目錄

第一部分函數圖象中點的存在性問題

1.1因動點產生的相似三角形問題

1.2因動點產生的等腰三角形問題

1.3因動點產生的直角三角形問題

1.4因動點產生的平行四邊形問題

1.5因動點產生的梯形問題

1.6因動點產生的面積問題

1.7因動點產生的相切問題

1.8因動點產生的線段和差問題

第二部分圖形運動中的函數關系問題

2.1由比例線段產生的函數關系問題

2.2由面積公式產生的函數關系問題

第三部分圖形運動中的計算說理問題

3.1代數計算及通過代數計算進行說理問題

3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題

第一部分函數圖象中點的存在性問題

1.1因動點產生的相似三角形問題

例1如圖1,在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=a?+公(心＞0)經

過點A和x軸正半軸上的點B,AO=BO=2,N4OB=120°.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)連結OM,求NAOM的大小；

(3)如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點。的坐標.

例2如圖1,已知拋物線y=1x2__Ls+l?+2（b是實數且b>2）與X軸的正半

444

軸分別交干點A、8（點A侑于點B是彳側），與y軸的正半軸交千點C.

（1）點8的坐標為,點C的坐標為（用含匕的代數式表示）；

（2）請你探索在第一象限內是否存在點P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC

是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說

明理由；

（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q,使得△QC。、△QOA和AQAB中的

任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如

果不存在，請說明理由.

例」3如圖1,已知拋物線的方程G：y=-l(x+2)(x-m)(機＞0)與x軸交于點8、C,

m

與y軸交千點E.日點B在點。的左側.

(1)若拋物線C1過點M(2,2),求實數〃，的值；

(2)在(1)的條件下，求ABCE的面積；

(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點”，使得8H+EH最小，求出點〃

的坐標；

(4)在第四象限內，拋物線C1上是否存在點八使得以點8、C、/為頂點的三角形

與ABCE相似？若存在，求m的直；若不存在，請說明理由.

圖1

例|4如圖1,已知梯形。ABC,拋物線分別過點O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；

(2)將圖1中梯形QA4C的上下底邊所在的直線QA、8以相同的速度同時向上平移，

分別交拋物線于點Oi、Ai、G、⑤，得到如圖2的梯形OIABIG.設梯形0質出C1的面積

為S,4、&的坐標分別為(xi,yi)、(X2,>12).用含S的代數式表示叼一汨，并求出當S=36

時點4的坐標；

(3)在圖1中，設點。的坐標為(1,3),動點P從點3出發，以每秒I個單位長度的

速度沿著線段3C運動，動點。從點。出發，以與點尸相同的速度沿著線段0M運動.尸、

。兩點同時出發，當點Q到達點歷時，P、Q兩點同時停止運動.設P、。兩點的運動時間

為，，是否存在某一時刻，，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線A3、

例5如圖1,拋物線經過點A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)「是拋物線上的一個動點，過「作軸，垂足為M,是否存在點P,使得以

A、P、M為頂點的三角形與△O4C相似？若存在，請求出符合條件的點尸的坐標：若不

存在，請說明理由：

圖1

例6

如圖1?融物線y-aQ一】）（工-5）與工■的交點為M、N.直線（y?AI+b與］，交于

P（-2.0）.與V軸交于C.若A、B兩點在宜線y=匕+6上?且AO?BO-^.AO±BO.

D為線段MN的中點?OH為RtAOPC斜邊上的高.

）H的長度等于▲■=▲?6一▲.

（2）是否存在實數a.使得拋物線N-aa+Da-5）上有一點E,滿足以D、N、E為頂點的

三角形與AAOB相似？

若不存在，說明理由：若存在?求所有符合條件的拋物線的解析式,同時探索所求得的拋

物線上是否還有符合條件的￡點（簡要說明理由八井迸一步探索對符合條件的每一個

E點.在線NE與直線A8的交點G是否總滿足P8?PGV10&.寫出探索過程.

1.2因動點產生的等腰三角形問題

例1如圖1,在RtZXABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,點。為邊BC的中點，

OEL8C交邊4c于點￡,點尸為射線上的一動點，點。為邊AC上的一動點，且NPOQ

=90°.

