2025屆七下數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．如表，已知表格中豎直、水平、對角線上的三個數的和都相等，則（）A． B． C． D．3．在學習三角形的高線時，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC邊上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是A． B．C． D．4．下列各式中，運算結果是9a2-25b2的是（）A． B．C． D．5．請仔細觀察用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖，請你根據所學的圖形的全等這一章的知識，說明畫出的依據是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．如果a＞b，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣b＜0 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣a＜﹣b D．a＜b7．下列實數是無理數的是（）A．-2 B．0 C． D．8．下列方程中是二元一次方程的是（）A．2x240 B．xy3 C．2x1 D．x39．如果小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么它最終停留在黑色區域的概率是（）A． B． C． D．10．若點P（，)在第二象限且到軸的距離是2，到軸的距離是3，則點P的坐標為（）A．（-2,3） B．（2，-3） C．（-3，2） D．（3，-2）二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11．將一個小球在如圖所示的地撰上自由滾動，最終停在黑色方磚上的概率為_____．12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根長為2015個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在A處，并按A→B→C→D→A…的規律緊繞在四邊形ABCD的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標是__．13．點P（-1，）在平面直角坐標中位于第______象限．14．3x＝4，9y＝7，則32y﹣x的值為_____．15．已知關于x的不等式組的整數解共有4個，則m的取值范圍是__________．16．已知x，y滿足關系式，則點P（x，y）應在平面直角坐標系中的第_____象限．三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17．（8分）已知關于x，y的方程組的解為正數．（1）求a的取值范圍；（2）化簡：18．（8分）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度數．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC=85°，請你補全她的推理依據．如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD．（）∴∠A+∠APE=180°．∠C+∠CPE=180°．（）∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，∴∠APE=40°，∠CPE=45°∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（）問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系．19．（8分）已知：，點是平面上一點，射線與直線交于點，射線與直線交于點，過點作，與所在的直線交于點.（1）如圖1，當，時，寫出的一個余角，并證明；（2）若，.①如圖2，當點在內部時，用等式表示與之間的數量關系，并加以證明；②如圖3，當點在外部時，依題意補全圖形，并直接寫出用等式表示的與之間的數量關系.20．（8分）某班為參加學校的大課間活動比賽，準備購進一批跳繩，已知2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元．（1）求一根A型跳繩和一根B型跳繩的售價各是多少元？（2）學校準備購買50根跳繩，如果A型跳繩的數量不多于B型跳繩數量的3倍，那么A型跳繩最多能買多少條？21．（8分）已知射線與直線交于點，平分，于點，．（1）如圖1，若；①求的度數；②試說明平分．（2）如圖2，設的度數為，當為多少度時，射線是的三等分線？并說明理由．22．（10分）問題情境：如圖1，，，，求的度數．小明的思路是過點作，通過平行線性質來求．（1）按照小明的思路，寫出推算過程，求的度數．（2）問題遷移：如圖2，，點在射線上運動，記，，當點在、兩點之間運動時，問與、之間有何數量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，當點在線段上時，請直接寫出與、之間的數量關系．23．（10分）某汽車銷售公司經銷某品牌A、B兩款汽車，已知A款汽車每輛進價為萬元，B款汽車每輛進價為6萬元．公司預計用不多于135萬元且不少于129萬元的資金購進這兩款汽車共20輛，有幾種進貨方案，它們分別是什么？如果A款汽車每輛售價為9萬元，B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使中所有的方案獲利相同，a值應是多少，此種方案是什么？(提示：可設購進B款汽車x輛)24．（12分）如圖，，是的平分線，和的度數滿足方程組，（1）求和的度數；（2）求證：.（3）求的度數.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】試題分析：如圖所示，根據點到直線的距離就是這個點到這條直線垂線段的長度，可知線段AB是點B到AC的距離，線段CA是點C到AB的距離，線段AD是點A到BC的距離，線段BD是點B到AD的距離，線段CD是點C到AD的距離，所以圖中能表示點到直線距離的線段共有5條．故答案選D.考點：點到直線的距離．2、D【解析】

在方格中標上數字a，根據每行、每列及對角線上的三個數之和都相等，可找出等式①、②，解之即可得出結論．【詳解】解：在方格中標上數字a、b、c、d，如圖所示．根據題意得：，解得：，解得：．故答案為：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．3、C【解析】

根據三角形高線的定義即可得出結論．【詳解】解：A，B，D都不是△ABC的AC邊上的高線，

故選：C．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵．4、B【解析】

利用平方差公式和完全平方公式分別計算各項后即可解答.【詳解】選項A，=25b2-9a2；選項B，=9a2-25b2；選項C，=25b2-9a2；選項D，=-25b2-9a2-30ab；故選B.【點睛】本題考查了乘法公式的計算，熟練運用乘法公式是解決問題的關鍵.5、D【解析】

