第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數與最值》專項測試卷帶答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖函數的圖象交x軸于點，交反比例函數的圖象于點．(1)求反比例函數的表達式．(2)點D為反比例函數圖象第一象限上B點下方一個動點，過點D作軸交線段于點C．①若點D的橫坐標為4，點E為x軸上的一個動點，且四邊形為平行四邊形，求點E的坐標．②連接，當點C的坐標為多少的時候，的面積最大，求出最大值．2．如圖，一次函數的圖象與軸相交于點，與反比例函數的圖象相交于點，且點的縱坐標為．(1)求反比例函數的表達式；(2)點是軸上的一點，且，過點作軸的平行線，與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點，連接，求的面積的最大值并求此時的值．3．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，經過、兩點的拋物線與軸的另一交點為．(1)點的坐標是_______，點的坐標是_________；(2)求該拋物線的函數表達式；(3)點是該拋物線上的動點，過點作軸于點，交AC于點，設點的橫坐標為．①當時，則點的坐標是_________；②求面積與的函數表達式，并求的最大值．4．問題探究（1）如圖1，在矩形中，是邊上一點（不與點重合），連接，過點作于點．①求證：；②若，求四邊形的面積問題解決（2）如圖2某小區有一塊形狀為四邊形的兒童游樂區筆直的步道把游樂區分成了和兩部分其中．為提升功能區趣味性要將該游樂區的地面重新分區翻新．根據設計要求點分別在邊上且滿足連接現需要在四邊形的區域內涂刷新型地坪漆已知涂刷這種地坪漆的造價為元/則在該區域（四邊形）涂刷這種地坪漆至少需要多少元？5．已知拋物線與軸交于兩點與軸交于點．(1)求拋物線的解析式(2)如圖1已知點為第四象限拋物線上的點連接且和相交于點設的面積為的面積為當時求點的坐標．(3)如圖2設點是直線下方拋物線上的兩動點且過點作軸交于點過點作交于點．求的最大值．6．已知拋物線G：過點和點直線l：過點交線段于點D記的周長為的周長為且．(1)求拋物線G的對稱軸(2)求直線l的解析式(3)直線l繞點C以每秒的速度順時針旋轉t秒后得到直線當時直線交拋物線G于EF兩點．①當第一次與平行時求t的值②設的面積為S若對于任意的均有成立求k的最大值及此時拋物線G的解析式．7．在平面直角坐標系中如果點P的橫坐標和縱坐標互為相反數則稱點P為“平衡”點．例如：點…都是“平衡”點．(1)判斷函數的圖象上是否存在“平衡”點若存在求出其“平衡”點的坐標(2)若二次函數的圖象上有且只有一個“平衡”點．①求ac的值②若時函數的最小值為最大值為求實數n的取值范圍．8．如圖1已知中點為邊上一動點（不與點重合）連接將線段繞點逆時針旋轉得到線段連接與交于點．(1)當時求的值(2)試探究猜想之間滿足的數量關系并給予證明(3)在點在邊上運動的過程中的面積分別記為求的最小值．9．直線交軸于點拋物線交軸于點和點．(1)求點的坐標(2)如果且拋物線始終在直線下方求的取值范圍(3)過點作的平行線在第一象限內交拋物線于另外一點如果點的橫坐標是且的面積是32四點共圓．當時探究有沒有最值（最大值或最小值）？如果有請求出最值如果沒有請說明理由．10．（1）如圖1已知四邊形是平行四邊形且．請用無刻度直尺和圓規按以下作法作圖：①作的角平分線交于點E②以A為圓心長為半徑作弧交于點F③連接．證明：四邊形為菱形（2）如圖2在的邊上取一點E以點A為圓心長為半徑畫弧交于點G再在上截取連接則四邊形為所求作的菱形．且按這一方法所作菱形的個數隨著點E位置的變化而變化．若邊上的高為8當恰好只能作出一個菱形時求對應的的長的取值范圍（3）如圖3在中點D在邊上作菱形使點EF在邊上點G在邊上所作菱形面積的最大值為_______．11．已知拋物線（為常數）的圖象經過點和頂點為．(1)用含的代數式表示(2)當時求面積的最大值(3)已知點當拋物線有部分圖象落在內部（不包含邊界）時將這部分圖象記為．