(1)求E￡＞、EC的長;

(2)若BP=2,求CQ的長；

(3)記線段尸。與線段OE的交點為F,若尸為等腰三角形，求BP的長.

例2如圖1,拋物線丁=加+加+6?經過A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線/是拋

物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)設點戶是直線/上的一個動點，當△以。的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線/上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合

條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

例3如圖1,點4在x軸二，Q4=4,將線段Q4繞點0順時針旋轉120°至08的

位置.

(1)求點B的坐標；

(2)求經過A、。、B的拋物線的解析式；

(3)在此拋物線的對稱軸.匕是否存在點P,使得以點P、0、8為頂點的三角形是等

腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

份!|4如圖1,已知一次函數），=一1+7與正比例函數），=gx的圖象交于點A,且與x軸交

于點B.

（1）求點A和點8的坐標；

（2）過點A作AC_L），軸于點C,過點8作直線/〃/軸.動點尸從點。出發，以每秒1

個單位長的速度，沿。一C—A的路線向點4運動；同時直線/從點B出發，以相同速度向

左平移，在平移過程中，直線/交x軸于點R,交線段氏4或線段A。于點Q.當點P到達

點A時，點尸和直線/都停止運動.在運動過程中，設動點尸運動的時間為/秒.

①當，為何值時，以4、P、R為頂點的三角形的面積為8?

②是否存在以A、P、。為頂點的三角形是等腰

三角形？若存在，求/的值；若不存在，請說明理由.

例|5如圖1,在矩形A8CD中，（〃?是大于0的常數），BC=8,E為線段8C

上的動點（不與8、C重合）.連結。E,作E/LLQE,E/與射線B4交于點凡設CE=x,

BF=y.

(1)求y關于x的函數關系式；

(2)若用=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

12

(3)若丁="，要使aoE尸為等腰三角形，，〃的值應為多少？

m

B

圖1

例6如圖1,在等腰梯形A5c。中，ADHBC,E是48的中點，過點E作EF//BC交

8于點尸，A8=4,8c=6,NB=60°.

（1）求點E到8c的距離；

（2）點P為線段上產上的一個動點，過點P作PMJ_E尸交BC于M,過M作MN//AB

交折線4OC于N,連結PM設EP=x.

①當點N在線段A。上時（如圖2）,△PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出△PMN

的周長；若改變，請說明理由；

②當點N在線段。。上時（如圖3）,是否存在點P,使為等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請說明理由.

1.3因動點產生的直角三角形問題

例1如圖1,拋物線y=一_|工一4與x軸交于A、B兩點(點8在點A的右側),

與y軸交于點C,連結BC,以8c為一邊，點。為對稱中心作菱形BOEC,點夕是x軸上

的一個動點，設點P的坐標為(肛0),過點尸作x軸的垂線/交拋物線于點Q.

(1)求點A、B、C的坐標；

(2)當點尸在線段0B上運動時，直線/分別交80、8C于點M、N.試探究用為何

值時，四邊形CQM。是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQ8M的形狀，并說明理由；

(3)當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q,使△8。。為直角三角形，若存在，

請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

例1如圖1,拋物線丁二一，2一3工+3與X軸交于A、B兩點(點4在點8的左側),

84

與y軸交于點C.

(I)求點4、B的坐標；

(2)設。為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACO的面積等于AACB的面積

時，求點。的坐標；

(3)若直線/過點E(4,0),M為直線/上的動點，當以4、B、M為頂點所作的直角三

角形有且只有三個時，求直線/的解析式.

例3在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數），=網/+工-1）的圖象交于點A（1人）

和點B（—1,—2）.

（1）當攵=一2時，求反比例函數的解析式；

（2）要使反比例函數與二次函數都是y隨x增大而增大，求火應滿足的條件以及x的

取值范圍；

（3）設二次函數的圖象的頂點為Q,當△ABQ是以A8為斜邊的直角三角形時，求左

的值.

