.?.A8:x=l,恒過點（1,0）.

綜上所述：直線A8恒過定點（L0）.

5.（2023?陜西商洛?鎮安中學校考模擬預測）已知圓2：（x+l）2+y2=i,圓。2：（工-爐+）?=?，圓”

與圓。1外切，且與圓。2內切.

⑴求圓心M的軌跡C的方程；

（2）若A,B,。是C上的三點，且直線A4不與x軸垂直，O為坐標原點，OQ=AOA+^OB,則當.＜04的

面積最大時,求儲+Z?的最.

【答案】⑴H+f=1

43

（2）1

I7

【解析】⑴由題意設圓M的半徑為r,則|Ma|二r+/=所以眼?|+四04=4＞痣。2|=2,

故圓心M的軌跡是以a（-1,0）,Q（l,o）為焦點，4為長軸長的輔圓，

所以c=1,a=2,則//=3,

（2）設A（4,y）,8（巧,必），QI：%,%）,直線47?的方程為），=辰+，.

22

將y=6+f代入三+工=1,整理得（3+4攵2）寸+8履1.+4/-12=0,

A=（8fo）2-4（3+4用（4/—12）＞（）,即4A?一產十3＞。,

864r-\2

則涇二不/

所以k一司=+七『-4%電

364k2r―4（3+附（4/2］2）［48（3+4公?尸）

3+4公-3+4-

----11+&2./48（3+412一/）

故|A用=中卜「司=-------Qp--------2

又原點O到直線AB的距離為4=跖?/,

1以川1J1+公x2Gxj3+4公--M

26乂,（3+軟2一產）產2>/3x3+4^-r+r

=374?-=6，

當且僅當3+4A2T2=/，即3+4二=2/（*）時，等號成立.

X.=Ax.+LIX.,

由OQ=/IOA+〃O3,得〈J,

［為=辦+4*

即22+〃2+22〃1竽+竽J=1（**）.

而工也|）,2.中21（科+/）（質2+，）_（3+4公卜區+4h（內+三）+4/2

43-43-12

8h

（3+4陰x:+Aktx+4〃2產-（3+4/）

3+4F

3+4公

12

由(*)可知畢+崢=0,彳弋入(**)式得義2+〃2-i.

43

故公+〃2的值為L

A

6.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）己知。為坐標原點，橢圓捺+￡=1（。>人>（））的離心率為手，橢圓的

上頂點到右頂點的距離為石.

⑴求橢圓的方程；

⑵若橢圓的左、右頂點分別為E、F,過點。（-2,2）作直線與橢圓交于A、8兩點，且A、8位于第一象限，

A在線段BO上，直線與直線E4相交于點C,連接即、EC,直線EB、七。的斜率分別記為K、k2,

求尢?心的值.

【答案】（1）二十}?=1

4

⑵口~~~

4

【解析】（1）解：由題意知，5=等，橢圓的上頂點到右頂點的距離為77萬=逐，

c

a2

即《冊~+/?~=小,解得a=2,b=l,c=>/3>

a2=b2+c2

因此，橢圓的方程為E+V=|.

（2）解：如下圖所示:

不妨設A（x「x）、*冷力），由圖可知，直線A4的斜率存在,

設直線A3的方程為)，=h+，〃，因為點0(—2,2),則一2八〃?=2,貝卜〃=2A+2,

聯立4可得(4y+1)丁+8knr+4m*2-*44=0,

A=64/:W-16(4^2+1)(/1?-1)>0,可得病<4公+1,即(2k+2)2<4公+1,

3

解得女V—

O

8km16及伏+1)

%+x,=----；——=------\------->0

4k2+\4k2+\

由韋達定理可得〈解得-★＜人＜°，

二4〃“4=4(2&+1)(2&+3)

4及2+]軟2+1

1Q

所以，-：<%<-?,易知E(—2,0)、尸(2,0),

28

由「。在音線。。匕設。(一知七)，

又由于C在直線￡4上，則」^="4,所以，%=―一漢二，

一。-2%-2X+x-2

2一

k.匕_%X+X-2_________y%=(3+24+2)(5+2&+2)

1

2x,+22y?2(x,+2)(x)+2y(-2)(x?+2)(再+2處+4A+2)

?土+y-2

2

kx}x2+2k(k+!)(.￥)+X2)+4(A+1)'

(2k+1)[X)A2十2(七十八2)十4]

4公（2攵+1）（2%+3）-32公,+1）2+4（〃+1）2（4公+1）

=-「心1=_1

（24+嘰4（2攵+1）（2%+3）-3兼僅+1）+4（4代+川4,

4k2+\

22?