設為圖象上兩點當時總有求的取值范圍．12．平面直角坐標系中已知二次函數為常數的圖象經過點．(1)求該二次函數圖象的頂點坐標（用含的式子表示）(2)若平面內一點將點向左平移個單位長度或者將點向右平移個單位長度或者將點向上平移個單位長度平移后的三個對應點都在二次函數圖象上試求和的值(3)當時的最大值為的最小值為令若試求的取值范圍．13．【問題背景】如圖二次函數的圖象與軸交于兩點與軸交于點．且在實數范圍內與都有意義．(1)【知識技能】請直接寫出：的值是___________點坐標___________點坐標___________(2)【構建聯系】是直線上方的拋物線上一點過點作軸的垂線交直線于點求線段的最大值：(3)【深入探究】在拋物線上是否存在點使若存在請求出點的坐標：若不存在請說明理由．14．如圖已知矩形的三個頂點的坐標為點．經過BD兩點的拋物線與線段交于點E（不與AD兩點重合）連接．(1)填空：直接寫出點D的坐標（用含mn的代數式表示）(2)當時求a的值和拋物線頂點P的坐標(3)當時n的最大值是9求此時的值．15．如圖1二次函數的圖象與軸交于兩點與軸交于點且．(1)求拋物線的表達式：(2)如圖2連接點為直線下方拋物線上一點連接交于點求的最大值及此時點的坐標(3)作拋物線關于直線上一點對稱的函數圖象且與只有一個公共點（在軸右側）為直線上一點為拋物線對稱軸上一點若以為頂點的四邊形是平行四邊形求的坐標．參考答案1．(1)(2)①②當點C的坐標為時的面積最大最大值為．【分析】（1）把點A坐標代入直線解析式中求得從而求得直線解析式再把點B坐標代入直線解析式中可求得點B坐標從而可求得反比例函數解析式（2）①根據點D的橫坐標可求得點D的縱坐標得點D的坐標進而求得點C的坐標求得的長由平行四邊形性質得結合點A的坐標即可求得點E的坐標②設則可求得點C的坐標求得則可得的面積關于a的函數關系式即可求得最大值．【詳解】（1）解：∵函數的圖象交x軸于點∴解得：即∵直線交反比例函數于點B∴即∴即即反比例函數解析式為（2）解：①∵點D的橫坐標為4∴即∵軸交線段于點C∴點C的縱坐標為4∴解得：即∴∵四邊形為平行四邊形∴∵∴∴∴②設∵軸交線段于點C∴點C的縱坐標為∴解得：即∴∴即當即時取得最大值且最大值為此時點C的坐標為∴當點C的坐標為時的面積最大最大值為．【點睛】本題是函數與幾何的綜合考查了待定系數法求函數解析式反比例函數的圖象與性質平行四邊形的性質二次函數的最值等知識．2．(1)反比例函數解析式為(2)當時有最大值最大值為．【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題二次函數最值問題熟練掌握該知識點是解題的關鍵．（）待定系數法求出反比例函數解析式即可（）根據題意列出根據二次函數最值問題解答即可．【詳解】（1）解：∵點在一次函數的圖象上且點的縱坐標為∴解得∴∵點在反比例函數圖象上∴∴反比例函數解析式為（2）解：∵點是軸上的一點且過點作軸的平行線與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點∴∴∴∴當時有最大值最大值為．3．(1)(2)(3)①②最大值．【分析】本題考查二次函數的圖象及性質熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．（1）對于函數令和分別求出點A和C的坐標即可（2）設拋物線的函數表達式為將點代入即可求解（3）設則求出長然后根據列方程并解方程即可②根據計算即可得到解析式然后配方找最值即可．【詳解】（1）解：對于函數當時當時解得∴直線與軸軸的交點坐標分別為故答案為：（2）∵拋物線與軸的另一交點為設所求拋物線的函數表達式為把點代入,得:解得∴所求拋物線的函數表達式為,即（3）①設則∴當時解得：或（與A重合舍去）當時故故答案為：②∴當時,有最大值．4．