例4設直線A丁=加+"與Ny=hr+b2,若/」/2,垂足為”，則稱直線/i

與，2是點”的直角線.

(1)已知直線①)，=一白+2;?y=x+2；?y=2x+2；④y=2x+4和點C(0,2),

則直線和是點C的直角線(填序號即可)；

(2)如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形0ABe的頂點4(3,0)、8(2,7)、C(0,7),

P為線段OC上一點，設過從P兩點的直線為小過4、P兩點的直線為6,若八與12是點

產的直角線，求直線人與6的解析式.

圖1

例5在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=一竺1■/+網/+病一3加+2與x軸

44

的交點分別為原點。和點A,點8(2,〃)在這條拋物線上.

(1)求點B的坐標；

(2)點尸在線段04上，從點。出發向點A運動，過點尸作x軸的垂線，與直線OB

交于點E,延長PE到點。，使得EO=PE,以PD為斜邊，在P。右側作等腰直角三角形

PCD(當點P運動時，點。、。也隨之運動).

①當等腰直角三角形PCD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；

②若點P從點。出發向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一

個點Q從點A出發向點。作勻速運動，速度為每秒2個單位(當點Q到達點O時停止運動,

點P也停止運動).過。作％軸的垂線，與直線A8交于點凡延長QF到點M,使得/M=

QF,以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN(當點。運動時，點M、N也

隨之運動).若點P運動到，秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線

上，求此刻f的值.

圖1

例6如圖1,已知A、8是線段MN上的兩點，MN=4,M4=l,MB>1.以A

為中心順時針旋轉點以8為中心逆時針旋轉點M使M、N兩點重合成一點C,構成△

ABC,設A6=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面積？

例7如圖1,直線y=-gx+4和x軸、y軸的交點分別為B、。，點A的坐標是

（-2,0）.

（1）試說明△A5C是等腰三角形；

（2）動點M從A出發沿x軸向點3運動，同時動點N從點5出發沿線段3c向點C

運動，運動的速度均為每秒1個單位長度.當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動.設

M運動/秒時，△MON的面積為S.

①求S與/的函數關系式；

②設點M在線段08上運動時，是否存在S=4的情形？若存在，求出對應的，值；若

不存在請說明理由；

③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求/的值.

圖1

1.4因動點產生的平行四邊形問題

例1如圖1,已知拋物線丁=一1+公+。經過4(0,1)、8(4,3)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求tan/ABO的值；

(3)過點B作BCLxfill,垂足為C,在對稱軸的左側且平行于)，軸的直線交線段AB

于點N,交拋物線于點若四邊形MNC8為平行四邊形，求點M的坐標.

圖1

例2如圖1,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊

AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點。開始沿邊CB向點B以每秒2

個單位長度的速度運動，過點、P但PD//BC,交A8于點。，聯結P。.點P、。分別從點4、

C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為/秒620）.

（1）直接用含f的代數式分別表示：QB=,PD=；

（2）是否存在，的值，使四力形PDBQ為菱形？若存在，求出f的值；若不存在，說

明理由，并探究如何改變點。的速度（勻速運動），使四邊形PQ8Q在某一時刻為菱形，求

點。的速度；

（3）如圖2,在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經過的路徑長.

PA

例3如圖1,在平面直角坐標系中，己知矩形A8CO的三個頂點8(1,0)、C(3,0)、

D(3,4).以A為頂點的拋物線過點C.動點尸從點4出發，沿線段AB向點

B運動,同時動點。從點C出妥，沿線段向點。運動.點P、。的運動速度均為每秒1

個單位，運動時間為，秒.過點P作PEL4B交AC于點￡

(1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

(2)過點E作E尸_LAD于尸，交拋物線于點G,當，為何值時，AACG的面積最大？

最大值為多少？

(3)在動點P、。運動的過程中，當/為何值時，在矩形ABCO內(包括邊界)存在

點，，使以C、Q、E、，為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出f的值.

例4已知平面直角坐標系xo），（如圖1）,一次函數），=之彳+3的圖象與y軸交于點A,

4

點M在正比例函數v=3x的圖象上，且M0=M4.二次函數

2

+6x+c的圖象經過點A、M.