7.（2023?黑龍江大慶?統考二模）已知橢圓C：*■+￡=1（〃＞方＞0）的離心率e=5，短軸長為2G.

⑴求橢圓C的方程；

/3

⑵已知經過定點的直線/與橢圓相交于4,B兩點，且與直線），=-彳工相交于點Q,如果AQ=/MP,

QB=〃B，那么％+〃是否為定值？若是，請求出具體數值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴斗+三=1;

43

/?=>/3

c_1

【解析】（1）由題意得《--?—

a2

/=b2+c2

解得/=4?/?~=3?

故橢圓C的方程為上+亡=1；

43

（2）當直線/的斜率不存在時，A（l,80,3

，中T，P0』）,

則AQ=(0,1,4P=(0.—；)Q8=(0.13)}PB=(0—5

4J2J

9一39394

此時AQ=1AP,=z+//=^+^=y

當直線/的斜率存在時，設斜率為&,則直線/的方程為丁=攵（1-1）+1,

y=k(x-\)+\

4k-43-3k)

聯立《3可得Q4Z+3'4k+3)

y=——x

“4

設A（N，），J,8（孫必），

驍黑二h可得（3+止江+（弘-對卜+4H=0,

聯立

8k2-8k4F-弘一8

則mil為+/;百百，中

因為4Q=/MP,QB=pPB,

所以之二等土，,二子:三,

1—X11—占

x(2-x-)-(A-j+x)+勺(6+8&)-8A-162(42-4)-8攵一1624

所以2+〃=c22

1-(X1+X,)+x1x25

8.（2023?四川綿陽?統考二模）已知橢圓C：千+￡=2>…）的焦距為%左右頂點分別為4，4,橢

圓上異于A，4的任意一點P,都滿足直線尸4，尸&的斜率之積為-g.

⑴若橢圓上存在兩點用，人關于直線），="+〃?對稱，求實數〃?的取值范圍；

⑵過右焦點K的直線交橢圓于M,N兩點，過原點0作直線MN的垂線并延長交橢圓于點Q.那么，是否

k1

存在實數上使得西+畫■為定值？若存在，請求出出的值；若不存在，請說明理由.

25/32疔

【答案】（1）

33

⑵存在，H

【解析】（I）由題意得：c=2,4（—0），4（。，0），P（x,y），

n2y2=/-2①

kp,l.kpA）上?上」

x+ax-a2

團點尸在。上，回），2=/-：x2代入①式，團2/一竺團/=%,

Q-6T

22

0c=2,回。2=8,b，=4,橢圓。方程—+—=1?

84

設4（內，X），〃（工，為），

設4同：）'=—+/聯立V+2y2=8得3/_4々+2/_8=0,

A=（4/）2-12（2r2-8）>0n〃v12=/€卜2石,26）,

4z2產-8

，/、

皿,當中點M2在/上，,：2="+，〃，

\—*JJD

、t（2逐2⑸

0Z=-3/??=>m=-e-------,------.

333

（2）設lMN：x=$），+2聯立d+2y=8得12+2））,2+4s），_4=0,

-4s-4

4>/2（52+l）

2J

|MN|=y]\+s|31->'2|=

S2+2

IOQ:y=fX聯立X2+2y2=8得,

n（88-18（r+l）

k_____1_M『+2）l+2/（叵+2卜2+（2怎+1）

+1。.-4扃/+]）+8（5:+l）-8（,r+l）

k1

團網*南為定值‘設為

國（、.k+2）52+（2&A+1）=8/Ls'2+8Z,

團瓜+2=2瘋+1，k=立,

2

因存在“=與Ji,使得的k+鬲1為定值53,

9（2023?云南?校聯考模擬預測）已知橢圓。：￡+.=1（。>8>0）的左、右頂點分別為M、朋2,r為橢圓

a~3

上異于Mi、的動點，設直線TM1、7M2的斜率分別為k、&,且43=-q.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵設動直線/與橢圓C相交于A、B兩點,。為坐標原點，若。4.08=0，aOAb的面積是否存在最小值？

若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴4+2=1

43

12

⑵存在，最小值為亍

【解析】（1）解：不妨設丁的坐標為（為,兄），則”+為=1,則片=3-渾，

a3cr

o至

乂M（—a,0）、M（a,0）,則匕%_：4「一3『3

12%+a/一a工：一。2片一白？a24

故可得之二=，可得/=4,故可得橢圓C的方程為=+￡=1.

a~443

（2）解：因為OA-CM=（），且。4、08均為非零向量，則。

當點A、8均為橢圓。的頂點時，則

若直線04、0B的斜率都存在時，設直線0A的方程為廣質（&工0）,

則直線。3的方程為,，=-9,

L.1.112心:+1）12,2+1）6化"）

此時,S=-\OA\-\OB\=-^

OAB4k2+33r+4］（4公+3“3r+4）

6儼+1）12

一（4r+3）+（3公+4）7,

2

當且僅當4公+3=3公+4時，即當攵=±1時，等號成立,

乂因為牛＜石，故當。408=0時，OA4的面積存在最小值，且最小值為亍.