根據尺規作圖得到，，，根據三條邊分別對應相等的兩個三角形全等與全等三角形的性質進行求解．【詳解】由尺規作圖知，，，，由SSS可判定，則，故選D．【點睛】本題考查基本尺規作圖，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS和全等三角形對應角相等是解題的關鍵．6、C【解析】

可根據不等式的性質逐一排除即可.【詳解】∵，∴，∴選項A不符合題意；∵，∴，∴選項B不符合題意；∵，∴，∴選項C符合題意；∵，∴，∴選項D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是掌握并熟練運用不等式的性質.7、D【解析】

無理數就是無限不循環小數，依據定義即可判斷．【詳解】解：A、-2是整數，是有理數，選項錯誤；B、0是整數，是有理數，選項錯誤；C、是分數，是有理數，選項錯誤；D、是無理數，選項正確．故選：D．【點睛】此題考查無理數，解題關鍵在于掌握其定義8、C【解析】分析:根據二元一次方程的定義求解即可.詳解:A、是一元二次方程，故A不符合題意；B、是二元二次方程，故B不符合題意；C、是二元一次方程，，故C符合題意；D、是分式方程，故D不符合題意；故選：C.點睛:本題考查了二元一次方程，二元一次方程必須符合以下三個條件：方程中只含有2個未知數；含未知數項的最高次數為一次；方程是整式方程.9、D【解析】

根據幾何概率的求法，可得：小球最終停在黑色區域的概率等于黑色區域的面積與總面積的比值．【詳解】根據圖示，∵黑色區域的面積等于6塊方磚的面積，總面積等于16塊方磚的面積，∴小球最終停留在黑色區域的概率是：．故選：D．【點睛】此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=黑色區域的面積與總面積之比．10、C【解析】試題分析：∵點P到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，點P在第二象限，∴點P的縱坐標是2，橫坐標是-3，∴點P的坐標是（-3，2）．故選C．考點：點的坐標．二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11、.【解析】

根據幾何概率的求法：最終沒有停在黑色方磚上的概率即停在白色方磚上的概率就是白色區域面積與總面積的比值．【詳解】觀察這個圖可知：白色區域與黑色區域面積相等，各占，故其概率等于．

故答案為：【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．12、（-1，-2）；【解析】

根據點的坐標求出四邊形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，∴繞四邊形ABCD一周的細線長度為2+3+2+3=10，2015÷10=201…5，∴細線另一端在繞四邊形第202圈的第5個單位長度的位置，即點C的位置，點的坐標為（-1，-2）．故答案為：（-1，-2）．【點睛】本題利用點的坐標考查了數字變化規律，根據點的坐標求出四邊形ABCD一周的長度，從而確定2015個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關鍵．13、二【解析】

根據點P的橫縱坐標的符號及四個象限點的符號特點，判斷點P所在的象限即可．【詳解】解：∵點P（-1，）的橫坐標為負，縱坐標為正，且第二象限點的符號特點為（-，+），∴點P（-1，）在第二象限．故答案為：二．【點睛】解決本題的關鍵是掌握好四個象限的點的坐標的特征：第一象限正正，第二象限負正，第三象限負負，第四象限正負．14、．【解析】

直接利用已知結合同底數冪的乘除運算法則和冪的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】解：∵3x＝4，9y＝32y＝7，∴32y﹣x＝32y÷3x＝7÷4＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同底數冪的乘除運算和冪的乘方，正確將原式變形是解題關鍵．15、3＜m≤4【解析】

根據不等式組的整數解有4個可得m的取值范圍．【詳解】解：∵不等式組的整數解共有4個，∴不等式組的整數解為0、1、2、3，則3＜m≤4，故答案為：3＜m≤4【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的整數解，根據題意不等式組的整數解個數得出m的范圍是解題的關鍵．16、二【解析】

根據二次根式和絕對值的非負性求出x、y的值，在判斷點P的象限即可．【詳解】∵∴解得∴點∴點P在第二象限故答案為：二．【點睛】本題考查了坐標點象限的問題，掌握二次根式和絕對值的非負性、象限的性質是解題的關鍵．三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17、（1）-4＜a＜；（2）-5a+1.【解析】