（1）求線段AM的長；

（2）求這個二次函數的解析式；

（3）如果點8在y軸匕且位于點A下方，點C在上述二次函數的圖象上，點。在一

次函數），=之工+3的圖象上，且四邊形ABCQ是菱形，求點C的坐標.

94

例5將拋物線ci：y=-Q?+G沿x軸翻折，得到拋物線C2,如圖1所示.

（1）請直接寫出拋物線C2的表達式；

（2）現將拋物線ci向左平移加個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M,與x

軸的交點從左到右依次為A、8；將拋物線優向右也平移機個單位長度，平移后得到新拋物

線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為。、E.

①當8、力是線段AE的三等分點時，求〃?的值；

②在平移過程中，是否存在以點A、N、E.M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，

請求出此時機的值；若不存在，請說明理由.

圖1

例6在直角梯形045。中，CB〃0A,NCO4=90°,CB=3,0A=6,BA=3后.分

別以。4、0C邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系.

(1)求點B的坐標；

(2)已知。、E分別為線段0C、。8上的點，00=5,0E=2EB,直線。石交x軸于

點F.求直線DE的解析式；

(3)點M是(2)中直線OE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一點M

使以0、。、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說

明理由.

例7如圖1,拋物線丁=一一+2工+3與工軸相交于A、8兩點(點A在點8的左側),

與y軸相交于點C,頂點為D

(1)直接寫出A、8、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

(2)連結BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段8。上的一個動點，過點P作

PF//DE交拋物線于點F,設點尸的橫坐標為機.

①用含機的代數式表示線段尸尸的長，并求出當〃?為何值時，四邊形PEOr為平行四

邊形？

②設△BC77的面積為S,求S與加的函數關系.

1.5因動點產生的梯形問題

例1已知直線y=3x—3分別與x軸、)，軸交于點A,B,拋物線y=ad+2x+c經過

點A,B.

(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；

(2)記該拋物線的對稱軸為直線，，點8關于直線/的對稱點為C,若點。在y軸的正

半軸上，旦四邊形ABC。為梯形.

①求點D的坐標；

②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P,其對稱軸與直線y=3x-3交于點E,

若tan/DPE=2，求四邊形BQEP的面積.

7

例2如圖1,把兩個全等的RtAAOB和RlZ\CO。方別置于平面直角坐標系中，使直

角邊。4、。。在x軸上.已知點41,2),過A、C兩點的直線分別交x軸、1y軸于點E、F.拋

物線)，=加+區+6經過0、A、C三點.

(1)求該拋物線的函數解析式；

(2)點尸為線段0C上的一個動點，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點M,交x軸

于點M問是否存在這樣的點P,使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P

的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)若AAOB沿4C方向平移(點4始終在線段4c上，且不與點C重合)，^AOB

在平移的過程中與△COO重疊部分的面積記為S.試探究S是否存在最大值？若存在，求

出這個最大值；若不存在，請說明理由.

傷Ij4已知二次函數的圖象經過4（2,0）、C（0,12）兩點,且對稱軸為直線x=4,

設頂點為點P，與x軸的另一交點為點艮

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1,在直線y=2r上是否存在點。，使四邊形OP&）為等腰梯形？若存在，

求出點。的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,點M是線段OP上的一個動點（。、尸兩點除外），以每秒應個單位長度

的速度由點P向點。運動，過點“作直線MN//X軸，交P8于點M將沿直線MN

對折，得到△PiMN.在動點M的運動過程中，設△PiMN與梯形0MN8的重登部分的面

積為S,運動時間為r秒，求S關于/的函數關系式.

圖1圖2

傷115如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y='/+1,點。的

4

坐標為(-4,0),平行四邊形OA8C的頂點4,B在拋物線上，A8與y軸交于點M,已知點

。。，y)在拋物線上，點、PQ,0)在x軸上.

(1)寫出點〃的坐標；

(2)當四邊形CMQ尸是以M0,PC為腰的梯形時.

①求，關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；

②當梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求，的值.