10.（2023?河南?統考三模）如圖，橢圓C：廠+廠=1（。＞/?＞（））的左、右頂點分別為A,B.左、右焦點分別

彳+k

⑴求橢圓C的方程;

⑵已知P,Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為勺，直線3。的斜率為攵2，k、=2k＞過點8作直線

PQ的垂線，垂足為從問：在平面內是否存在定點7,使得|酬|為定值，若存在，求出點7的坐標；若不

存在，試說明理由.

【答案】⑴C:二=1；

42

2

⑵存在定點T(-,0)使|777|為定值,理由見解析.

c=V2

a2

21cC=4尸%**

【解析】(1)由題意F+F=1，可得k2C，則橢圓方程為。:匕+上山；

22

a~b~I/?=c=242

a~=b~+c-

(2)若直線3Q斜率為h則直線4P斜率為23而A(-2,0),4(2,0),

所以5。:y=k(x-2),AP:y=2k(x+2),

聯立8。與橢圓C,則d+2二*一2尸=4,整理得(1+2公)/一以、+8公—4=0,

8K-44公_2,,4A

所以2X=則mil=故”二一

Q22

\+2k1?\+2k

聯立A尸與橢圓C,則V+8X(X+2)2=4,整理得(1+8-)/+322—+32攵2一4=0,

g”c32k2-42—16公u8k

所以-2x,,=---------,貝miIjx=--------,故)％=-——T，

PI+8/'p1+8/1+8公

4r22-16爐64^4-4

綜上，x-x=

Qpl+2k2~l+8/c2(1+8公)(1+2公)，

4k8k[2*+48公

%f=-1+2,-1+8公=-0+8/)(1+2公)，

山A,,1-，12k(l+4k2)3k

當64A-4*0,H卬1八±5時，kpQ=4(16-)二占F，

lt,,八4k3k/2-軟23k6k72k3

此時PQ:y+----T=--------（.r+-----）=----7x+-----；------r-,

-1+2公1-4Z:2\+2k2\-4k2（\+2k2）（\-4k2）

弘2**1

所以PQ:），=丁47Tx+一7T=747T（3x+2）,即直線PQ過定點（-；,0）；

1-4K1-4公1-4K3

當64公一4=0，即〃=±（時，

I74242

若4=/則％=-彳且"=一三，芍，=一二且為=三，故直線22過定點（一f0）;

/J3.S3j

1?4242

若上=一則%=-5且為=7,與=一二且％=-7,故直線P。過定點（一不0）：

2J3333

2

綜上，直線R2過定點M（一10）,又BH人PQ于H,

易知H軌跡是以8W為直徑的圓上，故BM的中點（j,0）到H的距離為定值，

2

所以，所求定點7為（早0）.

11.（2023?江蘇揚州?統考模擬預測）己知橢圓C:二=\（a>b>0）的左頂點為A,過右焦點尸旦平行于y

a

軸的弦/0=4尸=3.

⑴求△人尸。的內心坐標；

⑵是否存在定點。，使過點。的直線/交。于M,N,交PQ于點R,且滿足MRND=MDRN?若存在,

求出該定點坐標，若不存在，請說明理由.

⑵存在定點。(4,0)

【解析】(1)a2=b2+c2,-—=G+C=3「.a=2,Z?=G,c=1

團橢圓C的標準方程為E+f=1,

43

不妨取p［不箝(-2,0),則”=延,P/7=3；

I2；I2)22

因為△APQ中，AP=AQt所以△4PQ的內心在k軸，設直線口平分4PQ,交x軸于丁，則丁為△APQ

的內心，且第=熊=當,所以"=蕓’則,

6=，°；

（2）（3橢圓和弦PQ均關于x軸上下對稱.若存在定點。，則點D必在x軸上（3設。”,0）

y=k（x-l）

當直線/斜率存在時，設方程為廣?XT）,例G，y）,N（孫％），直線方程與橢圓方程聯立Yy2

-------=1

43

消去）'得（軟2+3）f-8公田+4（攵乎-3）=0,

則△=48出+3—公產）＞0%+X”，中2=，￡；：）①

胤點R的橫坐標為1,M、R、N、D均在直線/上，MRND=MDRN

.?.（l+&2）（l-xj（/-再）=（1+/）（/一內）（9一1）

.-.2r-(l+/)(x1+x2)+2x1x2=O/.27-(l+/)-^-+2x-^￡Z_L^l=o>整理得1=4,

4k+34攵+3

因為點。在橢圓外，則直線/的斜率必存在.凡存在定點54,0）滿足題意

11.（2023?廣東佛山?校考模擬預測）已知。為坐標原點，定點E（TO）,月（1,0），圓。：/+丁=2,歷是

圓內或圓上一動點，圓。與以線段用M為直徑的圓。?內切.