（1）①證明見解析②（2）在該區域（四邊形）涂刷這種地坪漆至少需要14310元【分析】本題考查矩形的性質相似三角形的判定和性質勾股定理二次函數的最值作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）①根據矩形的性質利用兩角對應相等的兩三角形相似證明結論即可②利用勾股定理求出長然后根據的對應邊成比例得到AP長然后根據解題即可（2）過P作于N過C作于M設證明即可求出長然后推導得到求出長然后根據得到關于的解析式然后配方得到最值解題即可．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是矩形∴即∵∴∴又∵∴．②在矩形中∴∴由①知∴即解得∴∴．（2）在中如圖過P作于N過C作于M則設四邊形的面積為S∵∴∵即∴∵∴∴即∴∴∴∵∴∴即∴∴∴．∴當時S取得最小值．故在該區域（四邊形）涂刷這種地坪漆至少需要元．5．(1)(2)或(3)最大值為4【分析】（1）中把點的坐標代入函數解析式列出關于的方程組通過解方程組可以求出它們的值（2）根據圖形得到：即利用三角形的面積公式求得點的縱坐標然后由二次函數圖形上點的坐標特征求得點的橫坐標（3）過點作軸交直線于點將轉化為則再將該線段和用關于或的二次多項式表示再利用配方法求出最值即可．【詳解】（1）解：把和代入得：解得：拋物線的解析式為（2）解：即令則解得：或3點為第四象限拋物線上的動點當解得或．（3）解：設直線的解析式為將代入：解得：直線的解析式為過點作軸交直線于點如圖所示：是等腰直角三角形當時有最大值最大值為4．【點睛】本題屬于二次函數綜合題主要考查待定系數法求函數解析式二次函數的性質三角形面積公式二次函數與線段和最值問題解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．6．(1)(2)(3)①9秒②【分析】（1）根據二次函數解析式及對稱軸公式可進行求解（2）設拋物線對稱軸與直線交于點H由題意易得則有然后可得則然后問題可求解（3）①由題意可知該直線和x軸的夾角為然后根據旋轉的性質可進行求解②由題意可得設點EF的橫坐標為pq即是方程的兩個根根據一元二次方程根與系數的關系可得：然后根據配方法可進行求最值進而問題可求解．【詳解】（1）解：由拋物線可得：對稱軸為直線（2）解：如圖設拋物線對稱軸與直線交于點H由題意可知：點AB關于對稱軸對稱∴直線l：過點則有①∵即即∴由題意可知：∴∴②聯立①②可得：∴直線l的解析式為的（3）解：由（2）可知：當時一次函數的表達式為：①當時則有當時∴該一次函數與x軸y軸的交點坐標分別為∴該直線與x軸y軸所圍成的三角形是等腰直角三角形∴該直線和x軸的夾角為∴當第一次與平行時如圖∴(秒)②則由即設點EF的橫坐標為pq即是方程的兩個根∴根據一元二次方程根與系數的關系可得：則∴當且僅當時等號成立若對于任意的均有成立∴k的最大值為：此時∴拋物線的表達式為：．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質二次函數的對稱性及一元二次方程根與系數的關系熟練掌握二次函數的圖象與性質二次函數的對稱性及一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．7．(1)存在(2)①②【分析】本題是二次函數的新定義綜合題考查了二次函數圖像上點的坐標特征二次函數的性質以及韋達定理等知識準確理解“平衡”點的含義以及熟練應用二次函數的性質結合圖像解題是關鍵．（1）根據“平衡”點的橫坐標與縱坐標互為相反數可得方程解方程可得答案（2）①根據“平衡”點的定義得由該方程有唯一解根據韋達定理可求得ac的值②當時可求當時函數有最大值為由關于對稱軸對稱點為即時即可求解取值范圍．【詳解】（1）解：函數的圖象上存在“平衡”點根據題意解得故其“平衡”點的坐標為（2）解：①∵的圖像上有且只有一個“平衡”點即有兩個相等實根由根與系數的關系可得：解得：②∵∴二次函數為當時∵∴對稱軸為直線當時函數有最大值為