圖1

例7如圖1,二次函數丁=12+a+式〃〈0)的圖象與工軸交于4、8兩點，與y

軸交于點C(0,-1),△ABC的面積為2.

(1)求該二次函數的關系式；

(2)過)，軸上的一點M(0,m)作y軸的垂線，若該垂線與△AEC的外接圓有公共點,

求加的取值范圍；

(3)在該二次函數的圖象上是否存在點。，使以A、B、C、力為頂點的四邊形為直角

梯形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

1.6因動點產生的面積問題

例1如圖1,已知拋物線曠=；/+云+。"、c是常數，且CVO)與上軸交于4、

8兩點(點4在點8的左側)，與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(-1,0).

(1)b=,點B的橫坐標為(上述結果均用含c的代數式表示)；

(2)連結4C,過點A作直線AE//BC,與拋物線交于點E點。是x軸上一點，坐標

為(2,0),當C、。、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，點P是％軸下方的拋物線上的一動點，連結P8、PC.設△P8C

的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若APBC的面積S為正整數，則這樣的△尸BC共有____個.

傷Ij2如圖1,在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為4(0,1)、8(2,0)、

0(0,0),將此三角板繞原點。逆時針旋轉90°,得到三角形490.

(1)一拋物線經過點4、B\B,求該拋物線的解析式；

(2)設點P是第一象限內拋物線上的一個動點，是否存在點P,使四邊形PEAB的面

積是△46。面積的4倍？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，試指出四邊形尸斤48是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條

性質.

圖1

例3如圖L在平面直角坐標系中，直線y=Lx+l與拋物線尸加+以-3交于4

2

B兩點,點A在x軸上，點3的縱坐標為3.點P是直線A8下方的拋物線上的一動點（不

與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C,作尸。_LA8于點D

（1）求。、6及sin/ACP的值；

（2）設點P的橫坐標為m.

①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；

②連結P8,線段尸。把△PD8分成兩個三角形，是否存在適合的機的值，使這兩個三

角形的面積比為9：10?若存在，直接寫出小的值；若不存在，請說明理由.

例4如圖1,直線/經過點A(l,0),且與雙曲線丁=絲(七>0)交于點8(2,1).過點

P(P，〃T)(P>D作x軸的平行線分別交曲線和y=-"(xVO)于M、N兩點?

xx

(1)求利的值及直線I的解析式；

(2)若點尸在直線)，=2上，求證：△PMBs△尸NA；

(3)是否存在實數p,使得SMMN=4SMMP?若存在，請求出所有滿足條件的p的值;

若不存在，請說明理由.

圖1

例5如圖1,四邊形0A8C是矩形，點4、C的坐標分別為(3,0),(0,1).點。是線段

BC上的動點(與端點B、。不重合)，過點。作直線丁二一;x+b交折線OA8于點￡

(1)記△ODE的面積為S,求S與b的函數關系式；

(2)當點E在線段OA上時,若矩形0ABe關于直線DE的對稱圖形為四邊形0i48G，

試探究四邊形OIABIG與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出重疊

部分的面積；若改變，請說明理由.

例6如圖1,在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,CD是斜邊A8上的高，

點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F,設AE=x,ZVlE尸的面積

為y.

（1）求線段AO的長：

（2）若EELAB,當點E在斜邊A8上移動時，

①求），與K的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）；

②當x取何值時，y有最大值？并求出最大值.

（3）若點尸在直內邊AC上（點尸與A、。不重合），點E在斜邊AB上移動，試問，

是否存在直線E尸將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線求出x的值；若不存

在直線ER請說明理由.

例7如圖1,正方形A8c。中，點A、8的坐標分別為(0,10),(8,4),點。在

第一象限.動點P在正方形A8CD的邊上，從點4出發沿4f勻速運動，同時動

點Q以相同速度在工軸上運動，當P點到。點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為/

秒.

(1)當P點在邊48上運動時，點。的橫坐標x(長度單位)關于運動時間t(秒)的

函數圖象如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；

(2)求正方形邊長及頂點C的坐標；

(3)在(1)中當/為何值時，的面積最大，并求此時尸點的坐標.