⑴求動點M的軌跡方程;

（2）設M的軌跡為曲線E,若直線/與曲線E相切，過點人作直線/的垂線，垂足為N,證明：|ON|為定值.

【答案】（1）千+了2=1

⑵證明見解析

【解析】（1）圓0:丁+./=2的圓心為0（0,0）,半徑為0,

依題意圓01的半徑r二|a周，乂兩圓相內切，所以圓心距|。。|=及-人

所以|M用+|M周=2|OQj+|M周=2（夜--）+2r=2發＞比周=2,

根據橢圓的定義可知動點M是以￡（-1,0）,5（1,0）為焦點的橢即

」Lc=1,a=\/2，則b=\ja2-c2=1?

（2）當直線/的斜率存在且不為零時，設直線方程為了=去+〃水H0），

y=kx+m

聯立直線/和橢圓E的方程得《工，2_，消去）'并整理得Q公+l）W+46小+2＞一2=0,

萬+F=

因為直線/與曲線E相切，所以A=16公病-4（2二+1）（2＞-2）=0,整理得加=2爐+1,

囚為N八與直線/垂直，所以N八的方程為>=-1(A-1),

A

,\-kni

,,,=-7(1)A?zq1+爐日“仙―卜〃k+my

由彳k'解得J.，即N——T.——T

.k+ni\l+k-\+k~.

V=kx+tny=-----

\-hn^儼+叫2*0/+公+"/+1_(犬+l)(〃?2+1)_in2+1

+

\+k2J<T7F>—(1+F)2-=(W=中

所以|ON|=&，

當直線/的斜率為。時.，則直線/的方程為），=±1,過點6（1,0）作直線/的垂線,

則垂線方程為x=l,此時N（l,l）或則|ON|=夜，

當直線/的斜率不存在時，則直線/的方程為x=±&,過點作直線/的垂線,

則垂線方程為產。，此時N（-五0）或N（右,0）,則|QV|=拒，

練上可得|。時=拒為定值.

12.（2023糊南長沙?長沙市實驗中學校考三模）已知。為圓C：/+,,2一2X-15=0上一動點，點%（-1,0）,

線段PN的垂直平分線交線段尸C于點Q.

⑴求點Q的軌跡方程；

⑵點M在圓f+V=3上，且”在第一象限,過點M作圓f+產=3的切線交。點軌跡于4,B兩點，問ABC

的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

【答案】⑴三十工=1

43

（2）48c的周長為定值4

【解析】（1）由題意得：圓C：（x-iy+V=]6,則圓心C（l,0）,半徑1=4,

設PN中點為K,則QK為線段PV的垂直平分線，則|PQ|=|QN|,

所以|例十|%=|。"+|如='=4>|闈=2,

所以。點軌跡是以C,N為焦點，長軸長為4的橢圓,

即4=2,C=1,則〃2=/一=3,

（2）設a（x，y）,8（芍,必），由題意可得辦，芍€（0,2）,

貝1」工+￡=1,.+21=1,故寸=3-密，貨=3—強，

43434九4

欣|Aq=.4一.+犬二/一2飛+1+3一;x；=J；（4一二2-/％，

同理可得忸。|=2-白2，

因為A8_LOM,|OM|=X/5,

所以|AM|二="―=Jx；+3_（X：_3=,

同理可得16Ml二3上，

所以恒用+卜6|+忸。二|人州+忸閘+,。+忸［=；凡+3々+2_31+2_3%=4,

13.（2023?北京密云?統考三模）橢圓G，+，=l（a>b>0）的離心率為孝,且過點A（2,l）.

⑴求橢圓C的方程和長軸長;

(2)點M,N在C上，且證明：直線MN過定點.

【答案】⑴橢圓C的方程為：4+4=1，長軸長為26

63

⑵證明見解析

a23=b2+c2

【解析】(1)由題意得：卜=￡==,解得：]￡=?，

a2[b~=3

b4v1=,.