由關于對稱軸對稱點為即時∴若時函數的最小值為最大值為則實數n的取值范圍是．8．(1)(2)證明見解析(3)的最小值為【分析】（1）由旋轉得從而再求出可得進而可求出（2）過點作于點由等腰三角形的性質得證明從而可證由得進而可證（3）過點作于點過點作于點過點作于點由得可得由可得從而設中進而可求出當時的最小值為．【詳解】（1）解：如圖2∵∴由旋轉得∴∵∴∴∴∴∴∴∴（2）猜想：．證明：如圖3過點作于點∵∴∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∴（3）解：如圖4過點作于點過點作于點過點作于點∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴設∵∴中∴∵∴當時的最小值為．【點睛】本題考查了平行線的性質等腰三角形的判定與性質全等三角形的判定與性質解直角三角形利用二次函數求最值正確作出輔助線是解答本題的關鍵．9．(1)(2)(3)有最大值為8最小值為0【分析】（1）令求出值即可（2）利用一元二次方程根的判別式解決函數交點問題（3）根據題意易得進而可知根據拋物線的對稱性可知點為拋物線頂點再根據四點共圓求出坐標進而即可求出從而求出解析式據此求解即可．【詳解】（1）解：當時（2）解：拋物線始終在直線下方當時拋物線與直線有交點不成立當時拋物線開口向下與直線沒有交點（3）解：直線且過點直線解析式為當時不成立如圖則為等腰三角形根據拋物線的對稱性可知點為拋物線頂點點四點共圓設點為外接圓圓心過作于點在上連接在中解得半徑點點在第一象限內將代入拋物線得：解得：最大值為8最小值為0．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質二次函數與直線交點問題四點共圓二次函數最值等問題熟練掌握相關知識是解題的關鍵．10．（1）作圖見解析證明見解析（2）或（3）【分析】（1）先根據角平分線的尺規作圖方法作出點E再以A為圓心長為半徑作弧交于點F即可由平行四邊形的性質和角平分線的定義證明得到由作圖方法可得則據此可證明結論（2）分圖2-1圖2-2和圖2-3三種臨界情況分別求出對應情形下的長即可得到答案（3）過點C作于H交于M證明推出設則同理可得利用等面積法得到再證明得到則則有再由推出據此利用二次函數的性質求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示即為所求證明如下：∵四邊形是平行四邊形∴∴∵平分∴∴∴由作圖方法可得∴∴四邊形是平行四邊形∴平行四邊形是菱形（2）如圖2-1所示當以點A為圓心長為半徑畫弧該弧與只有一個交點時由垂線段最短可知此時∵平行四邊形中邊上的高為8∴此時在中∴此時要滿足則點F一定在點G右側即此時只能作出一個菱形如圖2-2所示當以點A為圓心長為半徑畫弧該弧與有兩個交點且其中一個交點與點B重合時則∵∴此時能作出兩個菱形如圖2-3所示當點F恰好與點C重合時過點A作于H由圖2-1可得∴設則在中由勾股定理得∴解得∴∴結合圖2-2和圖2-2可知當時只能作一個菱形綜上所述當或時只能作一個菱形（3）如圖所示過點C作于H交于M∵四邊形是菱形∴∴∴∴設∴同理可得∵∴∵∴即∴同理可得∴∴∵∴∴∵∴當時菱形的面積隨m的增大而增大∴當時菱形的面積最大最大為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定二次函數的最值問題相似三角形的性質與判定勾股定理角平分線和線段的尺規作圖利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．11．(1)(2)(3)或【分析】本題考查二次函數的性質三角形面積求解以及根據函數圖象位置關系確定參數范圍解題關鍵是熟練運用二次函數相關知識結合點與函數點與直線的位置關系通過分類討論確定的取值范圍．（1）將點A的坐標代入拋物線的表達式得到關于m和t的等式通過移項化簡用含t的代數式表示出m．（2）先根據第一問結果得到拋物線表達式化為頂點式求出頂點坐標再代入求出點坐標．利用兩點坐標求出直線表達式．．作軸交于求出長度．根據列出面積表達式化為頂點式結合的取值范圍求出面積最大值．（3）由得出結合拋物線開口向上及與對稱軸位置關系確定初步范圍．分點在對稱軸右側和左側兩種情況討論：點在對稱軸右側時直接滿足條件．