(4)如果點P、。保持原速度速度不變，當點P沿A-B-C-D勻速運動時，OP與

尸Q能否相等，若能，寫出所有符合條件的，的值；若不能，請說明理由.

1.7因動點產生的相切問題

例1如圖1,已知00的半徑長為3,點A是。。上一定點，點P為。0上不同于

點A的動點.

（1）當.■=■!■時，求AP的長；

（2）如果。。過點P、0,且點。在直線4尸上（如圖2）,設人尸=x,QP=y,求y關

于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）在（2）的條件下，當tanA=±時（如圖3）,存在。M與。。相內切，同時與。。

3

相外切，且0M_L0Q,試求。M的半徑的長.

例2如圖1,4（一5,0）,B（—3,0）,點C在），軸的正半軸上，NCBO=45°,CD//AB,

NCD4=90°.點P從點Q（4,0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運動，運動時間

為，秒.

(1)求點C的坐標；

(2)當NBCP=15°時，求，的值；

(3)以點P為圓心，PC為半徑的。尸隨點P的運動而變化，當。尸與四邊形ABCD

的邊（或邊所在的直線）相切時，求f的值.

例3如圖1,菱形ABCD的邊長為2厘米，ND4B=60°.點P從A出發，以每

秒石厘米的速度沿AC向C作勻速運動；與此同時，點。也從點A出發，以每秒1厘米的

速度沿射線作勻速運動.當點尸到達點C時，P、。都停止運動.設點P運動的時間為f秒.

（1）當P異于A、C時，請說明PQ//8C；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，，為怎樣的值時，0

P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

1.8因動點產生的線段和差問題

例1在平面直角坐標系中，已知點A（—2,0）,8（0,4）,點E在。8上，且/O4E=N

OBA.

（1）如圖1,求點E的坐標；

（2）如圖2,將△AE。沿x軸向右平移得到△A￡。，，連結AB、BE.

①設其中0VmV2,使用含機的式子表示A序+B￡2,并求出使/T不+BE?

取得最小值時點E的坐標；

②當48+BE取得最小值時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）.

例2如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線丫=加+云+，經過4(一2,—4)、0(0,0)、

8(2,0)三點.

(1)求拋物線j=avIbxIc的解析式；

(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值.

圖1

1503如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于A、B兩點,

與y軸交于點C,點。是拋物線的頂點.

(1)求直線AC的解析式及B、。兩點的坐標；

(2)點夕是工軸上的一個動點，過P作直線Z//4C交拋物線于點Q.試探究：隨著點P

的運動，在拋物線上是否存在點。，使以A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，請直接寫出符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)請在直線AC上找一點使△8QM的周長最小，求出點歷的坐標.

圖1

第二部分函數圖象中點的存在性問題

2.1由比例線段產生的函數關系問題

傷|]1如圖1,在平面直角坐標系中，0為坐標原點，點A的坐標為(0,4),點8的坐

標為(4,0),點C的坐標為(-4,0),點P在射線A8上運動，連結CP與)，軸交于點。，連結

BD.過P、D、8三點作。Q,與)，軸的另一個交點為E,延長OQ交。。于尸，連結EA

BF.

(1)求直線A8的函數解析式；

(2)當點P在線段48(不包括A、8兩點)上時.

①求證：ZBDE=ZADP；

②設OE=x,DF=yt請求出y關于x的函數解析式；

(3)請你探究：點P在運動過程中，是否存在以仄。、尸為頂點的直角三角形，滿足

兩條直角邊之比為2：1?如果存在，求出此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

圖1

例2在RtZ\ABC中，NC=90。，4C=6,sinB=。，OB的半徑長為1,OB交邊

5

CB于點尸，點。是邊48上的動點.

