第08講平面上的距離【題型歸納目錄】題型一：中點公式題型二：兩點距離公式題型三：由頂點判斷三角形的形狀題型四：由兩點距離公式求最值題型五：點線距離公式題型六：面積問題題型七：由點線距離求參數(shù)題型八：點關(guān)于直線對稱題型九：直線關(guān)于直線對稱題型十：平行線間距離公式題型十一：直線關(guān)于點對稱題型十二：將軍飲馬問題【知識點梳理】知識點一：中點坐標(biāo)公式若兩點、，且線段的中點坐標(biāo)為，則，，則此公式為線段的中點坐標(biāo)公式．知識點二：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為．知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．知識點三：點到直線的距離公式點到直線的距離為．知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．知識點四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識點詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【典例例題】題型一：中點公式【例1】（2023·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）已知點，則線段AB的中點坐標(biāo)為________．【對點訓(xùn)練1】（2023·全國·高二課時練習(xí)）直線l經(jīng)過已知點，且被兩條已知直線截得的線段恰以P為中點，求直線l的方程．【對點訓(xùn)練2】（2023·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標(biāo)是，求線段的長．題型二：兩點距離公式【例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點，，則A，B兩點的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．【對點訓(xùn)練3】（2023·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點，則為（

）A．5 B． C． D．4【對點訓(xùn)練4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知點A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點，則（

）A． B． C．1 D．2題型三：由頂點判斷三角形的形狀【例3】（2023·高二課時練習(xí)）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【對點訓(xùn)練5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型四：由兩點距離公式求最值【例4】（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【對點訓(xùn)練6】（2023·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練7】（2023·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．題型五：點線距離公式【例5】（2023·高二課時練習(xí)）坐標(biāo)原點到直線的距離是（

）A．10 B． C． D．2【對點訓(xùn)練8】（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）點在直線上，為原點，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【對點訓(xùn)練9】（2023·福建泉州·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【對點訓(xùn)練10】（2023·河南濮陽·高二校考階段練習(xí)）若點到直線的距離為（

）A．2 B．3 C． D．4題型六：面積問題【例6】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為___________.【對點訓(xùn)練11】（2023·高二課時練習(xí)）若過點作四條直線構(gòu)成一個正方形，則該正方形的面積可以為______．（寫出符合條件的一個答案即可）【對點訓(xùn)練12】（2023·廣西梧州·高二校考開學(xué)考試）已知的三個頂點是，則的面積為________．題型七：由點線距離求參數(shù)【例7】（2023·高二課時練習(xí)）已知到直線的距離等于4，則a的值為__________．【對點訓(xùn)練13】（2023·高二校考課時練習(xí)）若點A在直線上，且點A到直線的距離為，則點A的坐標(biāo)為________________.【對點訓(xùn)練14】（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點和點到直線的距離相等，則___________.題型八：點關(guān)于直線對稱【例8】（2023·高二課時練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點與點重合，則與點重合的點的坐標(biāo)是__________．【對點訓(xùn)練15】（2023·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線恒過定點，則點關(guān)于直線對稱的點N坐標(biāo)為_________．【對點訓(xùn)練16】（2023·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）已知點與點關(guān)于直線對稱，則的值為__________．【對點訓(xùn)練17】（2023·北京·高二北師大實驗中學(xué)校考期中）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為______.題型九：直線關(guān)于直線對稱【例9】（2023·高二單元測試）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【對點訓(xùn)練18】（2023·高二校考課時練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是__.【對點訓(xùn)練19】（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考期中）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為________題型十：平行線間距離公式【例10】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【對點訓(xùn)練20】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．【對點訓(xùn)練21】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)校考期中）直線與直線間的距離為__________【對點訓(xùn)練22】（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為______．題型十一：直線關(guān)于點對稱【例11】（2023·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線方程為__________．【對點訓(xùn)練23】（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）與直線關(guān)于點對稱的直線方程是_________.【對點訓(xùn)練24】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中校考階段練習(xí)）與直線關(guān)于點對稱的直線方程是____________．題型十二：將軍飲馬問題【例12】（2023·高二課時練習(xí)）已知點A（3，5）和B（2，15），在直線上找一點P，使最小，并求這個最小值．【對點訓(xùn)練25】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點的三等分點，過點作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點，若直線上存在點使得最小，求點的坐標(biāo).【對點訓(xùn)練26】（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點和，在直線上求一點M．(1)使最大值；(2)使最小．【對點訓(xùn)練27】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）直線過點，點到直線的距離為，直線與直線關(guān)于點對稱.(1)求直線的方程；(2)記原點為，直線上有一動點，則當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo).【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校校考期中）已知直線：過定點，則點到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．4．（2023·高二課時練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．5．（2023·高二課時練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．6．（2023·高二課時練習(xí)）已知點，點B在直線上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023·高二課時練習(xí)）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2023·高二校考課時練習(xí)）到兩條直線與的距離相等的點必定滿足方程（）.A．或 B．或C．或 D．或二、多選題9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線l相互平行 B．直線與直線l相互垂直C．直線與直線l相交 D．點到直線l的距離為10．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）下列各結(jié)論，正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點，則B．直線與直線之間的距離為C．直線上的點到原點的距離最小為1D．點與點到直線的距離相等11．（2023·山東濟(jì)南·高二校考期中）已知，兩點到直線的距離相等，則實數(shù)的值可能為（

）A． B．3 C． D．112．（2023·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A．已知點，若直線與線段相交，則的取值范圍是B．點關(guān)于的對稱點為C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為D．若直線與直線平行，則或2三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）傾斜角為，并且與原點的距離是5的直線方程為_______________．14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點，若直線上總存在點，滿足條件，則實數(shù)的取值范圍為________．15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線和直線分別過定點和，則|________．16．（2023·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí)）設(shè)，過定點的動直線與過定點的動直線交于點，則的最大值是______．四、解答題17．（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期中）已知的三個頂點，，.(1)求直線的方程；(2)求的面積.18．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的一般式方程：(1)經(jīng)過直線,的交點P，且經(jīng)過點；(2)與直線垂直，且點到直線的距離為．19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，且∥．(1