點在對稱軸左側時求出直線與拋物線交點橫坐標再分點在對稱軸右側（滿足條件）和左側（不滿足條件）進行分析最終確定的取值范圍．【詳解】（1）∵經過點∴∴（2）由（1）知代入拋物線得∴頂點的坐標為．∵拋物線經過把代入得∴．∵∴點在A之間過點作軸交于點∵設直線的表達式為∴解得∴直線的解析式為：∵軸∴∴∴∴∴∵∴當時的面積有最大值（3）∵對于圖象上任意兩點當時總有∴拋物線是單調遞增的∵點A在拋物線上且拋物線開口向上∴點必須在拋物線下面內部才包含的部分圖象∴點在點的下方即由（1）可知拋物線的解析式為∴∴解得∴點在對稱軸直線的右側①當點A也在對稱軸的右側時如圖所示∵∴②當點A在對稱軸左側即時設與拋物線交于另一點∵∴直線的解析式為：聯立∴∵∴①當點在對稱軸的右邊時此時∴解得∴②當點在對稱軸左側時如圖所示∵拋物線開口向上對稱軸左側隨增大而減小而在內部從點到點增大時減小從點到對稱軸右側隨增大而增大∴在內部會出現先減小后增大的情況不滿足當時總有的條件舍去．綜上所述或．12．(1)(2)(3)且．【分析】用待定系數法可得二次函數的解析式為把解析式整為頂點坐標式可得：所以可知二次函數圖象的頂點坐標為點按要求平移后的對應點的坐標分別為三點和都在二次函數的圖象上且縱坐標相同所以這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱從而可得：解方程求出的值即可得到點和的坐標分別為把這兩個點的坐標代入二次函數的解析式得到關于和的方程組解方程組即可求出的值由可知二次函數的對稱軸為當時拋物線開口向上在范圍內隨的增大而先減后增當時拋物線開口向下在范圍內隨的增大而先增后減所以應分兩種情況求解．【詳解】（1）解：將代入中可得：整理可得：二次函數圖象的頂點坐標為（2）解：將點按要求平移后的對應點的坐標分別為三點由可知拋物線的對稱軸為和都在二次函數的圖象上且縱坐標相同解得：將代入二次函數的解析式得到：解得：（3）解：由可知二次函數的對稱軸為當時拋物線開口向上時隨的增大而先減后增時有最小值即時有最大值即又解得：令由可得：隨的增大而減小當時有當時有當時拋物線開口向下時隨的增大而先增后減時有最大值即時有最小值即．解得：．令由可得：隨的增大而先減后增當時有當時有．綜上所述的取值范圍是且．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質平面直角坐標系中點的平移待定系數法求二次函數的解析式分類討論的思想解決本題的關鍵是利用分類討論的思想分情況求解．13．(1)1(2)(3)存在或【分析】（1）由二次根式有意義的條件可得即二次函數的解析式為當時求x的值當時求出y的值進而確定點BC的坐標則求得（2）先運用待定系數法求出直線的解析式設從而表示出N的坐標進而表示出的關系式然后根據二次函數的性質求最值即可解答（3）①如圖1：在上截取作連接先說明與拋物線的交點符合條件再求出直線的解析式為進而求得直線的解析式為由解得進而確定點E的坐標如圖2在①的圖形中作交拋物線于交于易得直線的解析式為：進而得到即設則解得：即由待定系數法可得直線BG的解析式為則解得進而求得點的坐標．【詳解】（1）解：∵在實數范圍內與都有意義∴解得：∴二次函數的解析式為令即解得：或∴令即即．故答案為：1．（2）解：設直線的表達式為代入得解得：直線的解析式為：設軸∴軸∵∴當時．（3）解：①如圖1：在上截取作連接與拋物線的交點符合條件直線的解析式為：設直線的解析式為：將點代入可得解得：直線的解析式為：由解得：（舍去）或當時②如圖2在①的圖形中作交拋物線于交于即設即解得：．運用待定系數法可得：直線的解析式為∴解得：（舍去）或當時．綜上所述：或．【點睛】本題屬于二次函數綜合題主要考查了二次函數及其圖象的性質二次根式有意義的條件等腰三角形的判定和性質一元二次方程的解法求一次函數的解析式等知識靈活運用相關知識成為解題的關鍵．14．(1)8(2)(3)【分析】（1）根據題意利用可得再由點坐標及矩形性質可得（2）根據題意可得繼而得到再證明后利用相似性質可得解得繼而得到本題答案（3）根據可得后得到繼而得到后得到繼而得到當時求出本題答案．【詳解】（1）理由如下：已知矩形