（1）將a看做常數解關于x、y的方程，依據方程組的解為正數得出關于a的不等式組，解之可得；（2）根據絕對值的性質去絕對值符號，合并同類項可得．【詳解】（1），①+②，得：x=-4a+5，①-②，得：y=a+4，∵方程的解為正數，∴，解得：-4＜a＜；（2）由（1）知-4a+5＞0且a+4＞0，∴原式=-4a+5-a-4=-5a+1．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組及絕對值的性質，根據題意列出關于a的不等式組是解題的關鍵．18、（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；等量代換；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β﹣∠α；當P在AB延長線時，∠CPD=∠α﹣∠β．【解析】【分析】(1)過點P作PE∥AB，根據“兩直線平行，同旁內角互補”可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°；進一步可求得結果.（2）過P作PE∥AD交CD于E，則AD∥PE∥BC，根據“兩直線平行，內錯角相等”可得∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，因此，∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）類似（2）的方法，分兩種情況，即：P在BA延長線時或在AB延長線時.可得出結論..【詳解】解：（1）過點P作PE∥AB，如圖2所示：∵AB∥CD，∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠A+∠APE=180°．∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內角互補）∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，∴∠APE=40°，∠CPE=45°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（等量代換）故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；等量代換；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α；當P在AB延長線時，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．【點睛】本題考核知識點：平行線性質.解題的關鍵是構造平行線，根據平行線的性質，從已知角推出未知角，再根據角的和或差求出關系式.19、（1）∠ADB等；（2）①，證明見解析；②【解析】

（1）根據余角的定義寫出即可；根據同角的余角相等證明，再由平行線的性質證明，從而得出結論；（2）①由是的外角可得，是的外角，得，再證明，進行代入求值即可得出結論；②方法同①.【詳解】（1）如圖3的余角不唯一，如，寫出一個即可.證明：∵∴，∴∵∴∴（2）證明，如圖4∵是的外角∴∵是的外角∴∵∴∴∵∴∴②補全圖形見圖5，∵AF∥FC，∴∠CAF=∠ACE∵∠AEM是△ACE的外角∴∠AEM=∠ACE+∠BAC，∵∠AEM是△BME的外角∴∠AEM=∠BME+∠MBE，∴∠BME+∠MBE=∠ACE+∠BAC∵，∴120°+∠MBE=∠ACE+80°∴∴【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形外角的性質，熟練掌握這些性質是解此題的關鍵.20、（1）一根A型跳繩售價是10元，一根B型跳繩的售價是36元；（2）A型跳繩最多能買1條【解析】

（1）設一根A型跳繩售價是x元，一根B型跳繩的售價是y元，根據：“2根A型跳繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元”列方程組求解即可；（2）設購進A型跳繩m根，根據“A型跳繩的數量不多于B型跳繩數量的3倍”確定m的取值范圍．【詳解】解：（1）設一根A型跳繩售價是x元，一根B型跳繩的售價是y元，根據題意，得：，解得：，答：一根A型跳繩售價是10元，一根B型跳繩的售價是36元；（2）設購進A型跳繩m根，依題意得：m≤3（50﹣m），解得：m≤1.5，而m為正整數，所以m最大值＝1．答：A型跳繩最多能買1條．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，根據題意得出正確的數量關系是解題關鍵．21、（1）①150°；②說明見解析；（2）18°或45°，說明見解析.【解析】

（1）①根據題意可求∠BOF=30°，由平角定義可求∠DOF的度數②通過題意可求∠AOD=∠BOG=60°，即可得OD平分∠AOG（2）設∠AOD=β，分∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD，兩種情況討論，根據題意可列方程，可求β的值，即可得α的值．【詳解】（1）①∵AE∥OF∴∠A=∠BOF∵OF平分∠COF∴∠BOC=60°，∠COF=30°∴∠DOF=180-30°=150°②∵∠BOC=60°∴∠AOD=60°∵OF⊥OG∴∠BOF+∠FOG=90°∴∠BOG=60°∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴∠DOG=60°=∠AOD∴OD平分∠AOG（2）設∠AOD=β∵射線OD是∠AOG的三等分線∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD若∠AOD=2∠DOG∴∠DOG=β∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC∴∠BOF=β∵OF⊥OG∴∠BOG=90-α∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴β+90-β+β=180°∴∠β=90°∴∠BOF=45°∵OF∥AE∴∠A=∠BOF=45°即α=45°若∠DOG=2∠AOD=2β∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC∴∠BOF=β∵OF⊥OG∴∠BOG=90-α∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°∴2β+90-β+β=180°∴∠β=36°∴∠BOF=18°∴OF∥AE∴∠A=∠BOF=18°∴α=18°綜上所述α為18°或45°【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，根據題意列方程是本題的關鍵．22、（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由見解析；（3）∠APC=β-α．【解析】

（1）過P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通過平行線性質可求出∠APC；

（2）過P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根據平行線的性質得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；

（3）過點P作PE∥AB交OA于點E，同（2）中方法根據平行線的性質得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過