(1)如圖1,將。B繞點P旋轉180°得到。M,請判斷(DM與真線AB的位置關系：

(2)如圖2,在(1)的條件下，當△OMP是等腰三角形時，求OA的長；

(3)如圖3,點N是邊上的動點，如果以M?為半徑的。N和以OA為半徑的。。

傷!|3如圖1,甲、乙兩人分別從4、8兩點同時出發，點O為坐標原點.甲沿A。

方向、乙沿60方向均以每小時4千米的速度行走，/小時后，甲到達M點，乙到達N點.

（1）請說明甲、乙兩人到達點。前，MN與A"不可能平行；

（2）當，為何值時，△OMNsAOBA?

（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長.設5=肋\巴求$與，之間的函數關系式，并

求甲、乙兩人之間距離的最小值.

圖1

例4在RdABC中，N4CB=90°,BC=30,AB=50.點尸是4B邊上任意一點，

直線PEJ_AB,與邊AC或相交于E.點M在線段A尸上，點N在線段B尸上，EM=EN,

sinZEMP=--

13

(1)如圖1,當點E與點。重合時，求CM的長；

(2)如圖2,當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x,BN=y,求y

關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

(3)若△AMEs/\ENB(Z\AWE的頂點4、M、E分別與AENB的頂點￡、N、8對應)，

2.2由面積產生的函數關系問題

例J1如圖1,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數

Q1

y=+3的圖像與y軸、x軸的交點，點8在二次函數y=（爐+以+。的圖像上，且該

二次函數圖像上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形.

（1）試求b、c的值，并寫出該二次函數的解析式；

（2）動點P從4到。，同時動點。從C到4都以每秒1個單位的速度運動，問：

①當尸運動到何處時，由尸QJ_AC?

②當P運動到何處時，四邊形POCQ的面積最小？此時四邊形POCQ的面積是多少？

圖I

例2如圖1,拋物線__|l一9與x軸交于小B兩點,與y軸交于點C,聯

結8C、AC.

(1)求A8和。。的長；

(2)點E從點A出發，沿x軸向點B運動(點E與點A、8不重合)，過點E作BC的

平行線交AC于點D.設AE的長為小，ZXAOE的面積為s,求s關于機的函數關系式，并

寫出自變量機的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，聯結CE,求面積的最大值；此時，求出以點E為圓心,

與8C相切的圓的面積(結果保留工).

圖1

例3如圖1,圖2,在△ABC中，48=13,BC=14,cosZABC=—.

13

探究如圖1，A〃_L8C于點〃，則A”=,AC=,ZVIBC的面積SAASC=

拓展如圖2,點。在AC上(可與點A、C重合)，分別過點A、。作直線8。的垂線,

垂足為E、F.設80=斯AE=m,CF=n.(當點。與點A重合時，我們認為％ABD=0)

(1)用含x,加或〃的代數式表示S4ABD及SACBD;

(2)求(〃?+〃)與x的函數關系式，并求(m+〃)的最大值和最小值；

(3)對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點。，指出這樣的x的取值范圍.

發現請你確定一條直線，使得A、8、C三點到這條直線的距離之和最小(不必寫出

過程)，并寫出這個最小值.

傷!I4如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點P在AB上，AP=2.點

E、尸同時從點P出發，分別沿剛、尸8以每秒1個單位長度的速度向點A、8勻速運動，

點E到達點A后立刻以原速度沿A8向點B運動，點尸運動到點B時停止，點E也隨之停

止.在點E、尸運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段的同側.設

E、產運動的時間為/秒(f>0),正方形EFG”與△ABC重疊部分的面積為S.

(1)當/=1時，正方形EFG”的邊長是；當/=3時，正方形EFGH的邊長

是：

(2)當1V/W2時，求S與f的函數關系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當f為何值時，S最大？最大面積是多少？

圖1

傷IJ5如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形.直線1經過0、C

兩點，點A的坐標為(8,0),點B的坐標為(11,4),動點P在線段0A上從O出發以每秒

1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A->B->C的

方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O—C—B相交于點M.當P、Q兩點

中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒(t>0),△

MPQ的面積為S.

(1)點C的坐標為,直線1的解析式為；

(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍.

(3)試求題(2)中當t為何值時，S的值最大？最大值是多少？

例6如圖1,矩形48co中，AB=6,8C=2j