???橢圓C的方程為：4+4=1，長軸長為2指；

o3

(2)設點N(WM，

VAM±AN,：.AM,AN=(^-2)(x2-2)+(y)-l)(y2-1)=0,

整理可得：y%一(y+%)+1=-%七+2(%+電)一4①，

當宜線MN斜率k存在時，設MM)，=6+/〃，

聯立也="丁,得：(1+2公)W+4knr+2/-6=0,

[x+2y=6'/

由A=165加一4(1+2公)(2川-6j>0得:6k2-府+3>0，

則石+"-g'中2=77^'

2

>!+y2=k(xl+x2)+2m='XM=k?(x,x2)++x2)+w=,

代人①式化簡可得：4代+8k〃+(〃?—l)(3m+l)=0,

八十1

即(2k+〃?-1)(2及+3/774-1)=0,.?.〃？=1一2R或m=一，

則直線方程為)，=21+1—24=(工-2)&+1或>=履一±^^=(1一：)攵一3,

二?直線過定點(2,1)或又(2,1)和A點重合，故舍去，

當直線MN斜率上不存在時，則為=匕，>'2=-)"，

此時一)f+1=r；+4.^-4,即才=工：-4X(+5,

乂&+?=[,解得玉=;或2(舍去)，

633

21A

此忖直線MN的方程為^二彳，過點,

315J，

14.（2023?山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學校考三模）已知橢圜C：二+與=1（。＞%＞0）與直線/:），=心:相

a~b-

交于A3兩點，橢圓上一動點“，滿足七小七8=-!（其中〃表示兩點連線的斜率），且吊三為橢圓。的

4

左、右焦點，△MfJK面枳的最大值為右.

⑴求橢圓C的標準方程;

（2）過點F?的直線廠交橢圓C于P,。兩點，求五/。的內切圓面積的最大值.

【答案】（吟+,』

嗚

【解析】（1）設”（%,%）,1治區〃，則SMS=；I耳居卜|為|”|），0區反，所以反=6,

依題意可知，兩點關于原點對稱,設4西方），則以一%,一x）,

￡+K=i

片方得?一￡_律一㈠,所以44二-上

由＜

號+和’."一”百一玉）

a~b~

所以…二厘與二軟VT

所以/=4力2,又bc=6所以反2=3,所以/（/一/）=3,

所以從（4/一〃2）=3,所以〃;I,所以〃=4,

所以橢圓。的標準方程為《+尸=1

4

(2)易得號(后,0),設直線r：x=，〃)，+6,

代人---Fy2=1,得(nr+4)y2+2>/3w:v-1=0,

4

則A=12m2+4(m2+4)=16m2+16>0,

設P區小)，。(0%)，則%+)'3=一^^，?，=一-^7，

〃廣+4W+4

所以5防。(?=3|月巴|(|)，21+1，31)=>/5|%>31=石4()’2I內尸4y2y3

⑵"24

(in1+4)2nr+44聞蜉磊=4聞(〉+1號去訴

當且僅當加=2時,等號成立,

所以SN/Q的最大值為2.

設。片尸。的內切圓半徑為廣，則SMpQ=gr(|P"|+|PQ|+|Q"|)=；，j4a=2G?=4,

所以廠=學9工2=1,所以，匕PQ的內切圓面枳口2?：.

4424

所以.匕PQ的內切I員I面積的最大值為9.

4

15.(2023?河北滄州?校考模擬預測)已知橢圓C：5+，=l(a>/?0)過點限立0),點8與A關于原點對

稱，橢圓C上的點H滿足直線"4與直線的斜率之積為

⑴求橢圓。的方程；

⑵直線/：y=gx+f與橢圓。相交于M,N兩點，已知點。(-2,1),點。與M關于原點對稱，討論：直線也的

斜率與直線PN的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.

【答案】⑴1+與=1

82

(2)是定值，0

22

【解析】（1）因為幃圓C:￡+今=1（a＞〃＞0）過點A（2立0）,所以4=2夜,

..2.,2、尸.2

設”（.卬），0）滿足其+普=1,則令不=一=，

a"b~-v0-cici

又網-2后,0卜

1b2

則?&8=一；=.Vo>o——=>Z?2=2,

3-2&1%+2夜—44

所以橢圓。的方程工+E=l.

82

（2）直線/:y=gx+f,代入橢圓。:/+4），2=8,可得/+2比+2/一4=0,

由于直線/交橢圓C于M,N兩點，所以△="一4（2產一4）＞0,整理得一2＜，＜2.

設Af（N，y）,N（電,%），由于點。與“關于原點對稱，所以Q（f]，-Y），

于是有內+W=-2],XjX,=2r2-4,